Упр 1, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Помогите Алдаркосе заменить одно из чисел 50, 240 или -666 на такое, чтобы уравнять его шансы в игре против черта. Давайте отвлечемся от фольклорных героев и сформулируем пример 1 в известных математических терминах. Возможный выигрыш Алдаркосе назовем величиной $X$. Ясно, что $X$ является случайной дискретной величиной. Получается примерно такой текст: «В результате некоторого испытания величина $X$ случайным образом с вероятностью $1/2$ принимает значение 50, с вероятностью $1/3$ принимает значение 240 и с вероятностью $1/6$ принимает значение $-666$. Чему равно среднее значение величины $X$ при большом числе испытаний?» Рассматривая пример 2, мы уже ответили на этот вопрос: среднее значение величины $X$ равно числу – 6. Условие только что сформулированной задачи можно компактно и наглядно оформить в виде таблицы:

Такая таблица называется рядом распределения или таблицей распределения случайной величины $X$. Среднее значение величины $X$ при большом числе испытаний называется математическим ожиданием случайной величины $X$. В примере «Aldar-Khose and the Devil» исходам «1», «2» и «3» ставится в соответствие число 50, исходам «4» и «5» ставится в соответствие число 240 и, наконец, исходу «6» ставится в соответствие число -666. Вот еще несколько примеров случайных величин:

• сумма цифр автомобильного номера;
• выигрыш лотерейного билета, выраженный в денежном эквиваленте;
• при подбрасывании монеты 0 ставится в соответствие исходу «орел» и 1 ставится в соответствие исходу «решка»;
• среднее арифметическое оценок каждого из учеников класса, полученных за четверть.

Чтобы уравнять шансы Алдаркосе в игре против черта, необходимо сделать игру «справедливой». В терминах теории вероятностей это означает, что математическое ожидание (среднее значение выигрыша при большом числе испытаний) должно быть равно нулю. Математическое ожидание $E(X)$ для дискретной случайной величины вычисляется по формуле $E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$. В нашем случае даны значения $x_1=50$, $x_2=240$, $x_3=-666$ и соответствующие вероятности $p_1=\frac{1}{2}$, $p_2=\frac{1}{3}$, $p_3=\frac{1}{6}$. Рассмотрим три варианта замены.

Замена числа 50
Пусть новое значение вместо 50 будет $y$. Тогда математическое ожидание должно равняться нулю:
$E(X) = y \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + x_3 \cdot p_3 = 0$
Подставим известные значения:
$y \cdot \frac{1}{2} + 240 \cdot \frac{1}{3} + (-666) \cdot \frac{1}{6} = 0$
$\frac{y}{2} + 80 - 111 = 0$
$\frac{y}{2} - 31 = 0$
$\frac{y}{2} = 31$
$y = 62$
Ответ: число 50 нужно заменить на 62.

Замена числа 240
Пусть новое значение вместо 240 будет $y$. Тогда уравнение для математического ожидания примет вид:
$E(X) = x_1 \cdot p_1 + y \cdot p_2 + x_3 \cdot p_3 = 0$
Подставим известные значения:
$50 \cdot \frac{1}{2} + y \cdot \frac{1}{3} + (-666) \cdot \frac{1}{6} = 0$
$25 + \frac{y}{3} - 111 = 0$
$\frac{y}{3} - 86 = 0$
$\frac{y}{3} = 86$
$y = 258$
Ответ: число 240 нужно заменить на 258.

Замена числа –666
Пусть новое значение вместо –666 будет $y$. Тогда уравнение для математического ожидания будет следующим:
$E(X) = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + y \cdot p_3 = 0$
Подставим известные значения:
$50 \cdot \frac{1}{2} + 240 \cdot \frac{1}{3} + y \cdot \frac{1}{6} = 0$
$25 + 80 + \frac{y}{6} = 0$
$105 + \frac{y}{6} = 0$
$\frac{y}{6} = -105$
$y = -630$
Ответ: число –666 нужно заменить на –630.