Номер 10, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (2) Дана функция $y = \frac{-5-x}{x^2(x+3)}$. Определите уравнения вертикальных асимптот графика функции. Графически изобразите поведение функции вблизи вертикальных асимптот аналогично тому, как это сделано на рисунке 9 пункта 5.1 данного параграфа.

Определение уравнений вертикальных асимптот

Дана функция $y = \frac{-5 - x}{x^2(x + 3)}$.

Вертикальные асимптоты графика функции находятся в точках разрыва, где знаменатель дроби равен нулю, а числитель не равен нулю.

Найдем точки, в которых знаменатель $x^2(x + 3)$ обращается в ноль:

$x^2(x + 3) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.

Проверим значения числителя $-5 - x$ в этих точках:

При $x = 0$ числитель равен $-5 - 0 = -5$. Поскольку числитель не равен нулю ($ -5 \neq 0$), прямая $x = 0$ (ось ординат) является вертикальной асимптотой.

При $x = -3$ числитель равен $-5 - (-3) = -5 + 3 = -2$. Поскольку числитель не равен нулю ($ -2 \neq 0$), прямая $x = -3$ является вертикальной асимптотой.

Графическое изображение поведения функции вблизи вертикальных асимптот

Чтобы схематически изобразить поведение графика, исследуем односторонние пределы функции при приближении к асимптотам.

1. Поведение вблизи асимптоты $x = -3$.

а) Предел слева (когда $x \to -3^-$):

$\lim_{x \to -3^-} \frac{-5 - x}{x^2(x + 3)}$. Числитель $-5 - x$ стремится к $-2$. В знаменателе $x^2$ стремится к $9$, а множитель $(x+3)$ стремится к нулю, оставаясь отрицательным (например, при $x=-3.01$, $x+3 = -0.01$). Поэтому весь знаменатель $x^2(x+3)$ является малым отрицательным числом. В итоге предел равен: $\frac{-2}{-0} = +\infty$.

б) Предел справа (когда $x \to -3^+$):

$\lim_{x \to -3^+} \frac{-5 - x}{x^2(x + 3)}$. Числитель $-5 - x$ также стремится к $-2$. В знаменателе $x^2$ стремится к $9$, а множитель $(x+3)$ стремится к нулю, оставаясь положительным (например, при $x=-2.99$, $x+3 = 0.01$). Поэтому весь знаменатель $x^2(x+3)$ является малым положительным числом. В итоге предел равен: $\frac{-2}{+0} = -\infty$.

Графически это означает, что при приближении к прямой $x=-3$ слева, график функции уходит вверх в бесконечность. При приближении к прямой $x=-3$ справа, график уходит вниз в бесконечность.

2. Поведение вблизи асимптоты $x = 0$.

а) Предел слева (когда $x \to 0^-$):

$\lim_{x \to 0^-} \frac{-5 - x}{x^2(x + 3)}$. Числитель $-5 - x$ стремится к $-5$. В знаменателе $x^2$ стремится к нулю, оставаясь положительным (так как это квадрат), а множитель $(x+3)$ стремится к $3$. Поэтому весь знаменатель $x^2(x+3)$ является малым положительным числом. В итоге предел равен: $\frac{-5}{+0} = -\infty$.

б) Предел справа (когда $x \to 0^+$):

$\lim_{x \to 0^+} \frac{-5 - x}{x^2(x + 3)}$. Числитель $-5 - x$ стремится к $-5$. В знаменателе $x^2$ стремится к нулю, оставаясь положительным, а множитель $(x+3)$ стремится к $3$. Поэтому весь знаменатель $x^2(x+3)$ также является малым положительным числом. В итоге предел равен: $\frac{-5}{+0} = -\infty$.

Графически это означает, что при приближении к прямой $x=0$ (оси OY) как слева, так и справа, график функции уходит вниз в бесконечность.

Ответ: Уравнения вертикальных асимптот: $x = -3$ и $x = 0$. Поведение функции вблизи асимптот: при $x \to -3^-$ функция стремится к $+\infty$, при $x \to -3^+$ функция стремится к $-\infty$; при $x \to 0$ с обеих сторон функция стремится к $-\infty$. Схематически, при приближении к $x=-3$ слева график уходит вверх, а справа — вниз; при приближении к $x=0$ с обеих сторон график уходит вниз.