Номер 17, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

17.(4) Исследуйте функцию $f(x) = 2\cos x + \sin 2x$ и постройте ее график.

Проведем полное исследование функции $f(x) = 2\cos x + \sin(2x)$.

1. Область определения

Функция является суммой тригонометрических функций $\cos x$ и $\sin(2x)$, которые определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения функции - вся числовая прямая.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Периодичность

Функция $y = 2\cos x$ имеет основной период $T_1 = 2\pi$. Функция $y = \sin(2x)$ имеет основной период $T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Период суммы этих функций равен наименьшему общему кратному их периодов, то есть $T = \text{НОК}(2\pi, \pi) = 2\pi$. Проверим:

$f(x + 2\pi) = 2\cos(x + 2\pi) + \sin(2(x + 2\pi)) = 2\cos x + \sin(2x + 4\pi) = 2\cos x + \sin(2x) = f(x)$.

Функция является периодической с основным периодом $T=2\pi$. Для построения графика достаточно исследовать функцию на любом отрезке длиной $2\pi$, например, на отрезке $[-\pi, \pi]$.

Ответ: Функция периодическая с периодом $T = 2\pi$.

3. Четность и нечетность

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = 2\cos(-x) + \sin(2(-x)) = 2\cos x - \sin(2x)$.

Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Ответ: Функция общего вида.

4. Точки пересечения с осями координат

- Пересечение с осью Oy: найдем $f(0)$.

$f(0) = 2\cos(0) + \sin(0) = 2 \cdot 1 + 0 = 2$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 2)$.

- Пересечение с осью Ox: решим уравнение $f(x) = 0$.

$2\cos x + \sin(2x) = 0$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$2\cos x + 2\sin x \cos x = 0$.

$2\cos x (1 + \sin x) = 0$.

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $1 + \sin x = 0 \implies \sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Решения второго уравнения являются частью решений первого. Таким образом, нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

На отрезке $[-\pi, \pi]$ точки пересечения с осью Ox: $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: Точка пересечения с Oy: $(0, 2)$. Точки пересечения с Ox (на отрезке $[-\pi, \pi]$): $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем первую производную функции:

$f'(x) = (2\cos x + \sin(2x))' = -2\sin x + 2\cos(2x)$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-2\sin x + 2\cos(2x) = 0 \implies \cos(2x) = \sin x$.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$:

$1 - 2\sin^2 x = \sin x \implies 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$.

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$:

$2t^2 + t - 1 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = -1$.

Возвращаемся к замене:

1) $\sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

На отрезке $[-\pi, \pi]$ критическими точками являются $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{5\pi}{6}$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые эти точки разбивают отрезок $[-\pi, \pi]$.

$f'(x) = -2(2\sin^2 x + \sin x - 1) = -2(2\sin x - 1)(\sin x + 1)$.

Так как $(\sin x + 1) \ge 0$, знак $f'(x)$ противоположен знаку выражения $(2\sin x - 1)$.

- Если $x \in [-\pi, \frac{\pi}{6}) \cup (\frac{5\pi}{6}, \pi]$, то $\sin x \frac{1}{2}$, значит $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

- Если $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$, то $\sin x > \frac{1}{2}$, значит $f'(x) 0$ и функция убывает.

В точке $x=\frac{\pi}{6}$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума.

$y_{max} = f(\frac{\pi}{6}) = 2\cos(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{3}) = 2\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.6$.

В точке $x=\frac{5\pi}{6}$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума.

$y_{min} = f(\frac{5\pi}{6}) = 2\cos(\frac{5\pi}{6}) + \sin(\frac{5\pi}{3}) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx -2.6$.

В точке $x = -\frac{\pi}{2}$ производная равна нулю, но не меняет знак, поэтому это не точка экстремума.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $[-\pi+2\pi n, \frac{\pi}{6}+2\pi n]$ и $[\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \pi+2\pi n]$. Убывает на $[\frac{\pi}{6}+2\pi n, \frac{5\pi}{6}+2\pi n]$. Точка максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$. Точка минимума: $x_{min} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Найдем вторую производную:

$f''(x) = (-2\sin x + 2\cos(2x))' = -2\cos x - 4\sin(2x)$.

Найдем точки, в которых $f''(x) = 0$:

$-2\cos x - 4\sin(2x) = 0$.

$-2\cos x - 8\sin x \cos x = 0$.

$-2\cos x(1 + 4\sin x) = 0$.

Получаем два случая:

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. На отрезке $[-\pi, \pi]$ это точки $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

2) $1 + 4\sin x = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{4}$. На отрезке $[-\pi, \pi]$ это точки $x_1 = \arcsin(-\frac{1}{4}) = -\arcsin(\frac{1}{4})$ и $x_2 = -\pi - \arcsin(-\frac{1}{4}) = -\pi + \arcsin(\frac{1}{4})$.

Определим знаки второй производной на интервалах.

$f''(x) = -2\cos x (1 + 4\sin x)$.

Анализируя знаки сомножителей на отрезке $[-\pi, \pi]$, получаем:

- Функция выпукла вниз (вогнутая), когда $f''(x) > 0$. Это происходит на интервалах $(-\pi, -\pi+\arcsin\frac{1}{4})$, $(-\frac{\pi}{2}, -\arcsin\frac{1}{4})$ и $(\frac{\pi}{2}, \pi)$.

- Функция выпукла вверх (выпуклая), когда $f''(x) 0$. Это происходит на интервалах $(-\pi+\arcsin\frac{1}{4}, -\frac{\pi}{2})$ и $(-\arcsin\frac{1}{4}, \frac{\pi}{2})$.

В точках $x = -\pi + \arcsin\frac{1}{4}$, $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = -\arcsin\frac{1}{4}$ и $x = \frac{\pi}{2}$ вторая производная меняет знак, значит это абсциссы точек перегиба. Найдем их ординаты:

$f(-\frac{\pi}{2}) = 0$, $f(\frac{\pi}{2}) = 0$.

При $\sin x = -\frac{1}{4}$, $\cos x = \pm\sqrt{1 - (-\frac{1}{4})^2} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$.

$f(x) = 2\cos x(1+\sin x)$.

Для $x_1 = -\arcsin(\frac{1}{4})$, $\cos x_1 > 0$: $y_1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}(1-\frac{1}{4}) = \frac{3\sqrt{15}}{8} \approx 1.45$.

Для $x_2 = -\pi + \arcsin(\frac{1}{4})$, $\cos x_2 0$: $y_2 = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{15}}{4})(1-\frac{1}{4}) = -\frac{3\sqrt{15}}{8} \approx -1.45$.

Ответ: Точки перегиба на отрезке $[-\pi, \pi]$: $(-\pi+\arcsin\frac{1}{4}, -\frac{3\sqrt{15}}{8})$, $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, $(-\arcsin\frac{1}{4}, \frac{3\sqrt{15}}{8})$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

7. Построение графика

Сведем полученные данные в таблицу (значения $x$ даны для отрезка $[-\pi, \pi]$):

- Концевые точки: $(-\pi, -2)$, $(\pi, -2)$.
- Пересечение с Oy: $(0, 2)$.
- Нули функции: $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$.
- Максимум: $(\frac{\pi}{6}, \frac{3\sqrt{3}}{2}) \approx (0.52, 2.6)$.
- Минимум: $(\frac{5\pi}{6}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}) \approx (2.62, -2.6)$.
- Точки перегиба: $\approx (-2.89, -1.45)$, $(-1.57, 0)$, $\approx (-0.25, 1.45)$, $(1.57, 0)$.

На основе этих данных строим график функции на отрезке $[-\pi, \pi]$ и затем, используя периодичность, продолжаем его на всю числовую ось. График представляет собой периодическую волну. Начиная с точки $(-\pi, -2)$, он возрастает, проходя через точку перегиба $\approx (-2.89, -1.45)$ и еще одну точку перегиба в нуле функции $(-\pi/2, 0)$. Рост продолжается через еще одну точку перегиба $\approx (-0.25, 1.45)$ до локального максимума в точке $\approx (0.52, 2.6)$. Затем функция убывает, пересекая ось Oy в точке $(0, 2)$, проходит через точку перегиба в нуле функции $(\pi/2, 0)$ и достигает локального минимума в точке $\approx (2.62, -2.6)$. После этого функция снова возрастает до точки $(\pi, -2)$, завершая период.

Ответ: График функции построен на основании проведенного исследования.