Номер 22, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

22. (1) Решите уравнения:

а) $0.6|x-0.3|=x^2+0.27$

б) $|2-x|=5-4x$

а) $0,6|x - 0,3| = x^2 + 0,27$

Для решения уравнения с модулем необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под знаком модуля.

1. Предположим, что выражение под модулем неотрицательно: $x - 0,3 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge 0,3$. В этом случае $|x - 0,3| = x - 0,3$.

Подставим это в исходное уравнение:

$0,6(x - 0,3) = x^2 + 0,27$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$0,6x - 0,18 = x^2 + 0,27$

$x^2 - 0,6x + 0,27 + 0,18 = 0$

$x^2 - 0,6x + 0,45 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-0,6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,45 = 0,36 - 1,8 = -1,44$

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, в случае $x \ge 0,3$ решений нет.

2. Теперь предположим, что выражение под модулем отрицательно: $x - 0,3 < 0$, что эквивалентно $x < 0,3$. В этом случае $|x - 0,3| = -(x - 0,3) = 0,3 - x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$0,6(0,3 - x) = x^2 + 0,27$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$0,18 - 0,6x = x^2 + 0,27$

$x^2 + 0,6x + 0,27 - 0,18 = 0$

$x^2 + 0,6x + 0,09 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат суммы $(x+a)^2 = x^2+2ax+a^2$:

$(x + 0,3)^2 = 0$

Из этого следует, что:

$x + 0,3 = 0$

$x = -0,3$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = -0,3$ условию данного случая $x < 0,3$.

$-0,3 < 0,3$. Условие выполняется, значит, $x = -0,3$ является решением уравнения.

Ответ: $-0,3$.

б) $|2 - x| = 5 - 4x$

Это уравнение вида $|f(x)| = g(x)$. Так как значение модуля всегда неотрицательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это является областью допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

$5 - 4x \ge 0$

$-4x \ge -5$

$x \le \frac{5}{4}$

$x \le 1,25$

Решения уравнения нужно будет проверить на соответствие этому условию.

Уравнение $|2 - x| = 5 - 4x$ равносильно совокупности двух уравнений:

1) $2 - x = 5 - 4x$

2) $2 - x = -(5 - 4x)$

Решим первое уравнение:

$2 - x = 5 - 4x$

$4x - x = 5 - 2$

$3x = 3$

$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=1$ условию ОДЗ $x \le 1,25$.

$1 \le 1,25$. Условие выполняется, значит $x = 1$ является корнем.

Решим второе уравнение:

$2 - x = -(5 - 4x)$

$2 - x = -5 + 4x$

$2 + 5 = 4x + x$

$7 = 5x$

$x = \frac{7}{5} = 1,4$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x = 1,4$ условию ОДЗ $x \le 1,25$.

$1,4 \le 1,25$. Условие не выполняется, следовательно, $x = 1,4$ является посторонним корнем и не входит в решение.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $1$.