Номер 12, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (3)

а) Исследуйте функцию $y=x(x-2)^3$ и постройте ее график.

б) На той же координатной плоскости постройте график функции $y=-x+2$. Настолько точно, насколько позволяет ваш график, найдите корни уравнения $x(x-2)^3=-x+2$.

а) Исследуем функцию $y=x(x-2)^3$ и построим ее график.

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y=0(0-2)^3=0$. Точка $(0,0)$.

Пересечение с осью Ox: при $y=0$, $x(x-2)^3=0$. Корни $x_1=0$ и $x_2=2$. Точки $(0,0)$ и $(2,0)$.

3. Четность и нечетность.

$y(-x) = (-x)(-x-2)^3 = -x(-(x+2))^3 = -x(-1)^3(x+2)^3 = x(x+2)^3$.

Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. График не симметричен относительно оси Oy или начала координат.

4. Производная и точки экстремума.

Найдем первую производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v+uv'$:

$y' = (x)'(x-2)^3 + x((x-2)^3)' = 1 \cdot (x-2)^3 + x \cdot 3(x-2)^2 \cdot 1 = (x-2)^2(x-2+3x) = (x-2)^2(4x-2) = 2(2x-1)(x-2)^2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y'=0$.

$2(2x-1)(x-2)^2 = 0$.

Критические точки: $x_1 = 1/2$ и $x_2=2$.

Определим знаки производной на интервалах:

• При $x < 1/2$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x > 1/2$ (кроме $x=2$), $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x=1/2$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

Значение функции в точке минимума: $y(1/2) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-2)^3 = \frac{1}{2}(-\frac{3}{2})^3 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{27}{8}) = -\frac{27}{16} = -1.6875$.

Точка минимума: $(1/2, -27/16)$.

В точке $x=2$ производная не меняет знак, значит, это не точка экстремума.

5. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$y'' = (2(2x-1)(x-2)^2)' = 2 \cdot [(2x-1)'(x-2)^2 + (2x-1)((x-2)^2)'] = 2 \cdot [2(x-2)^2 + (2x-1) \cdot 2(x-2)] = 4(x-2)[(x-2) + (2x-1)] = 4(x-2)(3x-3) = 12(x-1)(x-2)$.

Приравняем вторую производную к нулю: $y''=0$.

$12(x-1)(x-2)=0$.

Точки возможного перегиба: $x_1=1$ и $x_2=2$.

Определим знаки второй производной на интервалах:

• При $x < 1$, $y'' > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).
• При $1 < x < 2$, $y'' < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).
• При $x > 2$, $y'' > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).

В точках $x=1$ и $x=2$ вторая производная меняет знак, значит, это точки перегиба.

Найдем координаты точек перегиба:

$y(1) = 1(1-2)^3 = -1$. Точка перегиба $(1, -1)$.

$y(2) = 2(2-2)^3 = 0$. Точка перегиба $(2, 0)$. В этой точке касательная к графику горизонтальна, так как $y'(2)=0$.

График функции $y=x(x-2)^3$ показан синим цветом на рисунке ниже.

Ответ: Функция исследована. Ключевые характеристики: область определения $D(y) = \mathbb{R}$; точки пересечения с осями $(0,0)$ и $(2,0)$; точка минимума $(1/2, -27/16)$; точки перегиба $(1, -1)$ и $(2, 0)$; функция убывает на $(-\infty, 1/2]$ и возрастает на $[1/2, +\infty)$.

б) Построим на той же координатной плоскости график функции $y=-x+2$. Это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• при $x=0$, $y=2$. Точка $(0,2)$.
• при $x=2$, $y=0$. Точка $(2,0)$.

Корни уравнения $x(x-2)^3=-x+2$ являются абсциссами точек пересечения графиков функций $y=x(x-2)^3$ и $y=-x+2$.

Из графика видно, что графики пересекаются в двух точках.

Одна точка пересечения очевидна: $(2,0)$. Это дает корень $x_1=2$.

Вторая точка пересечения имеет отрицательную абсциссу, близкую к нулю. По графику можно оценить ее координаты как примерно $(-0.2, 2.2)$. Это дает второй корень $x_2 \approx -0.2$.

Ответ: Графики построены на одной координатной плоскости. Корни уравнения, найденные по графику: $x_1=2$ и $x_2 \approx -0.2$.