Номер 2, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. (3) а) Исследуйте функцию $y=f(x)$ и постройте ее график, где

$f(x)=x^3-3x$.

б) Используя построенный график, определите число корней уравнения $f(x)=g(x)$, где $g(x)=x-1$.

в) Определите число корней уравнения $x^3-3x=a$ в зависимости от значений параметра $a$.

a) Исследуйте функцию y=f(x) и постройте ее график, где f(x)=x³-3x.

Проведем полное исследование функции $f(x) = x^3 - 3x$.

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: При $x=0$, $y = f(0) = 0^3 - 3(0) = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.
С осью Ox: При $y=0$, $x^3 - 3x = 0 \Rightarrow x(x^2-3) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{3} \approx 1.73$, $x_3 = -\sqrt{3} \approx -1.73$.
Точки пересечения: $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, 0)$.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную: $f'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0 \Rightarrow 3(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
Исследуем знак производной на интервалах:

• При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-1, 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (1, \infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $f''(x) = (3x^2 - 3)' = 6x$.
Найдем точки, где $f''(x) = 0$: $6x = 0 \Rightarrow x=0$.

• При $x \in (-\infty, 0)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
• При $x \in (0, \infty)$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

6. Построение графика.
На основе проведенного исследования строим график функции $y=x^3-3x$.

Ответ: Исследование функции проведено, график построен.

б) Используя построенный график, определите число корней уравнения f(x)=g(x), где g(x)=x-1.

Число корней уравнения $f(x) = g(x)$ равно числу точек пересечения графиков функций $y=f(x)=x^3-3x$ и $y=g(x)=x-1$.
Построим на одной координатной плоскости график кубической параболы $y=x^3-3x$ (из пункта а) и прямой $y=x-1$.
Прямая $y=x-1$ проходит, например, через точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$.

Визуально графики пересекаются в трех точках. Следовательно, уравнение $f(x)=g(x)$ имеет три различных корня.

Ответ: 3 корня.

в) Определите число корней уравнения x³-3x=a в зависимости от значений параметра a.

Число корней уравнения $x^3 - 3x = a$ равно числу точек пересечения графика функции $y = x^3 - 3x$ с горизонтальной прямой $y=a$.
Из пункта а) мы знаем, что функция $y=f(x)$ имеет локальный максимум в точке $(-1, 2)$ и локальный минимум в точке $(1, -2)$.
Проанализируем количество пересечений графика с прямой $y=a$:

• Если прямая $y=a$ проходит выше локального максимума (т.е. $a > 2$) или ниже локального минимума (т.е. $a < -2$), то она пересекает график в одной точке.
• Если прямая $y=a$ проходит через точку локального максимума ($a=2$) или локального минимума ($a=-2$), она касается графика в одной точке и пересекает его в другой. Всего две точки пересечения.
• Если прямая $y=a$ находится между локальным максимумом и минимумом (т.е. $-2 < a < 2$), она пересекает график в трех различных точках.

• при $a \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$, то есть при $|a| > 2$ — 1 корень;
• при $a = -2$ или $a = 2$, то есть при $|a| = 2$ — 2 корня;
• при $a \in (-2, 2)$, то есть при $|a| < 2$ — 3 корня.

Ответ: при $a < -2$ или $a > 2$ — один корень; при $a = -2$ или $a = 2$ — два корня; при $-2 < a < 2$ — три корня.