Номер 11, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. (3) а) Исследуйте функцию $y=f(x)$ и постройте ее график, где $f(x)=-x^3+2x^2-x$.

б) Используя построенный график, определите число корней уравнения $f(x)=g(x)$, где $g(x)=x+5$.

в) Определите число корней уравнения $-x^3+2x^2-x=a$ в зависимости от значений параметра $a$.

а) Исследуем функцию $f(x)=-x^3+2x^2-x$ и построим ее график.

1. Область определения: Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа, $D(f)=(-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy (при $x=0$): $f(0)=-0^3+2 \cdot 0^2 - 0 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.

- С осью Ox (при $f(x)=0$): $-x^3+2x^2-x=0 \implies -x(x^2-2x+1)=0 \implies -x(x-1)^2=0$. Корни уравнения: $x_1=0$ и $x_2=1$ (корень кратности 2). Точки пересечения — $(0; 0)$ и $(1; 0)$.

3. Четность и периодичность:

$f(-x) = -(-x)^3+2(-x)^2-(-x) = x^3+2x^2+x$. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной). Функция непериодическая.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума:

Найдем первую производную функции: $f'(x)=(-x^3+2x^2-x)' = -3x^2+4x-1$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x)=0$: $-3x^2+4x-1=0$, или $3x^2-4x+1=0$. Корни уравнения: $x_1=1/3$ и $x_2=1$.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения:

- На интервале $(-\infty; 1/3)$, $f'(x)<0$, следовательно, функция убывает.

- На интервале $(1/3; 1)$, $f'(x)>0$, следовательно, функция возрастает.

- На интервале $(1; +\infty)$, $f'(x)<0$, следовательно, функция убывает.

В точке $x=1/3$ производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $f_{min} = f(1/3) = -(1/3)^3+2(1/3)^2-1/3 = -1/27+2/9-1/3 = -4/27$.

В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «–», значит, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $f_{max} = f(1) = -1^3+2(1)^2-1 = 0$.

5. Промежутки выпуклости и точки перегиба:

Найдем вторую производную: $f''(x)=(-3x^2+4x-1)' = -6x+4$.

Найдем точки, в которых $f''(x)=0$: $-6x+4=0 \implies x=2/3$.

- При $x < 2/3$, $f''(x)>0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).

- При $x > 2/3$, $f''(x)<0$, график функции выпуклый (выпуклый вверх).

Так как в точке $x=2/3$ меняется направление выпуклости, это точка перегиба. Значение функции в этой точке: $f(2/3) = -(2/3)^3+2(2/3)^2-2/3 = -8/27+8/9-2/3 = -2/27$.

6. Построение графика:

На основе полученных данных, график функции представляет собой кривую, которая приходит из $+\infty$ (при $x \to -\infty$), проходит через точку $(0;0)$, убывает до точки локального минимума $(1/3; -4/27)$, затем возрастает, меняя в точке перегиба $(2/3; -2/27)$ выпуклость вниз на выпуклость вверх, достигает точки локального максимума $(1;0)$, где касается оси Ox, и после этого убывает в $-\infty$ (при $x \to +\infty$).

Ответ: Функция исследована. Ее график — кубическая парабола с локальным максимумом в точке $(1; 0)$ и локальным минимумом в точке $(1/3; -4/27)$.

б) Число корней уравнения $f(x)=g(x)$ соответствует числу точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$, где $g(x)=x+5$.

График $y=f(x)$ был исследован в пункте а). График $y=g(x)=x+5$ — это прямая линия, проходящая через точки $(-5; 0)$ и $(0; 5)$.

Чтобы найти число точек пересечения аналитически, рассмотрим уравнение $f(x)-g(x)=0$.

$-x^3+2x^2-x - (x+5) = 0$

$-x^3+2x^2-2x-5 = 0$

$x^3-2x^2+2x+5 = 0$

Пусть $h(x) = x^3-2x^2+2x+5$. Исследуем эту функцию на монотонность. Найдем ее производную:

$h'(x) = 3x^2-4x+2$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $3x^2-4x+2$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16-24=-8$.

Поскольку дискриминант $D<0$ и старший коэффициент $3>0$, то $h'(x)>0$ при всех значениях $x$. Это означает, что функция $h(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

Строго монотонная функция может пересекать ось Ox (т.е. принимать значение 0) не более одного раза. Так как $\lim_{x\to-\infty} h(x) = -\infty$ и $\lim_{x\to+\infty} h(x) = +\infty$, функция $h(x)$ пересекает ось Ox ровно один раз. Следовательно, уравнение $h(x)=0$ имеет единственный корень.

Ответ: 1 корень.

в) Требуется определить число корней уравнения $-x^3+2x^2-x=a$ в зависимости от параметра $a$. Это равносильно нахождению числа точек пересечения графика функции $y=f(x)=-x^3+2x^2-x$ с горизонтальной прямой $y=a$.

В пункте а) мы нашли экстремумы функции $f(x)$:

- Локальный максимум: $y_{max} = f(1) = 0$.

- Локальный минимум: $y_{min} = f(1/3) = -4/27$.

Теперь рассмотрим, сколько раз прямая $y=a$ пересекает график $y=f(x)$ при различных значениях $a$:

- Если $a > y_{max}$ (т.е. $a > 0$), прямая $y=a$ находится выше локального максимума и пересекает график в одной точке. Уравнение имеет 1 корень.

- Если $a = y_{max}$ (т.е. $a = 0$), прямая $y=a$ касается графика в точке максимума и пересекает его в другой точке. Уравнение имеет 2 корня.

- Если $y_{min} < a < y_{max}$ (т.е. $-4/27 < a < 0$), прямая $y=a$ проходит между экстремумами и пересекает график в трех точках. Уравнение имеет 3 корня.

- Если $a = y_{min}$ (т.е. $a = -4/27$), прямая $y=a$ касается графика в точке минимума и пересекает его в другой точке. Уравнение имеет 2 корня.

- Если $a < y_{min}$ (т.е. $a < -4/27$), прямая $y=a$ находится ниже локального минимума и пересекает график в одной точке. Уравнение имеет 1 корень.

Ответ:

- при $a \in (-\infty; -4/27) \cup (0; +\infty)$ — 1 корень;

- при $a = -4/27$ и $a=0$ — 2 корня;

- при $a \in (-4/27; 0)$ — 3 корня.