Номер 18, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

18. (3)Дана функция $g(x)=2\cos x+x$, определенная на промежутке $x \in [-2\pi; 2\pi]$. Исследуйте функцию $y=g(x)$ и постройте ее график.

Проведем полное исследование функции $g(x) = 2\cos x + x$ на промежутке $x \in [-2\pi; 2\pi]$.

1. Область определения

Функция представляет собой сумму двух функций: $y_1=2\cos x$ и $y_2=x$. Обе эти функции определены для всех действительных чисел. По условию задачи, функция рассматривается на промежутке $[-2\pi; 2\pi]$.

Ответ: Область определения функции $D(g) = [-2\pi; 2\pi]$.

2. Четность, нечетность и периодичность

Для определения четности найдем $g(-x)$:$g(-x) = 2\cos(-x) + (-x) = 2\cos x - x$.Так как $g(-x) \neq g(x)$ и $g(-x) \neq -g(x) = -2\cos x - x$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).Функция не является периодической, так как она представляет собой сумму периодической функции $2\cos x$ и непериодической функции $x$.

Ответ: Функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной) и непериодична.

3. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью ординат (Oy):При $x=0$, имеем $g(0) = 2\cos(0) + 0 = 2 \cdot 1 = 2$.Точка пересечения с осью Oy: $(0; 2)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox):При $g(x)=0$, имеем $2\cos x + x = 0$, или $\cos x = -x/2$.Это трансцендентное уравнение. Решим его приближенно, проанализировав функцию. Рассмотрим $g(x)$ на отрезке $[-\pi/2; 0]$. $g(-\pi/2) = 2\cos(-\pi/2) - \pi/2 = -\pi/2 < 0$. $g(0) = 2 > 0$. Так как функция непрерывна на этом отрезке, существует как минимум одна точка $x_0 \in (-\pi/2; 0)$, в которой $g(x_0)=0$. Производная $g'(x) = -2\sin x + 1$ на интервале $(-\pi/2; 0)$ строго положительна ($ \sin x < 0 \Rightarrow g'(x) > 1 $), следовательно, функция на этом интервале возрастает, и корень единственный. Других корней на $[-2\pi; 2\pi]$ нет, что можно проверить, анализируя экстремумы.

Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0; 2)$. Имеется одна точка пересечения с осью Ox, $x_0 \in (-\pi/2; 0)$.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем первую производную функции:$g'(x) = (2\cos x + x)' = -2\sin x + 1$.Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$g'(x) = 0 \Rightarrow -2\sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 1/2$.На отрезке $[-2\pi; 2\pi]$ решениями этого уравнения являются:$x = \pi/6, x = 5\pi/6, x = \pi/6 - 2\pi = -11\pi/6, x = 5\pi/6 - 2\pi = -7\pi/6$.Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками:- Функция возрастает ($g'(x)>0$), когда $\sin x < 1/2$: $x \in [-2\pi, -11\pi/6) \cup (-7\pi/6, \pi/6) \cup (5\pi/6, 2\pi]$.- Функция убывает ($g'(x)<0$), когда $\sin x > 1/2$: $x \in (-11\pi/6, -7\pi/6) \cup (\pi/6, 5\pi/6)$.Точка $x=-11\pi/6$ - точка локального максимума. $g(-11\pi/6) = 2\cos(-11\pi/6) - 11\pi/6 = 2(\sqrt{3}/2) - 11\pi/6 = \sqrt{3} - 11\pi/6 \approx -4.03$.Точка $x=-7\pi/6$ - точка локального минимума. $g(-7\pi/6) = 2\cos(-7\pi/6) - 7\pi/6 = 2(-\sqrt{3}/2) - 7\pi/6 = -\sqrt{3} - 7\pi/6 \approx -5.40$.Точка $x=\pi/6$ - точка локального максимума. $g(\pi/6) = 2\cos(\pi/6) + \pi/6 = 2(\sqrt{3}/2) + \pi/6 = \sqrt{3} + \pi/6 \approx 2.26$.Точка $x=5\pi/6$ - точка локального минимума. $g(5\pi/6) = 2\cos(5\pi/6) + 5\pi/6 = 2(-\sqrt{3}/2) + 5\pi/6 = -\sqrt{3} + 5\pi/6 \approx 0.89$.Значения на концах отрезка:$g(-2\pi) = 2\cos(-2\pi) - 2\pi = 2 - 2\pi \approx -4.28$.$g(2\pi) = 2\cos(2\pi) + 2\pi = 2 + 2\pi \approx 8.28$.Глобальный максимум функции на отрезке $[-2\pi; 2\pi]$ достигается в точке $x=2\pi$ и равен $2+2\pi$.Глобальный минимум достигается в точке $x=-7\pi/6$ и равен $-\sqrt{3}-7\pi/6$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $[-2\pi, -11\pi/6]$ и $[-7\pi/6, \pi/6]$ и $[5\pi/6, 2\pi]$. Убывает на $[-11\pi/6, -7\pi/6]$ и $[\pi/6, 5\pi/6]$. Точки экстремумов: $x_{max1}=-11\pi/6$, $x_{min1}=-7\pi/6$, $x_{max2}=\pi/6$, $x_{min2}=5\pi/6$.

5. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную:$g''(x) = (-2\sin x + 1)' = -2\cos x$.Найдем точки, где вторая производная равна нулю:$g''(x) = 0 \Rightarrow -2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 0$.На отрезке $[-2\pi; 2\pi]$ решениями являются $x = \pm \pi/2, \pm 3\pi/2$.Определим знаки второй производной:- Функция выпукла вверх (вогнута), когда $g''(x)<0$, то есть $\cos x > 0$. Это происходит на $x \in [-2\pi, -3\pi/2) \cup (-\pi/2, \pi/2) \cup (3\pi/2, 2\pi]$.- Функция выпукла вниз (выпукла), когда $g''(x)>0$, то есть $\cos x < 0$. Это происходит на $x \in (-3\pi/2, -\pi/2) \cup (\pi/2, 3\pi/2)$.Так как в точках $x = \pm \pi/2, \pm 3\pi/2$ знак второй производной меняется, это точки перегиба.Найдем их координаты:$g(-3\pi/2) = 2\cos(-3\pi/2) - 3\pi/2 = -3\pi/2$. Точка: $(-3\pi/2; -3\pi/2)$.$g(-\pi/2) = 2\cos(-\pi/2) - \pi/2 = -\pi/2$. Точка: $(-\pi/2; -\pi/2)$.$g(\pi/2) = 2\cos(\pi/2) + \pi/2 = \pi/2$. Точка: $(\pi/2; \pi/2)$.$g(3\pi/2) = 2\cos(3\pi/2) + 3\pi/2 = 3\pi/2$. Точка: $(3\pi/2; 3\pi/2)$.

Ответ: Функция выпукла вверх на промежутках $[-2\pi, -3\pi/2]$, $[-\pi/2, \pi/2]$ и $[3\pi/2, 2\pi]$. Функция выпукла вниз на промежутках $[-3\pi/2, -\pi/2]$ и $[\pi/2, 3\pi/2]$. Точки перегиба: $(-3\pi/2, -3\pi/2)$, $(-\pi/2, -\pi/2)$, $(\pi/2, \pi/2)$, $(3\pi/2, 3\pi/2)$.

6. Построение графика

На основе проведенного исследования, построим график функции. Для этого сведем ключевые точки в список (с приблизительными значениями):

- Начальная точка: $(-2\pi, 2 - 2\pi) \approx (-6.28, -4.28)$

- Локальный максимум: $(-11\pi/6, \sqrt{3} - 11\pi/6) \approx (-5.76, -4.03)$

- Точка перегиба: $(-3\pi/2, -3\pi/2) \approx (-4.71, -4.71)$

- Локальный (и глобальный) минимум: $(-7\pi/6, -\sqrt{3} - 7\pi/6) \approx (-3.67, -5.40)$

- Точка перегиба: $(-\pi/2, -\pi/2) \approx (-1.57, -1.57)$

- Пересечение с осью Ox: $x_0 \approx -1.03, y=0$

- Пересечение с осью Oy: $(0, 2)$

- Локальный максимум: $(\pi/6, \sqrt{3} + \pi/6) \approx (0.52, 2.26)$

- Точка перегиба: $(\pi/2, \pi/2) \approx (1.57, 1.57)$

- Локальный минимум: $(5\pi/6, -\sqrt{3} + 5\pi/6) \approx (2.62, 0.89)$

- Точка перегиба: $(3\pi/2, 3\pi/2) \approx (4.71, 4.71)$

- Конечная (и глобальный максимум) точка: $(2\pi, 2 + 2\pi) \approx (6.28, 8.28)$

График представляет собой волнистую линию, в целом возрастающую и как бы колеблющуюся вокруг прямой $y=x$. Он начинается в точке $(-2\pi, 2-2\pi)$, достигает локального максимума, затем падает до глобального минимума, после чего возрастает, пересекая оси координат, доходит до второго локального максимума, снова падает до локального минимума, и далее монотонно возрастает до конца отрезка в точке $(2\pi, 2+2\pi)$.

Ответ: График функции строится на основе указанных ключевых точек и анализа промежутков монотонности и выпуклости.