Номер 15, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

15. (4) а) Докажите, что все прямые вида $y=k(x+3)$, где $k$ – произвольное число, проходят через точку с координатами $(-3;0)$. Чем отличается положение прямой при положительном значении $k$ от положения прямой при отрицательном значении $k$?

б) Постройте график функции $y=\frac{x^2}{9-x^2}$. Используя построенный график, постарайтесь определить количество корней уравнения $\frac{x^2}{9-x^2}=k(x+3)$ в зависимости от значений параметра $k$.

а)

Чтобы доказать, что все прямые вида $y=k(x+3)$ проходят через точку с координатами $(-3;0)$, подставим эти координаты в уравнение прямой.
Подставляем $x = -3$ и $y = 0$:
$0 = k(-3+3)$
$0 = k \cdot 0$
$0 = 0$
Это равенство верно для любого значения параметра $k$. Следовательно, все прямые данного вида проходят через точку $(-3;0)$, что и требовалось доказать.

Теперь разберемся, чем отличается положение прямой при положительном и отрицательном $k$.
Параметр $k$ в уравнении прямой $y=k(x+3)$ (или $y=kx+3k$) является угловым коэффициентом. Он определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (Ox).
- При положительном значении $k$ ($k > 0$) угловой коэффициент положителен. Это означает, что прямая является возрастающей. Угол, который она образует с положительным направлением оси Ox, — острый (от 0° до 90°).
- При отрицательном значении $k$ ($k < 0$) угловой коэффициент отрицателен. Это означает, что прямая является убывающей. Угол, который она образует с положительным направлением оси Ox, — тупой (от 90° до 180°).

Ответ: Утверждение доказано. При $k>0$ прямая является возрастающей, а при $k<0$ — убывающей.

б)

Сначала построим график функции $y = \frac{x^2}{9-x^2}$. Для этого исследуем функцию:
1. Область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $9-x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 9 \implies x \neq \pm 3$.
$D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.
2. Асимптоты. Прямые $x=-3$ и $x=3$ являются вертикальными асимптотами.
Найдем горизонтальную асимптоту, вычислив предел функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{9-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{-x^2(1 - \frac{9}{x^2})} = -1$.
Следовательно, прямая $y=-1$ — горизонтальная асимптота.
3. Четность. $y(-x) = \frac{(-x)^2}{9-(-x)^2} = \frac{x^2}{9-x^2} = y(x)$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси ординат (Oy).
4. Точки пересечения с осями координат. При $x=0$, $y=0$. График проходит через начало координат $(0;0)$. Это единственная точка пересечения с осями.
5. Экстремумы. Найдем производную: $y' = \left(\frac{x^2}{9-x^2}\right)' = \frac{2x(9-x^2) - x^2(-2x)}{(9-x^2)^2} = \frac{18x-2x^3+2x^3}{(9-x^2)^2} = \frac{18x}{(9-x^2)^2}$.
Производная равна нулю при $x=0$. При $x<0$ производная отрицательна (функция убывает), при $x>0$ — положительна (функция возрастает). Значит, точка $(0;0)$ является точкой локального минимума.

Теперь определим количество корней уравнения $\frac{x^2}{9-x^2} = k(x+3)$ в зависимости от параметра $k$.
Количество корней этого уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y = \frac{x^2}{9-x^2}$ и семейства прямых $y = k(x+3)$.
Как было показано в пункте а), все прямые вида $y = k(x+3)$ проходят через точку $(-3;0)$. Таким образом, задача сводится к определению числа точек пересечения графика функции с прямой, "вращающейся" вокруг точки $(-3;0)$.
Рассмотрим три случая для параметра $k$:
- $k < 0$: Прямая $y=k(x+3)$ убывает.
Для $x \in (-\infty; -3)$ прямая находится выше оси Ox ($y>0$), а график функции — ниже асимптоты $y=-1$ ($y<-1$). Пересечений нет.
Для $x \in (-3; 3)$ прямая находится ниже оси Ox ($y<0$), а график функции — выше или на оси Ox ($y \ge 0$). Пересечений нет.
Для $x \in (3; +\infty)$ и прямая, и график функции находятся ниже оси Ox. Убывающая прямая и возрастающая (от $-\infty$ до $-1$) ветвь графика обязательно пересекутся в одной точке.
Итого: 1 корень.
- $k = 0$: Прямая имеет вид $y=0$, то есть совпадает с осью Ox. График функции $y = \frac{x^2}{9-x^2}$ пересекает ось Ox только в одной точке — $(0;0)$.
Итого: 1 корень ($x=0$).
- $k > 0$: Прямая $y=k(x+3)$ возрастает.
Для $x \in (-\infty; -3)$ и прямая, и график функции находятся ниже оси Ox. Возрастающая прямая и убывающая (от $-1$ до $-\infty$) ветвь графика обязательно пересекутся в одной точке.
Для $x \in (-3; 3)$ и прямая, и центральная ветвь графика находятся выше оси Ox ($y>0$). Прямая, выходящая из точки $(-3;0)$ вверх, пересечет U-образную ветвь графика, идущую от $+\infty$ до $(0;0)$ и обратно к $+\infty$, в двух точках.
Для $x \in (3; +\infty)$ прямая находится выше оси Ox ($y>0$), а график функции — ниже ($y<-1$). Пересечений нет.
Итого: $1 + 2 = $ 3 корня.

Ответ: При $k \le 0$ уравнение имеет 1 корень; при $k > 0$ уравнение имеет 3 корня.