Номер 14, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

14. (3) а) Исследуйте функцию $y=\frac{9-x^2}{x}$ и постройте ее график.

б) На той же координатной плоскости постройте окружность $(x-6)^2+(y-6)^2=36$. Определите количество решений системы уравнений

$\begin{cases} (x-6)^2+(y-6)^2=36, \\ xy=9-x^2. \end{cases}$ $P\left(-\frac{\pi}{2};-3\right)$

а) Исследуем функцию $y=\frac{9-x^2}{x}$ и построим ее график.

1. Преобразование функции.
Функцию можно представить в виде суммы двух более простых функций:$y = \frac{9}{x} - \frac{x^2}{x} = \frac{9}{x} - x$.Это сумма обратной пропорциональности (гиперболы) $y_1 = \frac{9}{x}$ и прямой $y_2 = -x$.

2. Область определения.
Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Четность и симметрия.
Проверим значение функции для $-x$:$y(-x) = \frac{9-(-x)^2}{-x} = \frac{9-x^2}{-x} = -(\frac{9-x^2}{x}) = -y(x)$.Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY: пересечения нет, так как $x \neq 0$.
- С осью OX (нули функции): $y=0 \implies \frac{9-x^2}{x} = 0 \implies 9-x^2=0 \implies x^2=9 \implies x=\pm3$.Точки пересечения с осью OX: $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

5. Асимптоты.
- Вертикальная асимптота: Прямая $x=0$ (ось OY), так как при $x \to 0$ знаменатель дроби стремится к нулю, а числитель к 9.
$\lim_{x \to 0^+} \frac{9-x^2}{x} = +\infty$
$\lim_{x \to 0^-} \frac{9-x^2}{x} = -\infty$
- Наклонная асимптота: Из представления $y = -x + \frac{9}{x}$ следует, что при $x \to \pm\infty$ член $\frac{9}{x} \to 0$. Следовательно, график функции приближается к прямой $y=-x$. Это наклонная асимптота.

6. Промежутки монотонности и экстремумы.
Найдем первую производную:$y' = (\frac{9}{x} - x)' = -\frac{9}{x^2} - 1 = -( \frac{9}{x^2} + 1 )$.Так как $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y' < 0$ всегда.Функция убывает на всем протяжении своей области определения, то есть на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Экстремумов у функции нет.

7. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Найдем вторую производную:$y'' = (-\frac{9}{x^2} - 1)' = (-9x^{-2})' = (-9)(-2)x^{-3} = \frac{18}{x^3}$.- При $x > 0$, $y'' > 0$, следовательно, график функции вогнутый (выпуклый вниз).- При $x < 0$, $y'' < 0$, следовательно, график функции выпуклый (выпуклый вверх).Точек перегиба нет, так как в точке $x=0$ функция не определена.

8. Построение графика.
На основе проведенного анализа можно построить график. Он состоит из двух ветвей.
- Правая ветвь ($x>0$): проходит через точку $(3,0)$, является вогнутой, приближается к оси OY сверху при $x \to 0^+$ и к прямой $y=-x$ сверху при $x \to +\infty$. Контрольные точки: $(1, 8)$, $(3, 0)$.
- Левая ветвь ($x<0$): симметрична правой относительно начала координат. Проходит через точку $(-3,0)$, является выпуклой, приближается к оси OY снизу при $x \to 0^-$ и к прямой $y=-x$ снизу при $x \to -\infty$. Контрольные точки: $(-1, -8)$, $(-3, 0)$.

Ответ: Функция $y=\frac{9-x^2}{x}$ является нечетной, убывающей на всей области определения $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и наклонную асимптоту $y=-x$. Пересекает ось абсцисс в точках $x=3$ и $x=-3$. График состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.

б) Построим на той же координатной плоскости окружность $(x-6)^2 + (y-6)^2 = 36$ и определим количество решений системы уравнений.

Система уравнений имеет вид:$ \begin{cases} (x-6)^2+(y-6)^2=36 \\ xy = 9-x^2 \end{cases} $

1. Анализ уравнений.
- Первое уравнение $(x-6)^2+(y-6)^2=36$ — это уравнение окружности с центром в точке $C(6, 6)$ и радиусом $R=\sqrt{36}=6$. Окружность касается осей координат в точках $(6,0)$ и $(0,6)$ и расположена в I, II и IV квадрантах ($x \in [0, 12]$, $y \in [0, 12]$).
- Второе уравнение $xy = 9-x^2$ при $x \neq 0$ эквивалентно уравнению $y=\frac{9-x^2}{x}$. Это функция, график которой был исследован в пункте а).

2. Графическое решение системы.
Количество решений системы равно количеству точек пересечения графика функции $y=\frac{9-x^2}{x}$ и окружности $(x-6)^2+(y-6)^2=36$.

3. Анализ пересечений.
- Левая ветвь графика функции ($x<0$) не может пересекаться с окружностью, так как все точки окружности имеют неотрицательную абсциссу ($x \ge 0$).
- Рассмотрим правую ветвь ($x>0$). Чтобы найти точки пересечения, подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:$(x-6)^2 + (\frac{9-x^2}{x} - 6)^2 = 36$$(x-6)^2 + (\frac{9-x^2-6x}{x})^2 = 36$$x^2-12x+36 + \frac{-(x^2+6x-9)}{x})^2 = 36$$x^2-12x + \frac{(x^2+6x-9)^2}{x^2} = 0$Умножим на $x^2$ (так как $x>0$):$x^4 - 12x^3 + (x^2+6x-9)^2 = 0$$x^4 - 12x^3 + (x^4+36x^2+81+12x^3-18x^2-108x) = 0$$2x^4 + 18x^2 - 108x + 81 = 0$

4. Исследование числа корней.
Нам нужно найти количество положительных корней уравнения $g(x) = 2x^4 + 18x^2 - 108x + 81 = 0$.- Проверим значения функции $g(x)$ в некоторых точках:$g(0) = 81 > 0$
$g(1) = 2(1)^4 + 18(1)^2 - 108(1) + 81 = 2+18-108+81 = -7 < 0$
$g(2) = 2(2)^4 + 18(2)^2 - 108(2) + 81 = 32+72-216+81 = -31 < 0$
$g(3) = 2(3)^4 + 18(3)^2 - 108(3) + 81 = 162+162-324+81 = 81 > 0$
- Так как функция $g(x)$ непрерывна, смена знака указывает на наличие корней:- На интервале $(0,1)$ есть как минимум один корень, так как $g(0)>0$ и $g(1)<0$.- На интервале $(2,3)$ есть как минимум один корень, так как $g(2)<0$ и $g(3)>0$.- Исследуем производную $g'(x) = 8x^3 + 36x - 108$. Производная $g'(x)$ имеет только один действительный корень $x_0 \in (1,2)$, так как её производная $g''(x)=24x^2+36$ всегда положительна. Это означает, что у функции $g(x)$ только один экстремум (минимум) при $x>0$.- Поскольку $g(0)>0$, функция убывает до отрицательного минимума, а затем возрастает до $+\infty$, она пересекает ось абсцисс ровно два раза.Следовательно, уравнение имеет ровно два положительных корня. Каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$.Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: 2.