Номер 19, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

19. (4)

Костя из 10Б класса и 8 его друзей из той же школы пошли в поход. Среди любых 4-х туристов обязательно есть одноклассники, а среди любых 5 – не больше, чем 3 одноклассника. Сколько учеников 10Б класса пошли в поход?

Всего в поход пошли Костя и 8 его друзей, то есть $1 + 8 = 9$ туристов.

Обозначим общее число туристов как $N=9$. Пусть туристы представляют $k$ различных классов, а количество учеников из каждого класса — $n_1, n_2, \ldots, n_k$. Сумма всех учеников равна общему числу туристов: $n_1 + n_2 + \ldots + n_k = 9$.

Рассмотрим первое условие: «Среди любых 4-х туристов обязательно есть одноклассники».
Это утверждение, по принципу Дирихле, означает, что невозможно выбрать 4 туристов так, чтобы они все были из разных классов. Если бы у нас было 4 или более классов, мы могли бы взять по одному ученику из каждого, и получили бы группу из 4 человек без одноклассников, что противоречит условию. Следовательно, количество различных классов, из которых приехали ученики, меньше четырех.
$k < 4$, то есть $k \le 3$.

Рассмотрим второе условие: «Среди любых 5 – не больше, чем 3 одноклассника».
Это означает, что в группе не может быть 4 или 5 учеников из одного класса. Если бы из какого-либо класса было 4 ученика, можно было бы составить из них и еще одного любого туриста группу из 5 человек, в которой было бы 4 одноклассника. Это противоречит условию. Значит, количество учеников из любого одного класса не может превышать 3.
$n_i \le 3$ для любого $i \in \{1, \ldots, k\}$.

Теперь объединим полученные сведения:
1. Общее число туристов $N = 9$.
2. Количество классов $k \le 3$.
3. Число учеников из каждого класса $n_i \le 3$.
4. $n_1 + n_2 + \ldots + n_k = 9$.

Проверим возможные значения для $k$:
• Если $k=1$, то $n_1 = 9$. Это противоречит условию $n_1 \le 3$.
• Если $k=2$, то $n_1 + n_2 = 9$. Так как $n_1 \le 3$ и $n_2 \le 3$, их максимальная сумма равна $3 + 3 = 6$, что меньше 9. Этот случай также невозможен.
• Если $k=3$, то $n_1 + n_2 + n_3 = 9$. Учитывая, что $n_1 \le 3, n_2 \le 3, n_3 \le 3$, единственным возможным решением этого уравнения в натуральных числах является $n_1 = 3, n_2 = 3, n_3 = 3$.

Таким образом, группа туристов состоит из учеников трех разных классов, по 3 человека из каждого. Поскольку Костя учится в 10Б классе, это один из этих трех классов.

Ответ: 3.