Номер 13, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

13. (3) a) Исследуйте функцию $y=\frac{6(x-1)}{x^2+3}$ и постройте ее график.

б) На той же координатной плоскости постройте график функции $y=x^2-2x-2$. Решите графически неравенство $\frac{6(x-1)}{x^2+3} \le x^2-2x-2$.

а) Исследуйте функцию $y = \frac{6(x-1)}{x^2+3}$ и постройте ее график.

Проведем полное исследование функции для построения ее графика.

1. Область определения.
Знаменатель дроби $x^2+3$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $x^2+3 \ge 3$. Знаменатель никогда не обращается в ноль. Таким образом, область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
Найдем значение функции для $-x$: $y(-x) = \frac{6(-x-1)}{(-x)^2+3} = \frac{-6(x+1)}{x^2+3}$.
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = \frac{6(0-1)}{0^2+3} = \frac{-6}{3} = -2$. Точка пересечения $(0, -2)$.
- С осью Ox (при $y=0$): $\frac{6(x-1)}{x^2+3} = 0 \implies 6(x-1)=0 \implies x=1$. Точка пересечения $(1, 0)$.

4. Асимптоты.
- Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой прямой.
- Горизонтальные асимптоты: найдем предел функции при $x \to \pm \infty$.
$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{6(x-1)}{x^2+3} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{6x-6}{x^2+3} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{6}{x} - \frac{6}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}} = \frac{0-0}{1+0} = 0$.
Следовательно, прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой графика функции.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную функции: $y' = \left(\frac{6x-6}{x^2+3}\right)' = \frac{(6x-6)'(x^2+3) - (6x-6)(x^2+3)'}{(x^2+3)^2} = \frac{6(x^2+3) - (6x-6)(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{6x^2+18 - 12x^2 + 12x}{(x^2+3)^2} = \frac{-6x^2 + 12x + 18}{(x^2+3)^2} = \frac{-6(x^2-2x-3)}{(x^2+3)^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0 \implies -6(x^2-2x-3)=0 \implies x^2-2x-3=0$.
По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty, -1)$, $(-1, 3)$, $(3, +\infty)$.
- На интервале $(-\infty, -1)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-1, 3)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(3, +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x=-1$ происходит смена знака производной с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума. $y_{min} = y(-1) = \frac{6(-1-1)}{(-1)^2+3} = \frac{-12}{4} = -3$. Точка минимума: $(-1, -3)$.
В точке $x=3$ происходит смена знака производной с плюса на минус, значит, это точка локального максимума. $y_{max} = y(3) = \frac{6(3-1)}{3^2+3} = \frac{12}{12} = 1$. Точка максимума: $(3, 1)$.

6. Построение графика.
На основе полученных данных строим график. Отмечаем точки пересечения с осями $(0, -2)$ и $(1, 0)$, точки экстремумов $(-1, -3)$ и $(3, 1)$. Учитываем, что график приближается к асимптоте $y=0$ при $x \to \pm\infty$ и соблюдаем интервалы монотонности.

Ответ: Функция исследована. Для построения графика используются ключевые точки: пересечения с осями $(0, -2)$ и $(1, 0)$, локальный минимум $(-1, -3)$, локальный максимум $(3, 1)$, а также горизонтальная асимптота $y=0$.

б) На той же координатной плоскости постройте график функции $y=x^2-2x-2$. Решите графически неравенство $\frac{6(x-1)}{x^2+3}\le x^2-2x-2$.

1. Построение графика функции $y = x^2 - 2x - 2$.
Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен).
- Найдем координаты вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
$y_v = (1)^2 - 2(1) - 2 = 1 - 2 - 2 = -3$.
Вершина параболы находится в точке $(1, -3)$.
- Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2-2(0)-2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
- Точки пересечения с осью Ox (при $y=0$): $x^2 - 2x - 2 = 0$. $D = (-2)^2 - 4(1)(-2) = 12$. $x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$. Точки $(1-\sqrt{3}, 0)$ и $(1+\sqrt{3}, 0)$.
Строим параболу на той же координатной плоскости, что и график из пункта а).

2. Решение неравенства $\frac{6(x-1)}{x^2+3} \le x^2 - 2x - 2$.
Для решения неравенства графически необходимо определить, на каких промежутках оси $x$ график функции $y_1 = \frac{6(x-1)}{x^2+3}$ находится не выше (т.е. ниже или на том же уровне) графика функции $y_2 = x^2 - 2x - 2$.
Для этого найдем абсциссы точек пересечения двух графиков, решив уравнение $y_1=y_2$:
$\frac{6(x-1)}{x^2+3} = x^2 - 2x - 2$.
$6(x-1) = (x^2-2x-2)(x^2+3)$
$6x-6 = x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 3x^2 - 6x - 6$
$6x-6 = x^4 - 2x^3 + x^2 - 6x - 6$
$x^4 - 2x^3 + x^2 - 12x = 0$
$x(x^3 - 2x^2 + x - 12) = 0$
Один корень $x_1=0$. Проверим второй корень, который мы могли заметить из анализа первой функции, $x=3$:
$3^3 - 2(3^2) + 3 - 12 = 27 - 18 - 9 = 0$. Значит $x=3$ также является корнем.
Разделив многочлен $x^3 - 2x^2 + x - 12$ на $(x-3)$, получим $x^2+x+4$.
Уравнение для точек пересечения примет вид $x(x-3)(x^2+x+4)=0$.
Квадратный трехчлен $x^2+x+4$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D=1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -15 < 0$.
Таким образом, графики пересекаются в двух точках с абсциссами $x=0$ и $x=3$.
Анализируя взаимное расположение построенных графиков, видим, что график функции $y_1$ находится не выше графика $y_2$ при $x$, принадлежащих промежуткам от минус бесконечности до первой точки пересечения, и от второй точки пересечения до плюс бесконечности.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [3, +\infty)$.