Страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

2. (1)

а) $\sin x = -\frac{1}{2}$;

б) $\sin (-2x) = -\frac{1}{2}$;

в) $2\sin \left(3x - \frac{\pi}{6}\right) = 1$;

г) $\sin \left(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2}$.

а)

Дано уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение уравнения вида $\sin x = a$ (где $|a| \leq 1$) записывается по формуле $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = \frac{1}{2}$, и мы знаем, что $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляя это значение в общую формулу, получаем:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Это решение можно также представить в виде двух серий:

$x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Обе формы записи являются верными. Будем использовать более компактную первую форму.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $\sin(-2x) = -\frac{1}{2}$.

Функция синус является нечетной, то есть $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. Применим это свойство к нашему уравнению:

$-\sin(2x) = -\frac{1}{2}$.

Умножим обе части уравнения на -1:

$\sin(2x) = \frac{1}{2}$.

Теперь решим это уравнение относительно $2x$. По аналогии с пунктом а), получаем:

$2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = \frac{(-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $2\sin(3x - \frac{\pi}{6}) = 1$.

Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выделить синус:

$\sin(3x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Это означает, что аргумент синуса, $(3x - \frac{\pi}{6})$, должен быть равен одному из углов, синус которых равен $\frac{1}{2}$. Эти углы можно выразить двумя сериями решений:

1) $3x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $3x - \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим каждое уравнение относительно $x$.

Для первой серии:

$3x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$3x = \frac{2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$.

Для второй серии:

$3x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$3x = \frac{6\pi}{6} + 2\pi k = \pi + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$.

Объединяя обе серии, получаем полное решение.

Ответ: $x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $\sin(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$.

Аргумент синуса $(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2})$ должен быть равен углу, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Как и в предыдущем пункте, рассмотрим две серии решений:

1) $\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим каждое уравнение относительно $x$.

Для первой серии:

$-\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{x}{2} = 2\pi k$

$x = -4\pi k$. Поскольку $k$ - любое целое число, мы можем заменить $-k$ на $k$ и записать $x = 4\pi k$.

Для второй серии:

$-\frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{x}{2} = \frac{4\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

$x = -2 \left( \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \right) = -\frac{4\pi}{3} - 4\pi k$.

Объединяя обе серии, получаем полное решение.

Ответ: $x = 4\pi k, x = -\frac{4\pi}{3} - 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3. (1)

a) $2\sin\pi x = -\sqrt{3};$

б) $2\sin\left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3};$

в) $2\sin\left(3x - \frac{\pi}{5}\right) = \sqrt{3};$

г) $2\sin\left(\frac{\pi}{6} - 4x\right) = -\sqrt{3}.$

а)

Дано уравнение: $2\sin(\pi x) = -\sqrt{3}$.
Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выделить синус:
$\sin(\pi x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
В нашем случае, аргумент $t = \pi x$, а значение $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Находим арксинус: $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
Подставляем значения в общую формулу:
$\pi x = (-1)^n (-\frac{\pi}{3}) + \pi n$
$\pi x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части последнего равенства на $\pi$:
$x = \frac{1}{\pi} \left( (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n \right)$
$x = (-1)^{n+1} \frac{1}{3} + n$.
Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{1}{3} + n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение: $2\sin(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{3}$.
Разделим обе части на 2:
$\sin(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Используем общую формулу для решения уравнения $\sin(t) = a$: $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Аргумент $t = \frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}$, значение $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Подставляем в формулу:
$\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$.
Теперь выразим $x$. Сначала перенесем $-\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$\frac{3x}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + \pi n$.
Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{3}$:
$x = \frac{2}{3} \left( (-1)^n \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + \pi n \right)$
$x = (-1)^n \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$
$x = (-1)^n \frac{2\pi}{9} + \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{2\pi}{9} + \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение: $2\sin(3x - \frac{\pi}{5}) = \sqrt{3}$.
Разделим обе части на 2:
$\sin(3x - \frac{\pi}{5}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Применим общую формулу решения: $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $t = 3x - \frac{\pi}{5}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$3x - \frac{\pi}{5} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$.
Выразим $x$. Перенесем $-\frac{\pi}{5}$ в правую часть:
$3x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{5} + \pi n$.
Разделим обе части на 3:
$x = \frac{1}{3} \left( (-1)^n \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{5} + \pi n \right)$
$x = (-1)^n \frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{3}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение: $2\sin(\frac{\pi}{6} - 4x) = -\sqrt{3}$.
Разделим обе части на 2:
$\sin(\frac{\pi}{6} - 4x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $\sin(-y) = -\sin(y)$.
$\sin(\frac{\pi}{6} - 4x) = \sin(-(4x - \frac{\pi}{6})) = -\sin(4x - \frac{\pi}{6})$.
Уравнение примет вид:
$-\sin(4x - \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(4x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь решаем это уравнение, используя общую формулу $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$4x - \frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$.
Выразим $x$. Перенесем $-\frac{\pi}{6}$ в правую часть:
$4x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Разделим обе части на 4:
$x = \frac{1}{4} \left( (-1)^n \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \pi n \right)$
$x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4. (1)

a) $2\sin x + \sqrt{2} = 0$;

б) $\sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 1 = 0$;

B) $2\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2} = 0$;

г) $2\sin\left(\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{2}$.

а)

Исходное уравнение: $2\sin x + \sqrt{2} = 0$.

Сначала изолируем $\sin x$. Перенесем $\sqrt{2}$ в правую часть уравнения:

$2\sin x = -\sqrt{2}$

Теперь разделим обе части уравнения на 2:

$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение тригонометрического уравнения $\sin x = a$ находится по формуле $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Значение арксинуса от этого числа равно $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем это значение в формулу общего решения:

$x = (-1)^n \cdot (-\frac{\pi}{4}) + \pi n$

Упрощая, получаем окончательный ответ:

$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение: $\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{3}) - 1 = 0$.

Выразим функцию синуса. Перенесем $-1$ в правую часть и разделим на $\sqrt{2}$:

$\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 1$

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Пусть $t = x - \frac{\pi}{3}$. Тогда уравнение принимает вид $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение для $t$ имеет вид $t = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$t = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$

Теперь сделаем обратную замену $t = x - \frac{\pi}{3}$:

$x - \frac{\pi}{3} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$

Выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:

$x = \frac{\pi}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

в)

Исходное уравнение: $2\sin(2x - \frac{\pi}{4}) - \sqrt{2} = 0$.

Сначала выразим синус. Перенесем $-\sqrt{2}$ в правую часть и разделим на 2:

$2\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$

$\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Пусть $t = 2x - \frac{\pi}{4}$. Уравнение становится $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение для $t$: $t = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Подставляем значение арксинуса $\frac{\pi}{4}$:

$t = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$

Производим обратную замену:

$2x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$

Выразим $2x$:

$2x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{8} + (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

г)

Исходное уравнение: $2\sin(\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{3}) = -\sqrt{2}$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin(\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Пусть $t = \frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{3}$. Уравнение принимает вид $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение для $t$ имеет вид $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проведем обратную замену и вынесем общий множитель в аргументе синуса:

$\frac{\pi}{3}(x + 1) = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$\frac{1}{3}(x + 1) = (-1)^{n+1} \frac{1}{4} + n$

Теперь умножим обе части на 3:

$x + 1 = (-1)^{n+1} \frac{3}{4} + 3n$

Выразим $x$, перенеся 1 в правую часть:

$x = -1 + (-1)^{n+1} \frac{3}{4} + 3n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -1 + (-1)^{n+1} \frac{3}{4} + 3n$, $n \in \mathbb{Z}$.

5. (1)

a) $2\sin\frac{2x}{3} - 2\sqrt{2} = 0;$

B) $\sin 5x - \sqrt{5} = 2;$

6) $\sin 3x = \sqrt{5}-2;$

Г) $8\sin\left(x+\frac{\pi}{13}\right) = -3\pi.$

а) Исходное уравнение: $2\sin\frac{2x}{3}-2\sqrt{2}=0$.
Перенесем слагаемое, не содержащее переменную, в правую часть уравнения:
$2\sin\frac{2x}{3} = 2\sqrt{2}$
Разделим обе части уравнения на 2:
$\sin\frac{2x}{3} = \sqrt{2}$
Область значений функции синуса - это отрезок $[-1, 1]$. Значение $\sqrt{2} \approx 1.414$, что больше 1. Следовательно, $\sin\frac{2x}{3}$ не может быть равен $\sqrt{2}$.
Ответ: решений нет.

б) Исходное уравнение: $\sin 3x = \sqrt{5}-2$.
Оценим значение правой части уравнения. Мы знаем, что $4 < 5 < 9$, следовательно $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, что означает $2 < \sqrt{5} < 3$.
Вычитая 2 из всех частей неравенства, получаем: $2-2 < \sqrt{5}-2 < 3-2$, то есть $0 < \sqrt{5}-2 < 1$.
Поскольку значение $\sqrt{5}-2$ принадлежит области значений функции синуса (интервалу $[-1, 1]$), уравнение имеет решения.
Общее решение для уравнения $\sin y = a$, где $|a| \le 1$, имеет вид $y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in Z$.
В данном случае $y = 3x$ и $a = \sqrt{5}-2$.
$3x = (-1)^n \arcsin(\sqrt{5}-2) + \pi n, n \in Z$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 3:
$x = \frac{(-1)^n}{3} \arcsin(\sqrt{5}-2) + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{(-1)^n}{3} \arcsin(\sqrt{5}-2) + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$.

в) Исходное уравнение: $\sin 5x - \sqrt{5} = 2$.
Выразим $\sin 5x$:
$\sin 5x = 2 + \sqrt{5}$.
Область значений функции синуса - это отрезок $[-1, 1]$. Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $2 + \sqrt{5} \approx 2 + 2.236 = 4.236$.
Значение $4.236$ не входит в область значений синуса, так как $4.236 > 1$.
Ответ: решений нет.

г) Исходное уравнение: $8\sin\left(x+\frac{\pi}{13}\right) = -3\pi$.
Выразим синус из уравнения, разделив обе части на 8:
$\sin\left(x+\frac{\pi}{13}\right) = -\frac{3\pi}{8}$.
Оценим значение правой части. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:
$-\frac{3\pi}{8} \approx -\frac{3 \cdot 3.14159}{8} = -\frac{9.42477}{8} \approx -1.178$.
Область значений функции синуса - это отрезок $[-1, 1]$. Поскольку $-1.178 < -1$, значение $-\frac{3\pi}{8}$ не входит в область значений синуса.
Ответ: решений нет.

6. (2) Решите уравнения, применив формулы приведения:

а) $2 \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)+1=0$;

б) $\cos \left(\frac{3\pi}{2}+2\pi x\right)=1$;

в) $7 \sin (\pi-3x)-2=0$;

г) $14 \cos \left(x+\frac{7\pi}{2}\right)=-\sqrt{98}$.

а) Исходное уравнение: $2\cos(\frac{\pi}{2} - x) + 1 = 0$.
Применим формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = x$.
Уравнение принимает вид: $2\sin(x) + 1 = 0$.
Выразим $\sin(x)$:
$2\sin(x) = -1$
$\sin(x) = -\frac{1}{2}$
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:
$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:
$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k$
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\cos(\frac{3\pi}{2} + 2\pi x) = 1$.
Применим формулу приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 2\pi x$.
Уравнение принимает вид: $\sin(2\pi x) = 1$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решение которого:
$2\pi x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части уравнения на $2\pi$, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi} + \frac{2\pi n}{2\pi}$
$x = \frac{1}{4} + n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{1}{4} + n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $7\sin(\pi - 3x) - 2 = 0$.
Применим формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 3x$.
Уравнение принимает вид: $7\sin(3x) - 2 = 0$.
Выразим $\sin(3x)$:
$7\sin(3x) = 2$
$\sin(3x) = \frac{2}{7}$
Решением этого уравнения является серия корней:
$3x = (-1)^k \arcsin(\frac{2}{7}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:
$x = \frac{(-1)^k}{3} \arcsin(\frac{2}{7}) + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{(-1)^k}{3} \arcsin(\frac{2}{7}) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $14\cos(x + \frac{7\pi}{2}) = -\sqrt{98}$.
Упростим аргумент косинуса, используя периодичность функции $\cos$. Период равен $2\pi$.
$\frac{7\pi}{2} = 3.5\pi = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$.
$\cos(x + \frac{7\pi}{2}) = \cos(x + 2\pi + \frac{3\pi}{2}) = \cos(x + \frac{3\pi}{2})$.
Применим формулу приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = x$.
Уравнение принимает вид: $14\sin(x) = -\sqrt{98}$.
Упростим правую часть: $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$.
$14\sin(x) = -7\sqrt{2}$.
Выразим $\sin(x)$:
$\sin(x) = \frac{-7\sqrt{2}}{14}$
$\sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:
$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, получаем:
$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k$
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

7. (2) Решите уравнение, используя замену переменной $ \sin x = p $:

a) $ 2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0 $;

б) $ 3\sin^2 x + 11\sin x - 4 = 0 $;

в) $ 2\sin^2 x - \sin x = 0 $.

а) Исходное уравнение: $2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0$.
Сделаем замену переменной $p = \sin x$. Так как область значений функции синус $[-1, 1]$, то $|p| \le 1$.
Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $p$:
$2p^2 - 5p + 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
Найдем корни уравнения:
$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Теперь выполним обратную замену.
1. $p_1 = 2$. Уравнение $\sin x = 2$ не имеет решений, так как $2 > 1$.
2. $p_2 = \frac{1}{2}$. Уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$ имеет решения, так как $|\frac{1}{2}| \le 1$.
Общее решение для этого уравнения:
$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $3\sin^2 x + 11\sin x - 4 = 0$.
Сделаем замену переменной $p = \sin x$, где $|p| \le 1$.
Получаем квадратное уравнение: $3p^2 + 11p - 4 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.
Найдем корни уравнения:
$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$.
Выполним обратную замену.
1. $p_1 = \frac{1}{3}$. Уравнение $\sin x = \frac{1}{3}$ имеет решения, так как $|\frac{1}{3}| \le 1$.
Общее решение: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. $p_2 = -4$. Уравнение $\sin x = -4$ не имеет решений, так как $-4 < -1$.
Ответ: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $2\sin^2 x - \sin x = 0$.
Сделаем замену переменной $p = \sin x$, где $|p| \le 1$.
Получаем неполное квадратное уравнение: $2p^2 - p = 0$.
Решим его, вынеся общий множитель за скобки:
$p(2p - 1) = 0$.
Это равенство выполняется, если:
1. $p_1 = 0$.
2. $2p - 1 = 0 \Rightarrow 2p = 1 \Rightarrow p_2 = \frac{1}{2}$.
Оба корня удовлетворяют условию $|p| \le 1$. Выполним обратную замену для каждого корня.
1. $\sin x = 0$. Это частный случай, решениями которого являются $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. $\sin x = \frac{1}{2}$. Решениями являются $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Общее решение исходного уравнения является объединением этих двух множеств решений.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнение (8-12):

8. (1) а) $sin x = 1$;

б) $sin \frac{x}{2} = 1$;

в) $sin \left(2x+\frac{\pi}{3}\right) = 1$;

г) $sin \left(\frac{\pi}{4}-3x\right) = 1$.

a) Дано уравнение $sin x = 1$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для уравнения вида $sin t = 1$ записывается как $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
В данном случае аргументом синуса является $x$, поэтому решение уравнения:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $sin\frac{x}{2} = 1$.
Это уравнение также является частным случаем $sin t = 1$, где $t = \frac{x}{2}$.
Общее решение имеет вид: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Подставим вместо $t$ выражение $\frac{x}{2}$:
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
Для того чтобы выразить $x$, умножим обе части уравнения на 2:
$x = 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)$
$x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$.
Снова используем общее решение для $sin t = 1$, где на этот раз $t = 2x + \frac{\pi}{3}$.
Приравниваем аргумент синуса к общему решению:
$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Теперь решим это линейное уравнение относительно $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:
$2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$2x = \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$
$2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
Разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $sin\left(\frac{\pi}{4} - 3x\right) = 1$.
Аргумент синуса в данном случае $t = \frac{\pi}{4} - 3x$.
Применяем общее решение для $sin t = 1$:
$\frac{\pi}{4} - 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Решаем уравнение относительно $x$. Выразим член, содержащий $x$:
$-3x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
Приводим дроби в правой части к общему знаменателю 4:
$-3x = \frac{2\pi - \pi}{4} + 2\pi k$
$-3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
Разделим обе части на -3:
$x = -\frac{\pi}{12} - \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} - \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

9. (1)

a) $\sin x = -\frac{1}{2}$;

б) $2\sin(-3x) = 1$;

В) $2\sin\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$;

Г) $\sin\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = -\frac{1}{2}$.

а) Это простейшее тригонометрическое уравнение вида `$\sin x = a$`. Его общее решение записывается по формуле `$x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$`, где `$n \in \mathbb{Z}$` (множество целых чисел). В данном случае `$a = -\frac{1}{2}$`. Находим арксинус: `$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$`. Подставляем это значение в общую формулу решения:
`$x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n$`
Используя свойство степеней `$-1 \cdot (-1)^n = (-1)^{n+1}$`, мы можем упростить выражение:
`$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$`.
Ответ: `$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$`.

б) Дано уравнение `$2\sin(-3x) = 1$`. Сначала преобразуем его. Разделим обе части на 2:
`$\sin(-3x) = \frac{1}{2}$`.
Воспользуемся свойством нечетности синуса `$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$`:
`$-\sin(3x) = \frac{1}{2}$`.
Умножим обе части на -1:
`$\sin(3x) = -\frac{1}{2}$`.
Пусть `$t = 3x$`, тогда уравнение принимает вид `$\sin(t) = -\frac{1}{2}$`. Решение этого уравнения (как в пункте а)) есть `$t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$`.
Теперь вернемся к переменной `$x$`, подставив `$3x$` вместо `$t$`:
`$3x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$`.
Чтобы найти `$x$`, разделим обе части уравнения на 3:
`$x = \frac{(-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$`.
Ответ: `$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$`.

в) Дано уравнение `$2\sin\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$`. Выразим синус:
`$2\sin\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = -1$`
`$\sin\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$`.
Пусть `$t = \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}$`. Уравнение сводится к `$\sin(t) = -\frac{1}{2}$`.
Решение для `$t$` известно: `$t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$`.
Произведем обратную замену:
`$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$`.
Выразим `$x$`. Сначала вычтем `$\frac{\pi}{6}$` из обеих частей:
`$\frac{x}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \pi n$`.
Теперь умножим обе части на 3:
`$x = 3 \left( (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^{n+1} \frac{3\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} + 3\pi n$`.
Упрощаем дроби:
`$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$`.
Ответ: `$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$`.

г) Дано уравнение `$\sin\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = -\frac{1}{2}$`. Для удобства преобразуем аргумент синуса, используя его нечетность `$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$`:
`$\sin\left(-\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)\right) = -\frac{1}{2}$`
`$-\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$`.
Умножив на -1, получаем:
`$\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$`.
Пусть `$t = 2x - \frac{\pi}{6}$`, тогда `$\sin(t) = \frac{1}{2}$`.
Общее решение для такого уравнения: `$t = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$`.
Выполним обратную подстановку:
`$2x - \frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$`.
Теперь выразим `$x$`. Прибавим `$\frac{\pi}{6}$` к обеим частям:
`$2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi n$`.
Разделим все на 2:
`$x = \frac{(-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi n}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$`.
Ответ: `$x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$`.

10. (1)

а) $2\sin x = \sqrt{3};$

б) $2\sin\left(\frac{2\pi x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{3};$

в) $2\sin\left(2x - \frac{\pi}{5}\right) + \sqrt{3} = 0;$

г) $2\sin\left(\frac{\pi}{5} - 2x\right) = -\sqrt{3}.$

а)

Исходное уравнение: $2\sin x = \sqrt{3}$.

Для того чтобы найти $x$, сначала выразим $\sin x$. Для этого разделим обе части уравнения на 2:

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общая формула для решения уравнения вида $\sin x = a$ следующая: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Значение арксинуса для этого числа является табличным: $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставим это значение в общую формулу решения:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение: $2\sin(\frac{2\pi x}{3} + \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{3}$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin(\frac{2\pi x}{3} + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для решения введем замену. Пусть $t = \frac{2\pi x}{3} + \frac{\pi}{4}$. Тогда уравнение примет вид $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение для такого уравнения: $t = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство нечетности арксинуса, $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, находим: $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Тогда решение для $t$ можно записать как $t = (-1)^n (-\frac{\pi}{3}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Теперь сделаем обратную замену:

$\frac{2\pi x}{3} + \frac{\pi}{4} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Теперь выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:

$\frac{2\pi x}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \pi n$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{3}{2\pi}$:

$x = \frac{3}{2\pi} \left( (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = (-1)^{n+1} \frac{3\pi}{2\pi \cdot 3} - \frac{3\pi}{2\pi \cdot 4} + \frac{3\pi n}{2\pi}$.

$x = (-1)^{n+1} \frac{1}{2} - \frac{3}{8} + \frac{3n}{2}$.

Ответ: $x = \frac{3n}{2} - \frac{3}{8} + \frac{(-1)^{n+1}}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

в)

Исходное уравнение: $2\sin(2x - \frac{\pi}{5}) + \sqrt{3} = 0$.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить синус. Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть и разделим на 2:

$2\sin(2x - \frac{\pi}{5}) = -\sqrt{3}$.

$\sin(2x - \frac{\pi}{5}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это уравнение аналогично предыдущему. Сделаем замену $t = 2x - \frac{\pi}{5}$. Получим $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Как мы уже выяснили в пункте б), решение для $t$ имеет вид: $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполняем обратную замену:

$2x - \frac{\pi}{5} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Выразим $x$. Перенесем $-\frac{\pi}{5}$ в правую часть:

$2x = \frac{\pi}{5} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{5} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{\pi}{10} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

г)

Исходное уравнение: $2\sin(\frac{\pi}{5} - 2x) = -\sqrt{3}$.

Разделим обе части на 2:

$\sin(\frac{\pi}{5} - 2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. Аргумент синуса можно переписать как $\frac{\pi}{5} - 2x = -(2x - \frac{\pi}{5})$.

Таким образом, $\sin(\frac{\pi}{5} - 2x) = -\sin(2x - \frac{\pi}{5})$.

Подставим это в наше уравнение:

$-\sin(2x - \frac{\pi}{5}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Умножим обе части на -1, чтобы упростить уравнение:

$\sin(2x - \frac{\pi}{5}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сделаем замену $t = 2x - \frac{\pi}{5}$. Уравнение примет вид $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение для $t$ будет: $t = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сделаем обратную замену:

$2x - \frac{\pi}{5} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Выразим $x$:

$2x = \frac{\pi}{5} + (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$.

$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{5} + (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{\pi}{10} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

11. (1) a) $2\sin x - \sqrt{2} = 0$;

б) $-\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{3} - \pi x\right) + 1 = 0$;

в) $2\sin\left(\frac{2x}{7} + \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$;

г) $2\sin\left(5x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{2}$.

а) $2\sin x-\sqrt{2}=0$
Первым шагом преобразуем уравнение, чтобы выразить $\sin x$. Для этого перенесем $\sqrt{2}$ в правую часть и разделим обе части на 2.
$2\sin x=\sqrt{2}$
$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\sin x = a$ дается формулой $x=(-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$, а $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\pi}{4}$.
Подставляем это значение в общую формулу и получаем решение.
Ответ: $x=(-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $-\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{3}-\pi x)+1=0$
Выразим тригонометрическую функцию из уравнения.
$-\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{3}-\pi x) = -1$
$\sin(\frac{\pi}{3}-\pi x) = \frac{-1}{-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Чтобы упростить дальнейшие вычисления, воспользуемся свойством нечетности синуса $\sin(-A) = -\sin(A)$ и сделаем коэффициент при $x$ положительным. Аргумент $(\frac{\pi}{3}-\pi x)$ можно записать как $-(\pi x - \frac{\pi}{3})$.
$\sin(-(\pi x - \frac{\pi}{3})) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$-\sin(\pi x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(\pi x - \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Теперь применим общую формулу решения. Аргумент синуса равен:
$\pi x - \frac{\pi}{3} = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, то:
$\pi x - \frac{\pi}{3} = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n$
$\pi x - \frac{\pi}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$
Выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{3}$ в правую часть и разделив всё на $\pi$.
$\pi x = \frac{\pi}{3} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$
$x = \frac{1}{3} + (-1)^{n+1} \frac{1}{4} + n$
Ответ: $x = \frac{1}{3} + (-1)^{n+1} \frac{1}{4} + n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $2\sin(\frac{2x}{7}+\frac{\pi}{4})=-\sqrt{2}$
Выразим синус из уравнения, разделив обе части на 2.
$\sin(\frac{2x}{7}+\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Применим общую формулу для решения уравнения $\sin(y)=a$, которая гласит $y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае аргумент $y = \frac{2x}{7}+\frac{\pi}{4}$.
$\frac{2x}{7}+\frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$
$\frac{2x}{7}+\frac{\pi}{4} = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$
Теперь выразим переменную $x$.
$\frac{2x}{7} = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$
$x = \frac{7}{2} \left( -\frac{\pi}{4} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n \right)$
$x = -\frac{7\pi}{8} + (-1)^{n+1} \frac{7\pi}{8} + \frac{7\pi n}{2}$
Ответ: $x = -\frac{7\pi}{8} + (-1)^{n+1} \frac{7\pi}{8} + \frac{7\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

г) $2\sin(5x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{2}$
Выделим синус, разделив уравнение на 2.
$\sin(5x+\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Применим общую формулу решения $y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$5x+\frac{\pi}{6} = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$
$5x+\frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$
Выразим $x$ из этого уравнения.
$5x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$
$x = \frac{1}{5} \left( -\frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n \right)$
$x = -\frac{\pi}{30} + (-1)^n \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{30} + (-1)^n \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

21. (2) Известно, что число абитуриентов, сдававших экзамен по предмету X на факультет Y университета Z больше ста тридцати, но меньше ста семидесяти четырех. Известно также, что ровно 64% из них получили оценку «3». Сколько абитуриентов сдавали этот экзамен?

Пусть $N$ — общее число абитуриентов. Согласно условию задачи, это число больше ста тридцати, но меньше ста семидесяти четырех. Это можно записать в виде строгого неравенства: $130 < N < 174$.

Также известно, что ровно 64% из них получили оценку «3». Поскольку число абитуриентов может быть только целым, количество студентов, получивших оценку «3», также должно быть целым числом. Это количество составляет $N \times 0.64$.

Чтобы найти $N$, представим 64% в виде обыкновенной дроби и сократим ее:

$0.64 = \frac{64}{100} = \frac{16 \times 4}{25 \times 4} = \frac{16}{25}$

Таким образом, произведение $N \times \frac{16}{25}$ должно быть целым числом. Дробь $\frac{16}{25}$ является несократимой, так как числа 16 и 25 взаимно просты (их наибольший общий делитель равен 1). Следовательно, для того чтобы результат умножения был целым, число $N$ должно без остатка делиться на знаменатель дроби, то есть на 25.

Теперь нам нужно найти число в интервале от 130 до 174, которое кратно 25. Выпишем числа, кратные 25: 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, ...

Из этого ряда только число 150 удовлетворяет условию $130 < 150 < 174$.

Проверим это решение: если $N=150$, то число абитуриентов, получивших оценку «3», равно $150 \times 0.64 = 96$. Это целое число, что соответствует условию задачи.

Ответ: 150

22. (1) Решите уравнения:

а) $0.6|x-0.3|=x^2+0.27$

б) $|2-x|=5-4x$

а) $0,6|x - 0,3| = x^2 + 0,27$

Для решения уравнения с модулем необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под знаком модуля.

1. Предположим, что выражение под модулем неотрицательно: $x - 0,3 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge 0,3$. В этом случае $|x - 0,3| = x - 0,3$.

Подставим это в исходное уравнение:

$0,6(x - 0,3) = x^2 + 0,27$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$0,6x - 0,18 = x^2 + 0,27$

$x^2 - 0,6x + 0,27 + 0,18 = 0$

$x^2 - 0,6x + 0,45 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-0,6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,45 = 0,36 - 1,8 = -1,44$

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, в случае $x \ge 0,3$ решений нет.

2. Теперь предположим, что выражение под модулем отрицательно: $x - 0,3 < 0$, что эквивалентно $x < 0,3$. В этом случае $|x - 0,3| = -(x - 0,3) = 0,3 - x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$0,6(0,3 - x) = x^2 + 0,27$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$0,18 - 0,6x = x^2 + 0,27$

$x^2 + 0,6x + 0,27 - 0,18 = 0$

$x^2 + 0,6x + 0,09 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат суммы $(x+a)^2 = x^2+2ax+a^2$:

$(x + 0,3)^2 = 0$

Из этого следует, что:

$x + 0,3 = 0$

$x = -0,3$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = -0,3$ условию данного случая $x < 0,3$.

$-0,3 < 0,3$. Условие выполняется, значит, $x = -0,3$ является решением уравнения.

Ответ: $-0,3$.

б) $|2 - x| = 5 - 4x$

Это уравнение вида $|f(x)| = g(x)$. Так как значение модуля всегда неотрицательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это является областью допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

$5 - 4x \ge 0$

$-4x \ge -5$

$x \le \frac{5}{4}$

$x \le 1,25$

Решения уравнения нужно будет проверить на соответствие этому условию.

Уравнение $|2 - x| = 5 - 4x$ равносильно совокупности двух уравнений:

1) $2 - x = 5 - 4x$

2) $2 - x = -(5 - 4x)$

Решим первое уравнение:

$2 - x = 5 - 4x$

$4x - x = 5 - 2$

$3x = 3$

$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=1$ условию ОДЗ $x \le 1,25$.

$1 \le 1,25$. Условие выполняется, значит $x = 1$ является корнем.

Решим второе уравнение:

$2 - x = -(5 - 4x)$

$2 - x = -5 + 4x$

$2 + 5 = 4x + x$

$7 = 5x$

$x = \frac{7}{5} = 1,4$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x = 1,4$ условию ОДЗ $x \le 1,25$.

$1,4 \le 1,25$. Условие не выполняется, следовательно, $x = 1,4$ является посторонним корнем и не входит в решение.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $1$.