Страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Решите уравнение (1-5):

1. (1) а) $\sin x = -1$;

б) $\sin 2x = -1$;

в) $\sin \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=-1$;

г) $\sin \left(\frac{\pi}{4}-3x\right)=-1$.

а)

Дано уравнение $ \sin x = -1 $.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение для уравнения $ \sin t = -1 $ имеет вид $ t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $ (n — любое целое число).

В данном случае $ t = x $, поэтому решение уравнения:

$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б)

Дано уравнение $ \sin 2x = -1 $.

Используем общую формулу для решения уравнения $ \sin t = -1 $, которая гласит $ t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае аргумент синуса $ t = 2x $. Подставляем его в формулу:

$ 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$ x = \frac{-\frac{\pi}{2} + 2\pi n}{2} $

$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

в)

Дано уравнение $ \sin(2x - \frac{\pi}{3}) = -1 $.

Аргумент синуса равен $ 2x - \frac{\pi}{3} $. Применяем общую формулу для $ \sin t = -1 $:

$ 2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Сначала выразим $2x$. Для этого перенесем $ \frac{\pi}{3} $ в правую часть уравнения, изменив знак:

$ 2x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n $.

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 6:

$ 2x = -\frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2\pi n $

$ 2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n $.

Теперь разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$ x = \frac{-\frac{\pi}{6} + 2\pi n}{2} $

$ x = -\frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

г)

Дано уравнение $ \sin(\frac{\pi}{4} - 3x) = -1 $.

Аргумент синуса равен $ \frac{\pi}{4} - 3x $. Применяем общую формулу для $ \sin t = -1 $:

$ \frac{\pi}{4} - 3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Выразим $ -3x $. Для этого перенесем $ \frac{\pi}{4} $ в правую часть уравнения:

$ -3x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $.

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 4:

$ -3x = -\frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $

$ -3x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n $.

Разделим обе части уравнения на -3, чтобы найти $x$:

$ x = \frac{-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n}{-3} $

$ x = \frac{-\frac{3\pi}{4}}{-3} + \frac{2\pi n}{-3} $

$ x = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi n}{3} $.

Так как $n$ является любым целым числом ($...-2, -1, 0, 1, 2...$), то множество решений не изменится, если мы заменим $ -n $ на $ k $, где $k$ тоже любое целое число. Это позволяет записать ответ в более привычной форме с положительным периодом. Заменим $-n$ на $n$ (так как оба пробегают все целые числа):

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.

14. (3) а) Исследуйте функцию $y=\frac{9-x^2}{x}$ и постройте ее график.

б) На той же координатной плоскости постройте окружность $(x-6)^2+(y-6)^2=36$. Определите количество решений системы уравнений

$\begin{cases} (x-6)^2+(y-6)^2=36, \\ xy=9-x^2. \end{cases}$ $P\left(-\frac{\pi}{2};-3\right)$

а) Исследуем функцию $y=\frac{9-x^2}{x}$ и построим ее график.

1. Преобразование функции.
Функцию можно представить в виде суммы двух более простых функций:$y = \frac{9}{x} - \frac{x^2}{x} = \frac{9}{x} - x$.Это сумма обратной пропорциональности (гиперболы) $y_1 = \frac{9}{x}$ и прямой $y_2 = -x$.

2. Область определения.
Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Четность и симметрия.
Проверим значение функции для $-x$:$y(-x) = \frac{9-(-x)^2}{-x} = \frac{9-x^2}{-x} = -(\frac{9-x^2}{x}) = -y(x)$.Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY: пересечения нет, так как $x \neq 0$.
- С осью OX (нули функции): $y=0 \implies \frac{9-x^2}{x} = 0 \implies 9-x^2=0 \implies x^2=9 \implies x=\pm3$.Точки пересечения с осью OX: $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

5. Асимптоты.
- Вертикальная асимптота: Прямая $x=0$ (ось OY), так как при $x \to 0$ знаменатель дроби стремится к нулю, а числитель к 9.
$\lim_{x \to 0^+} \frac{9-x^2}{x} = +\infty$
$\lim_{x \to 0^-} \frac{9-x^2}{x} = -\infty$
- Наклонная асимптота: Из представления $y = -x + \frac{9}{x}$ следует, что при $x \to \pm\infty$ член $\frac{9}{x} \to 0$. Следовательно, график функции приближается к прямой $y=-x$. Это наклонная асимптота.

6. Промежутки монотонности и экстремумы.
Найдем первую производную:$y' = (\frac{9}{x} - x)' = -\frac{9}{x^2} - 1 = -( \frac{9}{x^2} + 1 )$.Так как $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y' < 0$ всегда.Функция убывает на всем протяжении своей области определения, то есть на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Экстремумов у функции нет.

7. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Найдем вторую производную:$y'' = (-\frac{9}{x^2} - 1)' = (-9x^{-2})' = (-9)(-2)x^{-3} = \frac{18}{x^3}$.- При $x > 0$, $y'' > 0$, следовательно, график функции вогнутый (выпуклый вниз).- При $x < 0$, $y'' < 0$, следовательно, график функции выпуклый (выпуклый вверх).Точек перегиба нет, так как в точке $x=0$ функция не определена.

8. Построение графика.
На основе проведенного анализа можно построить график. Он состоит из двух ветвей.
- Правая ветвь ($x>0$): проходит через точку $(3,0)$, является вогнутой, приближается к оси OY сверху при $x \to 0^+$ и к прямой $y=-x$ сверху при $x \to +\infty$. Контрольные точки: $(1, 8)$, $(3, 0)$.
- Левая ветвь ($x<0$): симметрична правой относительно начала координат. Проходит через точку $(-3,0)$, является выпуклой, приближается к оси OY снизу при $x \to 0^-$ и к прямой $y=-x$ снизу при $x \to -\infty$. Контрольные точки: $(-1, -8)$, $(-3, 0)$.

Ответ: Функция $y=\frac{9-x^2}{x}$ является нечетной, убывающей на всей области определения $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и наклонную асимптоту $y=-x$. Пересекает ось абсцисс в точках $x=3$ и $x=-3$. График состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.

б) Построим на той же координатной плоскости окружность $(x-6)^2 + (y-6)^2 = 36$ и определим количество решений системы уравнений.

Система уравнений имеет вид:$ \begin{cases} (x-6)^2+(y-6)^2=36 \\ xy = 9-x^2 \end{cases} $

1. Анализ уравнений.
- Первое уравнение $(x-6)^2+(y-6)^2=36$ — это уравнение окружности с центром в точке $C(6, 6)$ и радиусом $R=\sqrt{36}=6$. Окружность касается осей координат в точках $(6,0)$ и $(0,6)$ и расположена в I, II и IV квадрантах ($x \in [0, 12]$, $y \in [0, 12]$).
- Второе уравнение $xy = 9-x^2$ при $x \neq 0$ эквивалентно уравнению $y=\frac{9-x^2}{x}$. Это функция, график которой был исследован в пункте а).

2. Графическое решение системы.
Количество решений системы равно количеству точек пересечения графика функции $y=\frac{9-x^2}{x}$ и окружности $(x-6)^2+(y-6)^2=36$.

3. Анализ пересечений.
- Левая ветвь графика функции ($x<0$) не может пересекаться с окружностью, так как все точки окружности имеют неотрицательную абсциссу ($x \ge 0$).
- Рассмотрим правую ветвь ($x>0$). Чтобы найти точки пересечения, подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:$(x-6)^2 + (\frac{9-x^2}{x} - 6)^2 = 36$$(x-6)^2 + (\frac{9-x^2-6x}{x})^2 = 36$$x^2-12x+36 + \frac{-(x^2+6x-9)}{x})^2 = 36$$x^2-12x + \frac{(x^2+6x-9)^2}{x^2} = 0$Умножим на $x^2$ (так как $x>0$):$x^4 - 12x^3 + (x^2+6x-9)^2 = 0$$x^4 - 12x^3 + (x^4+36x^2+81+12x^3-18x^2-108x) = 0$$2x^4 + 18x^2 - 108x + 81 = 0$

4. Исследование числа корней.
Нам нужно найти количество положительных корней уравнения $g(x) = 2x^4 + 18x^2 - 108x + 81 = 0$.- Проверим значения функции $g(x)$ в некоторых точках:$g(0) = 81 > 0$
$g(1) = 2(1)^4 + 18(1)^2 - 108(1) + 81 = 2+18-108+81 = -7 < 0$
$g(2) = 2(2)^4 + 18(2)^2 - 108(2) + 81 = 32+72-216+81 = -31 < 0$
$g(3) = 2(3)^4 + 18(3)^2 - 108(3) + 81 = 162+162-324+81 = 81 > 0$
- Так как функция $g(x)$ непрерывна, смена знака указывает на наличие корней:- На интервале $(0,1)$ есть как минимум один корень, так как $g(0)>0$ и $g(1)<0$.- На интервале $(2,3)$ есть как минимум один корень, так как $g(2)<0$ и $g(3)>0$.- Исследуем производную $g'(x) = 8x^3 + 36x - 108$. Производная $g'(x)$ имеет только один действительный корень $x_0 \in (1,2)$, так как её производная $g''(x)=24x^2+36$ всегда положительна. Это означает, что у функции $g(x)$ только один экстремум (минимум) при $x>0$.- Поскольку $g(0)>0$, функция убывает до отрицательного минимума, а затем возрастает до $+\infty$, она пересекает ось абсцисс ровно два раза.Следовательно, уравнение имеет ровно два положительных корня. Каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$.Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: 2.

15. (4) а) Докажите, что все прямые вида $y=k(x+3)$, где $k$ – произвольное число, проходят через точку с координатами $(-3;0)$. Чем отличается положение прямой при положительном значении $k$ от положения прямой при отрицательном значении $k$?

б) Постройте график функции $y=\frac{x^2}{9-x^2}$. Используя построенный график, постарайтесь определить количество корней уравнения $\frac{x^2}{9-x^2}=k(x+3)$ в зависимости от значений параметра $k$.

а)

Чтобы доказать, что все прямые вида $y=k(x+3)$ проходят через точку с координатами $(-3;0)$, подставим эти координаты в уравнение прямой.
Подставляем $x = -3$ и $y = 0$:
$0 = k(-3+3)$
$0 = k \cdot 0$
$0 = 0$
Это равенство верно для любого значения параметра $k$. Следовательно, все прямые данного вида проходят через точку $(-3;0)$, что и требовалось доказать.

Теперь разберемся, чем отличается положение прямой при положительном и отрицательном $k$.
Параметр $k$ в уравнении прямой $y=k(x+3)$ (или $y=kx+3k$) является угловым коэффициентом. Он определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (Ox).
- При положительном значении $k$ ($k > 0$) угловой коэффициент положителен. Это означает, что прямая является возрастающей. Угол, который она образует с положительным направлением оси Ox, — острый (от 0° до 90°).
- При отрицательном значении $k$ ($k < 0$) угловой коэффициент отрицателен. Это означает, что прямая является убывающей. Угол, который она образует с положительным направлением оси Ox, — тупой (от 90° до 180°).

Ответ: Утверждение доказано. При $k>0$ прямая является возрастающей, а при $k<0$ — убывающей.

б)

Сначала построим график функции $y = \frac{x^2}{9-x^2}$. Для этого исследуем функцию:
1. Область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $9-x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 9 \implies x \neq \pm 3$.
$D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.
2. Асимптоты. Прямые $x=-3$ и $x=3$ являются вертикальными асимптотами.
Найдем горизонтальную асимптоту, вычислив предел функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{9-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{-x^2(1 - \frac{9}{x^2})} = -1$.
Следовательно, прямая $y=-1$ — горизонтальная асимптота.
3. Четность. $y(-x) = \frac{(-x)^2}{9-(-x)^2} = \frac{x^2}{9-x^2} = y(x)$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси ординат (Oy).
4. Точки пересечения с осями координат. При $x=0$, $y=0$. График проходит через начало координат $(0;0)$. Это единственная точка пересечения с осями.
5. Экстремумы. Найдем производную: $y' = \left(\frac{x^2}{9-x^2}\right)' = \frac{2x(9-x^2) - x^2(-2x)}{(9-x^2)^2} = \frac{18x-2x^3+2x^3}{(9-x^2)^2} = \frac{18x}{(9-x^2)^2}$.
Производная равна нулю при $x=0$. При $x<0$ производная отрицательна (функция убывает), при $x>0$ — положительна (функция возрастает). Значит, точка $(0;0)$ является точкой локального минимума.

Теперь определим количество корней уравнения $\frac{x^2}{9-x^2} = k(x+3)$ в зависимости от параметра $k$.
Количество корней этого уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y = \frac{x^2}{9-x^2}$ и семейства прямых $y = k(x+3)$.
Как было показано в пункте а), все прямые вида $y = k(x+3)$ проходят через точку $(-3;0)$. Таким образом, задача сводится к определению числа точек пересечения графика функции с прямой, "вращающейся" вокруг точки $(-3;0)$.
Рассмотрим три случая для параметра $k$:
- $k < 0$: Прямая $y=k(x+3)$ убывает.
Для $x \in (-\infty; -3)$ прямая находится выше оси Ox ($y>0$), а график функции — ниже асимптоты $y=-1$ ($y<-1$). Пересечений нет.
Для $x \in (-3; 3)$ прямая находится ниже оси Ox ($y<0$), а график функции — выше или на оси Ox ($y \ge 0$). Пересечений нет.
Для $x \in (3; +\infty)$ и прямая, и график функции находятся ниже оси Ox. Убывающая прямая и возрастающая (от $-\infty$ до $-1$) ветвь графика обязательно пересекутся в одной точке.
Итого: 1 корень.
- $k = 0$: Прямая имеет вид $y=0$, то есть совпадает с осью Ox. График функции $y = \frac{x^2}{9-x^2}$ пересекает ось Ox только в одной точке — $(0;0)$.
Итого: 1 корень ($x=0$).
- $k > 0$: Прямая $y=k(x+3)$ возрастает.
Для $x \in (-\infty; -3)$ и прямая, и график функции находятся ниже оси Ox. Возрастающая прямая и убывающая (от $-1$ до $-\infty$) ветвь графика обязательно пересекутся в одной точке.
Для $x \in (-3; 3)$ и прямая, и центральная ветвь графика находятся выше оси Ox ($y>0$). Прямая, выходящая из точки $(-3;0)$ вверх, пересечет U-образную ветвь графика, идущую от $+\infty$ до $(0;0)$ и обратно к $+\infty$, в двух точках.
Для $x \in (3; +\infty)$ прямая находится выше оси Ox ($y>0$), а график функции — ниже ($y<-1$). Пересечений нет.
Итого: $1 + 2 = $ 3 корня.

Ответ: При $k \le 0$ уравнение имеет 1 корень; при $k > 0$ уравнение имеет 3 корня.

16. (3)

Определите уравнение асимптоты графика функции $f(x)=\frac{-5x^3+130x^2-245x+126}{6(x-1)^2}$ при $x \to +\infty$. Используя уравнение асимптоты, найдите приближенное значение функции в точке $x=60$.

Определите уравнение асимптоты графика функции $f(x)=\frac{-5x^3+130x^2-245x+126}{6(x-1)^2}$ при $x \to +\infty$.

Заданная функция является рациональной, где степень многочлена в числителе $n=3$, а степень многочлена в знаменателе $m=2$. Поскольку степень числителя на единицу больше степени знаменателя ($n = m+1$), график функции имеет наклонную асимптоту, уравнение которой ищется в виде $y=kx+b$.

Коэффициенты $k$ и $b$ находятся по формулам:

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$

$b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - kx)$

Найдем коэффициент $k$:

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{-5x^3+130x^2-245x+126}{x \cdot 6(x-1)^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-5x^3+130x^2-245x+126}{6x(x^2-2x+1)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-5x^3+130x^2-245x+126}{6x^3-12x^2+6x}$

Для нахождения предела разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$, то есть на $x^3$:

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{-5+\frac{130}{x}-\frac{245}{x^2}+\frac{126}{x^3}}{6-\frac{12}{x}+\frac{6}{x^2}} = \frac{-5}{6}$

Теперь найдем коэффициент $b$:

$b = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{-5x^3+130x^2-245x+126}{6(x-1)^2} - (-\frac{5}{6}x) \right) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{-5x^3+130x^2-245x+126}{6(x^2-2x+1)} + \frac{5x}{6} \right)$

Приводим дроби к общему знаменателю $6(x^2-2x+1)$:

$b = \lim_{x \to +\infty} \frac{-5x^3+130x^2-245x+126 + 5x(x^2-2x+1)}{6(x^2-2x+1)}$

$b = \lim_{x \to +\infty} \frac{-5x^3+130x^2-245x+126 + 5x^3-10x^2+5x}{6x^2-12x+6}$

$b = \lim_{x \to +\infty} \frac{120x^2-240x+126}{6x^2-12x+6}$

Разделим числитель и знаменатель на $x^2$:

$b = \lim_{x \to +\infty} \frac{120-\frac{240}{x}+\frac{126}{x^2}}{6-\frac{12}{x}+\frac{6}{x^2}} = \frac{120}{6} = 20$

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты $y = -\frac{5}{6}x + 20$.

Альтернативный способ — деление многочлена числителя на многочлен знаменателя:

$f(x) = \frac{-5x^3+130x^2-245x+126}{6x^2-12x+6} = -\frac{5}{6}x + 20 + \frac{6}{6x^2-12x+6} = -\frac{5}{6}x + 20 + \frac{1}{(x-1)^2}$

При $x \to +\infty$ остаток $\frac{1}{(x-1)^2}$ стремится к нулю, следовательно, асимптота имеет уравнение $y = -\frac{5}{6}x + 20$.

Ответ: Уравнение асимптоты: $y = -\frac{5}{6}x + 20$.

Используя уравнение асимптоты, найдите приближенное значение функции в точке $x=60$.

При больших значениях $x$ значение функции $f(x)$ близко к значению на асимптоте $y(x)$. Поэтому для нахождения приближенного значения функции в точке $x=60$ подставим это значение в уравнение асимптоты.

$f(60) \approx y(60) = -\frac{5}{6} \cdot 60 + 20$

$f(60) \approx -5 \cdot \frac{60}{6} + 20$

$f(60) \approx -5 \cdot 10 + 20$

$f(60) \approx -50 + 20 = -30$

Ответ: Приближенное значение функции в точке $x=60$ равно $-30$.

17.(4) Исследуйте функцию $f(x) = 2\cos x + \sin 2x$ и постройте ее график.

Проведем полное исследование функции $f(x) = 2\cos x + \sin(2x)$.

1. Область определения

Функция является суммой тригонометрических функций $\cos x$ и $\sin(2x)$, которые определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения функции - вся числовая прямая.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Периодичность

Функция $y = 2\cos x$ имеет основной период $T_1 = 2\pi$. Функция $y = \sin(2x)$ имеет основной период $T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Период суммы этих функций равен наименьшему общему кратному их периодов, то есть $T = \text{НОК}(2\pi, \pi) = 2\pi$. Проверим:

$f(x + 2\pi) = 2\cos(x + 2\pi) + \sin(2(x + 2\pi)) = 2\cos x + \sin(2x + 4\pi) = 2\cos x + \sin(2x) = f(x)$.

Функция является периодической с основным периодом $T=2\pi$. Для построения графика достаточно исследовать функцию на любом отрезке длиной $2\pi$, например, на отрезке $[-\pi, \pi]$.

Ответ: Функция периодическая с периодом $T = 2\pi$.

3. Четность и нечетность

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = 2\cos(-x) + \sin(2(-x)) = 2\cos x - \sin(2x)$.

Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Ответ: Функция общего вида.

4. Точки пересечения с осями координат

- Пересечение с осью Oy: найдем $f(0)$.

$f(0) = 2\cos(0) + \sin(0) = 2 \cdot 1 + 0 = 2$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 2)$.

- Пересечение с осью Ox: решим уравнение $f(x) = 0$.

$2\cos x + \sin(2x) = 0$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$2\cos x + 2\sin x \cos x = 0$.

$2\cos x (1 + \sin x) = 0$.

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $1 + \sin x = 0 \implies \sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Решения второго уравнения являются частью решений первого. Таким образом, нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

На отрезке $[-\pi, \pi]$ точки пересечения с осью Ox: $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: Точка пересечения с Oy: $(0, 2)$. Точки пересечения с Ox (на отрезке $[-\pi, \pi]$): $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем первую производную функции:

$f'(x) = (2\cos x + \sin(2x))' = -2\sin x + 2\cos(2x)$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-2\sin x + 2\cos(2x) = 0 \implies \cos(2x) = \sin x$.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$:

$1 - 2\sin^2 x = \sin x \implies 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$.

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$:

$2t^2 + t - 1 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = -1$.

Возвращаемся к замене:

1) $\sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

На отрезке $[-\pi, \pi]$ критическими точками являются $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{5\pi}{6}$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые эти точки разбивают отрезок $[-\pi, \pi]$.

$f'(x) = -2(2\sin^2 x + \sin x - 1) = -2(2\sin x - 1)(\sin x + 1)$.

Так как $(\sin x + 1) \ge 0$, знак $f'(x)$ противоположен знаку выражения $(2\sin x - 1)$.

- Если $x \in [-\pi, \frac{\pi}{6}) \cup (\frac{5\pi}{6}, \pi]$, то $\sin x \frac{1}{2}$, значит $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

- Если $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$, то $\sin x > \frac{1}{2}$, значит $f'(x) 0$ и функция убывает.

В точке $x=\frac{\pi}{6}$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума.

$y_{max} = f(\frac{\pi}{6}) = 2\cos(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{3}) = 2\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.6$.

В точке $x=\frac{5\pi}{6}$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума.

$y_{min} = f(\frac{5\pi}{6}) = 2\cos(\frac{5\pi}{6}) + \sin(\frac{5\pi}{3}) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx -2.6$.

В точке $x = -\frac{\pi}{2}$ производная равна нулю, но не меняет знак, поэтому это не точка экстремума.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $[-\pi+2\pi n, \frac{\pi}{6}+2\pi n]$ и $[\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \pi+2\pi n]$. Убывает на $[\frac{\pi}{6}+2\pi n, \frac{5\pi}{6}+2\pi n]$. Точка максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$. Точка минимума: $x_{min} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Найдем вторую производную:

$f''(x) = (-2\sin x + 2\cos(2x))' = -2\cos x - 4\sin(2x)$.

Найдем точки, в которых $f''(x) = 0$:

$-2\cos x - 4\sin(2x) = 0$.

$-2\cos x - 8\sin x \cos x = 0$.

$-2\cos x(1 + 4\sin x) = 0$.

Получаем два случая:

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. На отрезке $[-\pi, \pi]$ это точки $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

2) $1 + 4\sin x = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{4}$. На отрезке $[-\pi, \pi]$ это точки $x_1 = \arcsin(-\frac{1}{4}) = -\arcsin(\frac{1}{4})$ и $x_2 = -\pi - \arcsin(-\frac{1}{4}) = -\pi + \arcsin(\frac{1}{4})$.

Определим знаки второй производной на интервалах.

$f''(x) = -2\cos x (1 + 4\sin x)$.

Анализируя знаки сомножителей на отрезке $[-\pi, \pi]$, получаем:

- Функция выпукла вниз (вогнутая), когда $f''(x) > 0$. Это происходит на интервалах $(-\pi, -\pi+\arcsin\frac{1}{4})$, $(-\frac{\pi}{2}, -\arcsin\frac{1}{4})$ и $(\frac{\pi}{2}, \pi)$.

- Функция выпукла вверх (выпуклая), когда $f''(x) 0$. Это происходит на интервалах $(-\pi+\arcsin\frac{1}{4}, -\frac{\pi}{2})$ и $(-\arcsin\frac{1}{4}, \frac{\pi}{2})$.

В точках $x = -\pi + \arcsin\frac{1}{4}$, $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = -\arcsin\frac{1}{4}$ и $x = \frac{\pi}{2}$ вторая производная меняет знак, значит это абсциссы точек перегиба. Найдем их ординаты:

$f(-\frac{\pi}{2}) = 0$, $f(\frac{\pi}{2}) = 0$.

При $\sin x = -\frac{1}{4}$, $\cos x = \pm\sqrt{1 - (-\frac{1}{4})^2} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$.

$f(x) = 2\cos x(1+\sin x)$.

Для $x_1 = -\arcsin(\frac{1}{4})$, $\cos x_1 > 0$: $y_1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}(1-\frac{1}{4}) = \frac{3\sqrt{15}}{8} \approx 1.45$.

Для $x_2 = -\pi + \arcsin(\frac{1}{4})$, $\cos x_2 0$: $y_2 = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{15}}{4})(1-\frac{1}{4}) = -\frac{3\sqrt{15}}{8} \approx -1.45$.

Ответ: Точки перегиба на отрезке $[-\pi, \pi]$: $(-\pi+\arcsin\frac{1}{4}, -\frac{3\sqrt{15}}{8})$, $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, $(-\arcsin\frac{1}{4}, \frac{3\sqrt{15}}{8})$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

7. Построение графика

Сведем полученные данные в таблицу (значения $x$ даны для отрезка $[-\pi, \pi]$):

- Концевые точки: $(-\pi, -2)$, $(\pi, -2)$.
- Пересечение с Oy: $(0, 2)$.
- Нули функции: $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$.
- Максимум: $(\frac{\pi}{6}, \frac{3\sqrt{3}}{2}) \approx (0.52, 2.6)$.
- Минимум: $(\frac{5\pi}{6}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}) \approx (2.62, -2.6)$.
- Точки перегиба: $\approx (-2.89, -1.45)$, $(-1.57, 0)$, $\approx (-0.25, 1.45)$, $(1.57, 0)$.

На основе этих данных строим график функции на отрезке $[-\pi, \pi]$ и затем, используя периодичность, продолжаем его на всю числовую ось. График представляет собой периодическую волну. Начиная с точки $(-\pi, -2)$, он возрастает, проходя через точку перегиба $\approx (-2.89, -1.45)$ и еще одну точку перегиба в нуле функции $(-\pi/2, 0)$. Рост продолжается через еще одну точку перегиба $\approx (-0.25, 1.45)$ до локального максимума в точке $\approx (0.52, 2.6)$. Затем функция убывает, пересекая ось Oy в точке $(0, 2)$, проходит через точку перегиба в нуле функции $(\pi/2, 0)$ и достигает локального минимума в точке $\approx (2.62, -2.6)$. После этого функция снова возрастает до точки $(\pi, -2)$, завершая период.

Ответ: График функции построен на основании проведенного исследования.

18. (3)Дана функция $g(x)=2\cos x+x$, определенная на промежутке $x \in [-2\pi; 2\pi]$. Исследуйте функцию $y=g(x)$ и постройте ее график.

Проведем полное исследование функции $g(x) = 2\cos x + x$ на промежутке $x \in [-2\pi; 2\pi]$.

1. Область определения

Функция представляет собой сумму двух функций: $y_1=2\cos x$ и $y_2=x$. Обе эти функции определены для всех действительных чисел. По условию задачи, функция рассматривается на промежутке $[-2\pi; 2\pi]$.

Ответ: Область определения функции $D(g) = [-2\pi; 2\pi]$.

2. Четность, нечетность и периодичность

Для определения четности найдем $g(-x)$:$g(-x) = 2\cos(-x) + (-x) = 2\cos x - x$.Так как $g(-x) \neq g(x)$ и $g(-x) \neq -g(x) = -2\cos x - x$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).Функция не является периодической, так как она представляет собой сумму периодической функции $2\cos x$ и непериодической функции $x$.

Ответ: Функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной) и непериодична.

3. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью ординат (Oy):При $x=0$, имеем $g(0) = 2\cos(0) + 0 = 2 \cdot 1 = 2$.Точка пересечения с осью Oy: $(0; 2)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox):При $g(x)=0$, имеем $2\cos x + x = 0$, или $\cos x = -x/2$.Это трансцендентное уравнение. Решим его приближенно, проанализировав функцию. Рассмотрим $g(x)$ на отрезке $[-\pi/2; 0]$. $g(-\pi/2) = 2\cos(-\pi/2) - \pi/2 = -\pi/2 < 0$. $g(0) = 2 > 0$. Так как функция непрерывна на этом отрезке, существует как минимум одна точка $x_0 \in (-\pi/2; 0)$, в которой $g(x_0)=0$. Производная $g'(x) = -2\sin x + 1$ на интервале $(-\pi/2; 0)$ строго положительна ($ \sin x < 0 \Rightarrow g'(x) > 1 $), следовательно, функция на этом интервале возрастает, и корень единственный. Других корней на $[-2\pi; 2\pi]$ нет, что можно проверить, анализируя экстремумы.

Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0; 2)$. Имеется одна точка пересечения с осью Ox, $x_0 \in (-\pi/2; 0)$.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем первую производную функции:$g'(x) = (2\cos x + x)' = -2\sin x + 1$.Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$g'(x) = 0 \Rightarrow -2\sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 1/2$.На отрезке $[-2\pi; 2\pi]$ решениями этого уравнения являются:$x = \pi/6, x = 5\pi/6, x = \pi/6 - 2\pi = -11\pi/6, x = 5\pi/6 - 2\pi = -7\pi/6$.Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками:- Функция возрастает ($g'(x)>0$), когда $\sin x < 1/2$: $x \in [-2\pi, -11\pi/6) \cup (-7\pi/6, \pi/6) \cup (5\pi/6, 2\pi]$.- Функция убывает ($g'(x)<0$), когда $\sin x > 1/2$: $x \in (-11\pi/6, -7\pi/6) \cup (\pi/6, 5\pi/6)$.Точка $x=-11\pi/6$ - точка локального максимума. $g(-11\pi/6) = 2\cos(-11\pi/6) - 11\pi/6 = 2(\sqrt{3}/2) - 11\pi/6 = \sqrt{3} - 11\pi/6 \approx -4.03$.Точка $x=-7\pi/6$ - точка локального минимума. $g(-7\pi/6) = 2\cos(-7\pi/6) - 7\pi/6 = 2(-\sqrt{3}/2) - 7\pi/6 = -\sqrt{3} - 7\pi/6 \approx -5.40$.Точка $x=\pi/6$ - точка локального максимума. $g(\pi/6) = 2\cos(\pi/6) + \pi/6 = 2(\sqrt{3}/2) + \pi/6 = \sqrt{3} + \pi/6 \approx 2.26$.Точка $x=5\pi/6$ - точка локального минимума. $g(5\pi/6) = 2\cos(5\pi/6) + 5\pi/6 = 2(-\sqrt{3}/2) + 5\pi/6 = -\sqrt{3} + 5\pi/6 \approx 0.89$.Значения на концах отрезка:$g(-2\pi) = 2\cos(-2\pi) - 2\pi = 2 - 2\pi \approx -4.28$.$g(2\pi) = 2\cos(2\pi) + 2\pi = 2 + 2\pi \approx 8.28$.Глобальный максимум функции на отрезке $[-2\pi; 2\pi]$ достигается в точке $x=2\pi$ и равен $2+2\pi$.Глобальный минимум достигается в точке $x=-7\pi/6$ и равен $-\sqrt{3}-7\pi/6$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $[-2\pi, -11\pi/6]$ и $[-7\pi/6, \pi/6]$ и $[5\pi/6, 2\pi]$. Убывает на $[-11\pi/6, -7\pi/6]$ и $[\pi/6, 5\pi/6]$. Точки экстремумов: $x_{max1}=-11\pi/6$, $x_{min1}=-7\pi/6$, $x_{max2}=\pi/6$, $x_{min2}=5\pi/6$.

5. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную:$g''(x) = (-2\sin x + 1)' = -2\cos x$.Найдем точки, где вторая производная равна нулю:$g''(x) = 0 \Rightarrow -2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 0$.На отрезке $[-2\pi; 2\pi]$ решениями являются $x = \pm \pi/2, \pm 3\pi/2$.Определим знаки второй производной:- Функция выпукла вверх (вогнута), когда $g''(x)<0$, то есть $\cos x > 0$. Это происходит на $x \in [-2\pi, -3\pi/2) \cup (-\pi/2, \pi/2) \cup (3\pi/2, 2\pi]$.- Функция выпукла вниз (выпукла), когда $g''(x)>0$, то есть $\cos x < 0$. Это происходит на $x \in (-3\pi/2, -\pi/2) \cup (\pi/2, 3\pi/2)$.Так как в точках $x = \pm \pi/2, \pm 3\pi/2$ знак второй производной меняется, это точки перегиба.Найдем их координаты:$g(-3\pi/2) = 2\cos(-3\pi/2) - 3\pi/2 = -3\pi/2$. Точка: $(-3\pi/2; -3\pi/2)$.$g(-\pi/2) = 2\cos(-\pi/2) - \pi/2 = -\pi/2$. Точка: $(-\pi/2; -\pi/2)$.$g(\pi/2) = 2\cos(\pi/2) + \pi/2 = \pi/2$. Точка: $(\pi/2; \pi/2)$.$g(3\pi/2) = 2\cos(3\pi/2) + 3\pi/2 = 3\pi/2$. Точка: $(3\pi/2; 3\pi/2)$.

Ответ: Функция выпукла вверх на промежутках $[-2\pi, -3\pi/2]$, $[-\pi/2, \pi/2]$ и $[3\pi/2, 2\pi]$. Функция выпукла вниз на промежутках $[-3\pi/2, -\pi/2]$ и $[\pi/2, 3\pi/2]$. Точки перегиба: $(-3\pi/2, -3\pi/2)$, $(-\pi/2, -\pi/2)$, $(\pi/2, \pi/2)$, $(3\pi/2, 3\pi/2)$.

6. Построение графика

На основе проведенного исследования, построим график функции. Для этого сведем ключевые точки в список (с приблизительными значениями):

- Начальная точка: $(-2\pi, 2 - 2\pi) \approx (-6.28, -4.28)$

- Локальный максимум: $(-11\pi/6, \sqrt{3} - 11\pi/6) \approx (-5.76, -4.03)$

- Точка перегиба: $(-3\pi/2, -3\pi/2) \approx (-4.71, -4.71)$

- Локальный (и глобальный) минимум: $(-7\pi/6, -\sqrt{3} - 7\pi/6) \approx (-3.67, -5.40)$

- Точка перегиба: $(-\pi/2, -\pi/2) \approx (-1.57, -1.57)$

- Пересечение с осью Ox: $x_0 \approx -1.03, y=0$

- Пересечение с осью Oy: $(0, 2)$

- Локальный максимум: $(\pi/6, \sqrt{3} + \pi/6) \approx (0.52, 2.26)$

- Точка перегиба: $(\pi/2, \pi/2) \approx (1.57, 1.57)$

- Локальный минимум: $(5\pi/6, -\sqrt{3} + 5\pi/6) \approx (2.62, 0.89)$

- Точка перегиба: $(3\pi/2, 3\pi/2) \approx (4.71, 4.71)$

- Конечная (и глобальный максимум) точка: $(2\pi, 2 + 2\pi) \approx (6.28, 8.28)$

График представляет собой волнистую линию, в целом возрастающую и как бы колеблющуюся вокруг прямой $y=x$. Он начинается в точке $(-2\pi, 2-2\pi)$, достигает локального максимума, затем падает до глобального минимума, после чего возрастает, пересекая оси координат, доходит до второго локального максимума, снова падает до локального минимума, и далее монотонно возрастает до конца отрезка в точке $(2\pi, 2+2\pi)$.

Ответ: График функции строится на основе указанных ключевых точек и анализа промежутков монотонности и выпуклости.

19. (4)

Костя из 10Б класса и 8 его друзей из той же школы пошли в поход. Среди любых 4-х туристов обязательно есть одноклассники, а среди любых 5 – не больше, чем 3 одноклассника. Сколько учеников 10Б класса пошли в поход?

Всего в поход пошли Костя и 8 его друзей, то есть $1 + 8 = 9$ туристов.

Обозначим общее число туристов как $N=9$. Пусть туристы представляют $k$ различных классов, а количество учеников из каждого класса — $n_1, n_2, \ldots, n_k$. Сумма всех учеников равна общему числу туристов: $n_1 + n_2 + \ldots + n_k = 9$.

Рассмотрим первое условие: «Среди любых 4-х туристов обязательно есть одноклассники».
Это утверждение, по принципу Дирихле, означает, что невозможно выбрать 4 туристов так, чтобы они все были из разных классов. Если бы у нас было 4 или более классов, мы могли бы взять по одному ученику из каждого, и получили бы группу из 4 человек без одноклассников, что противоречит условию. Следовательно, количество различных классов, из которых приехали ученики, меньше четырех.
$k < 4$, то есть $k \le 3$.

Рассмотрим второе условие: «Среди любых 5 – не больше, чем 3 одноклассника».
Это означает, что в группе не может быть 4 или 5 учеников из одного класса. Если бы из какого-либо класса было 4 ученика, можно было бы составить из них и еще одного любого туриста группу из 5 человек, в которой было бы 4 одноклассника. Это противоречит условию. Значит, количество учеников из любого одного класса не может превышать 3.
$n_i \le 3$ для любого $i \in \{1, \ldots, k\}$.

Теперь объединим полученные сведения:
1. Общее число туристов $N = 9$.
2. Количество классов $k \le 3$.
3. Число учеников из каждого класса $n_i \le 3$.
4. $n_1 + n_2 + \ldots + n_k = 9$.

Проверим возможные значения для $k$:
• Если $k=1$, то $n_1 = 9$. Это противоречит условию $n_1 \le 3$.
• Если $k=2$, то $n_1 + n_2 = 9$. Так как $n_1 \le 3$ и $n_2 \le 3$, их максимальная сумма равна $3 + 3 = 6$, что меньше 9. Этот случай также невозможен.
• Если $k=3$, то $n_1 + n_2 + n_3 = 9$. Учитывая, что $n_1 \le 3, n_2 \le 3, n_3 \le 3$, единственным возможным решением этого уравнения в натуральных числах является $n_1 = 3, n_2 = 3, n_3 = 3$.

Таким образом, группа туристов состоит из учеников трех разных классов, по 3 человека из каждого. Поскольку Костя учится в 10Б классе, это один из этих трех классов.

Ответ: 3.

20. (3) Жанар живет в Алматы, но бизнес свой ведет в Талдыкоргане. Иногда ей требуется отправлять деньги из одного города в другой. Это можно сделать двумя способами: либо банковскими переводами, при этом банк удерживает $0.4\%$ от суммы перевода, либо курьером, стоимость поездки которого составляет $12000$ тенге независимо от суммы.

Начиная, с какой суммы Жанар будет выгоднее отправлять деньги курьером, чем через банк?

А) $300000$ тг; В) $480001$ тг; С) $480000$ тг; D) $3000000$ тг; Е) $3000001$ тг.

Для решения задачи необходимо определить, при какой сумме перевода стоимость услуг курьера станет меньше стоимости банковской комиссии.

Обозначим сумму перевода как $S$ (в тенге).

1. Стоимость банковского перевода.

Банк удерживает 0,4% от суммы перевода. Чтобы найти стоимость, нужно умножить сумму на процент, выраженный в виде десятичной дроби:

Комиссия банка = $S \times \frac{0,4}{100} = S \times 0,004$

2. Стоимость услуг курьера.

Стоимость поездки курьера — это фиксированная сумма, которая не зависит от размера перевода:

Стоимость курьера = 12000 тенге.

3. Сравнение стоимостей.

Нам нужно найти сумму $S$, начиная с которой отправка курьером будет выгоднее (дешевле), чем через банк. Для этого составим и решим неравенство, в котором стоимость услуг курьера меньше стоимости банковского перевода:

$12000 < S \times 0,004$

Выразим $S$ из этого неравенства:

$S > \frac{12000}{0,004}$

Чтобы упростить деление, умножим числитель и знаменатель на 1000:

$S > \frac{12000 \times 1000}{0,004 \times 1000}$

$S > \frac{12000000}{4}$

$S > 3000000$

Это означает, что отправлять деньги курьером становится выгоднее, когда сумма перевода строго больше 3 000 000 тенге.

При сумме ровно в 3 000 000 тенге стоимость обоих способов одинакова ($3000000 \times 0,004 = 12000$).

Следовательно, чтобы курьер стал выгоднее, сумма должна быть хотя бы на минимальную денежную единицу больше. Из предложенных вариантов, наименьшая сумма, которая больше 3 000 000 тенге, — это 3 000 001 тенге.

Ответ: E) 3000001 тг.