Номер 9, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Дана функция $g(x)=x-2\sin x$, определенная на промежутке $x \in [-2\pi; 2\pi]$. Исследуйте функцию $y=g(x)$ и постройте ее график.

Проведем полное исследование функции $g(x) = x - 2\sin(x)$ на промежутке $x \in [-2\pi; 2\pi]$.

1. Область определения

Функция задана на промежутке $[-2\pi; 2\pi]$. Следовательно, область определения $D(g) = [-2\pi; 2\pi]$.

Ответ: Область определения функции $D(g) = [-2\pi; 2\pi]$.

2. Четность и нечетность

Найдем значение функции для $-x$:

$g(-x) = (-x) - 2\sin(-x) = -x - 2(-\sin(x)) = -x + 2\sin(x) = -(x - 2\sin(x)) = -g(x)$.

Так как $g(-x) = -g(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат. Это позволяет нам исследовать функцию на отрезке $[0; 2\pi]$ и затем использовать симметрию для построения графика на отрезке $[-2\pi; 0]$.

Ответ: Функция является нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат

С осью Oy:

Найдем значение функции при $x=0$:

$g(0) = 0 - 2\sin(0) = 0$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; 0)$.

С осью Ox:

Решим уравнение $g(x) = 0$:

$x - 2\sin(x) = 0 \implies x = 2\sin(x)$.

Очевидно, $x=0$ является решением. Для поиска других корней рассмотрим графики функций $y=x$ и $y=2\sin(x)$. На отрезке $[0; 2\pi]$ кроме $x=0$ есть еще один корень. Оценим его значение. При $x=\frac{\pi}{2}$, $x \approx 1.57$, а $2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2$. При $x=\pi$, $x \approx 3.14$, а $2\sin(\pi) = 0$. Так как функция $h(x) = x - 2\sin(x)$ непрерывна и $h(\frac{\pi}{2}) < 0$, а $h(\pi) > 0$, корень лежит в интервале $(\frac{\pi}{2}; \pi)$. Численно, корень $x_0 \approx 1.9$.

В силу нечетности функции, на отрезке $[-2\pi; 0]$ также есть корень $x = -x_0 \approx -1.9$.

Ответ: Точки пересечения с осями координат: $(0; 0)$, $(\approx 1.9; 0)$ и $(\approx -1.9; 0)$.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем первую производную функции:

$g'(x) = (x - 2\sin(x))' = 1 - 2\cos(x)$.

Найдем критические точки, решив уравнение $g'(x)=0$ на промежутке $[-2\pi; 2\pi]$:

$1 - 2\cos(x) = 0 \implies \cos(x) = \frac{1}{2}$.

Корни этого уравнения на заданном промежутке: $x = -\frac{5\pi}{3}, x = -\frac{\pi}{3}, x = \frac{\pi}{3}, x = \frac{5\pi}{3}$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые эти точки разбивают область определения:

• $x \in [-2\pi; -\frac{5\pi}{3})$: $g'(x) < 0$ (например, $g'(-1.8\pi) = 1 - 2\cos(-1.8\pi) \approx 1-2(0.8) < 0$), функция убывает.
• $x \in (-\frac{5\pi}{3}; -\frac{\pi}{3})$: $g'(x) > 0$ (например, $g'(-\pi) = 1 - 2\cos(-\pi) = 3 > 0$), функция возрастает.
• $x \in (-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3})$: $g'(x) < 0$ (например, $g'(0) = 1 - 2\cos(0) = -1 < 0$), функция убывает.
• $x \in (\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3})$: $g'(x) > 0$ (например, $g'(\pi) = 1 - 2\cos(\pi) = 3 > 0$), функция возрастает.
• $x \in (\frac{5\pi}{3}; 2\pi]$: $g'(x) < 0$ (например, $g'(1.8\pi) = 1 - 2\cos(1.8\pi) \approx 1-2(0.8) < 0$), функция убывает.

Из смены знака производной определяем точки экстремума:

• $x = -\frac{5\pi}{3}$ – точка локального минимума. $g(-\frac{5\pi}{3}) = -\frac{5\pi}{3} - 2\sin(-\frac{5\pi}{3}) = -\frac{5\pi}{3} - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{5\pi}{3} - \sqrt{3} \approx -6.97$.
• $x = -\frac{\pi}{3}$ – точка локального максимума. $g(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{3} - 2\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{3} - 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \approx 0.69$.
• $x = \frac{\pi}{3}$ – точка локального минимума. $g(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} - 2\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} \approx -0.69$.
• $x = \frac{5\pi}{3}$ – точка локального максимума. $g(\frac{5\pi}{3}) = \frac{5\pi}{3} - 2\sin(\frac{5\pi}{3}) = \frac{5\pi}{3} - 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{3} + \sqrt{3} \approx 6.97$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $[-\frac{5\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}]$ и $[\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}]$. Функция убывает на промежутках $[-2\pi; -\frac{5\pi}{3}]$, $[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]$ и $[\frac{5\pi}{3}; 2\pi]$. Точки экстремума: $x_{min1}=-\frac{5\pi}{3}$, $y_{min1} \approx -6.97$; $x_{max1}=-\frac{\pi}{3}$, $y_{max1} \approx 0.69$; $x_{min2}=\frac{\pi}{3}$, $y_{min2} \approx -0.69$; $x_{max2}=\frac{5\pi}{3}$, $y_{max2} \approx 6.97$.

5. Промежутки выпуклости и точки перегиба

Найдем вторую производную:

$g''(x) = (1 - 2\cos(x))' = 2\sin(x)$.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует:

$2\sin(x) = 0 \implies \sin(x) = 0$.

На промежутке $[-2\pi; 2\pi]$ решениями являются $x = -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi$.

Определим знак второй производной на интервалах:

• $x \in (-2\pi; -\pi)$: $g''(x) > 0$ ($\sin(x) > 0$), график выпуклый вниз (вогнутый).
• $x \in (-\pi; 0)$: $g''(x) < 0$ ($\sin(x) < 0$), график выпуклый вверх (выпуклый).
• $x \in (0; \pi)$: $g''(x) > 0$ ($\sin(x) > 0$), график выпуклый вниз (вогнутый).
• $x \in (\pi; 2\pi)$: $g''(x) < 0$ ($\sin(x) < 0$), график выпуклый вверх (выпуклый).

В точках, где выпуклость меняется, находятся точки перегиба. Найдем их координаты:

• $x = -\pi$: $g(-\pi) = -\pi - 2\sin(-\pi) = -\pi$. Точка перегиба $(-\pi; -\pi)$.
• $x = 0$: $g(0) = 0$. Точка перегиба $(0; 0)$.
• $x = \pi$: $g(\pi) = \pi - 2\sin(\pi) = \pi$. Точка перегиба $(\pi; \pi)$.

Ответ: График функции выпуклый вниз на $(-2\pi, -\pi)$ и $(0, \pi)$. График выпуклый вверх на $(-\pi, 0)$ и $(\pi, 2\pi)$. Точки перегиба: $(-\pi, -\pi)$, $(0, 0)$, $(\pi, \pi)$.

6. Значения на концах отрезка и глобальные экстремумы

Вычислим значения функции на концах отрезка $[-2\pi; 2\pi]$:

$g(-2\pi) = -2\pi - 2\sin(-2\pi) = -2\pi \approx -6.28$.

$g(2\pi) = 2\pi - 2\sin(2\pi) = 2\pi \approx 6.28$.

Сравним значения в точках экстремума и на концах отрезка, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции.

Значения в точках минимума: $g(-\frac{5\pi}{3}) \approx -6.97$ и $g(\frac{\pi}{3}) \approx -0.69$.

Значения в точках максимума: $g(-\frac{\pi}{3}) \approx 0.69$ и $g(\frac{5\pi}{3}) \approx 6.97$.

Наибольшее значение функции на отрезке: $g(\frac{5\pi}{3}) = \frac{5\pi}{3} + \sqrt{3} \approx 6.97$.

Наименьшее значение функции на отрезке: $g(-\frac{5\pi}{3}) = -\frac{5\pi}{3} - \sqrt{3} \approx -6.97$.

Ответ: Глобальный максимум функции достигается в точке $x = \frac{5\pi}{3}$ и равен $\frac{5\pi}{3} + \sqrt{3}$. Глобальный минимум достигается в точке $x = -\frac{5\pi}{3}$ и равен $-\frac{5\pi}{3} - \sqrt{3}$.

7. Построение графика

Соберем все полученные данные в таблицу ключевых точек:

График строится по этим точкам с учетом информации о монотонности и выпуклости. Он начинается в точке $(-2\pi, -2\pi)$, убывает до глобального минимума в точке $(-\frac{5\pi}{3}, -\frac{5\pi}{3}-\sqrt{3})$, меняя выпуклость с нижней на верхнюю в точке $(-\pi, -\pi)$. Затем возрастает до локального максимума $(\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3})$, пересекая ось Ox. После этого убывает, проходя через начало координат (точка перегиба) до локального минимума $(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}-\sqrt{3})$. Далее снова возрастает, пересекая ось Ox и проходя через точку перегиба $(\pi, \pi)$, до глобального максимума в точке $(\frac{5\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}+\sqrt{3})$. Наконец, убывает до конечной точки $(2\pi, 2\pi)$. График симметричен относительно начала координат.

Ответ: График функции построен на основе сводной таблицы и анализа поведения функции.