Номер 16, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

16. (3)

Определите уравнение асимптоты графика функции $f(x)=\frac{-5x^3+130x^2-245x+126}{6(x-1)^2}$ при $x \to +\infty$. Используя уравнение асимптоты, найдите приближенное значение функции в точке $x=60$.

Определите уравнение асимптоты графика функции $f(x)=\frac{-5x^3+130x^2-245x+126}{6(x-1)^2}$ при $x \to +\infty$.

Заданная функция является рациональной, где степень многочлена в числителе $n=3$, а степень многочлена в знаменателе $m=2$. Поскольку степень числителя на единицу больше степени знаменателя ($n = m+1$), график функции имеет наклонную асимптоту, уравнение которой ищется в виде $y=kx+b$.

Коэффициенты $k$ и $b$ находятся по формулам:

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$

$b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - kx)$

Найдем коэффициент $k$:

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{-5x^3+130x^2-245x+126}{x \cdot 6(x-1)^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-5x^3+130x^2-245x+126}{6x(x^2-2x+1)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-5x^3+130x^2-245x+126}{6x^3-12x^2+6x}$

Для нахождения предела разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$, то есть на $x^3$:

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{-5+\frac{130}{x}-\frac{245}{x^2}+\frac{126}{x^3}}{6-\frac{12}{x}+\frac{6}{x^2}} = \frac{-5}{6}$

Теперь найдем коэффициент $b$:

$b = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{-5x^3+130x^2-245x+126}{6(x-1)^2} - (-\frac{5}{6}x) \right) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{-5x^3+130x^2-245x+126}{6(x^2-2x+1)} + \frac{5x}{6} \right)$

Приводим дроби к общему знаменателю $6(x^2-2x+1)$:

$b = \lim_{x \to +\infty} \frac{-5x^3+130x^2-245x+126 + 5x(x^2-2x+1)}{6(x^2-2x+1)}$

$b = \lim_{x \to +\infty} \frac{-5x^3+130x^2-245x+126 + 5x^3-10x^2+5x}{6x^2-12x+6}$

$b = \lim_{x \to +\infty} \frac{120x^2-240x+126}{6x^2-12x+6}$

Разделим числитель и знаменатель на $x^2$:

$b = \lim_{x \to +\infty} \frac{120-\frac{240}{x}+\frac{126}{x^2}}{6-\frac{12}{x}+\frac{6}{x^2}} = \frac{120}{6} = 20$

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты $y = -\frac{5}{6}x + 20$.

Альтернативный способ — деление многочлена числителя на многочлен знаменателя:

$f(x) = \frac{-5x^3+130x^2-245x+126}{6x^2-12x+6} = -\frac{5}{6}x + 20 + \frac{6}{6x^2-12x+6} = -\frac{5}{6}x + 20 + \frac{1}{(x-1)^2}$

При $x \to +\infty$ остаток $\frac{1}{(x-1)^2}$ стремится к нулю, следовательно, асимптота имеет уравнение $y = -\frac{5}{6}x + 20$.

Ответ: Уравнение асимптоты: $y = -\frac{5}{6}x + 20$.

Используя уравнение асимптоты, найдите приближенное значение функции в точке $x=60$.

При больших значениях $x$ значение функции $f(x)$ близко к значению на асимптоте $y(x)$. Поэтому для нахождения приближенного значения функции в точке $x=60$ подставим это значение в уравнение асимптоты.

$f(60) \approx y(60) = -\frac{5}{6} \cdot 60 + 20$

$f(60) \approx -5 \cdot \frac{60}{6} + 20$

$f(60) \approx -5 \cdot 10 + 20$

$f(60) \approx -50 + 20 = -30$

Ответ: Приближенное значение функции в точке $x=60$ равно $-30$.