Номер 7, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. (3)

Определите уравнение асимптоты графика функции $f(x)=\frac{2x^3+32x^2+26x-57}{3(x^2+x-2)}$ при $x \to +\infty$. Используя уравнение асимптоты, найдите приближенное значение функции $f(x)$ в точке $x=300$.

Определите уравнение асимптоты графика функции

Дана функция $f(x)=\frac{2x^3+32x^2+26x-57}{3(x^2+x-2)}$. Раскроем скобки в знаменателе, чтобы получить многочлен: $f(x)=\frac{2x^3+32x^2+26x-57}{3x^2+3x-6}$.

Поскольку степень многочлена в числителе (3) на единицу больше степени многочлена в знаменателе (2), график функции имеет наклонную асимптоту. Уравнение этой асимптоты $y=kx+b$ можно найти, выделив целую часть при делении числителя на знаменатель (полиномиальное деление).

Выполним деление многочлена $2x^3+32x^2+26x-57$ на $3x^2+3x-6$. Результатом деления является частное $\frac{2}{3}x+10$ и остаток $3$.

Это означает, что числитель можно представить в виде:

$2x^3+32x^2+26x-57 = (\frac{2}{3}x+10)(3x^2+3x-6) + 3$

Тогда исходную функцию можно переписать следующим образом:

$f(x) = \frac{(\frac{2}{3}x+10)(3x^2+3x-6) + 3}{3x^2+3x-6} = \frac{2}{3}x+10 + \frac{3}{3x^2+3x-6}$

При $x \to +\infty$, значение дроби $\frac{3}{3x^2+3x-6}$ стремится к нулю, так как степень знаменателя (2) больше степени числителя (0).

Следовательно, при больших $x$ график функции $f(x)$ приближается к прямой $y=\frac{2}{3}x+10$. Это и есть уравнение наклонной асимптоты.

Ответ: Уравнение асимптоты: $y=\frac{2}{3}x+10$.

Найдите приближенное значение функции f(x) в точке x=300

При больших значениях аргумента $x$, значение функции $f(x)$ примерно равно значению ее асимптоты. Так как $x=300$ является достаточно большим числом, для нахождения приближенного значения функции $f(300)$ можно использовать уравнение асимптоты $y=\frac{2}{3}x+10$.

Подставим $x=300$ в уравнение асимптоты:

$f(300) \approx y(300) = \frac{2}{3} \cdot 300 + 10$

$f(300) \approx 2 \cdot 100 + 10$

$f(300) \approx 200 + 10 = 210$

Ответ: $f(300) \approx 210$.