Номер 6, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. (4) а) Докажите, что все прямые вида $y=k(x-2)$, где $k$ – произвольное число, проходят через точку с координатами $(2;0)$. Чем отличается положение прямой при положительном значении $k$ от положения прямой при отрицательном значении $k$? Что происходит с прямой $y=k(x-2)$ при увеличении положительного значения $k$? Что происходит с прямой $y=k(x-2)$ при уменьшении отрицательного значения $k$?

6) Постройте график функции $y=\frac{3x}{x^2-4}$. Используя построенный график, постарайтесь определить количество корней уравнения $\frac{3x}{x^2-4}=k(x-2)$ в зависимости от значений параметра $k$.

a) Рассмотрим уравнение прямой $y = k(x-2)$. Чтобы доказать, что все прямые этого вида проходят через точку с координатами $(2; 0)$, подставим эти координаты в уравнение.
Подставляем $x=2$ и $y=0$:
$0 = k(2-2)$
$0 = k \cdot 0$
$0 = 0$
Это равенство верно при любом значении параметра $k$. Следовательно, все прямые вида $y = k(x-2)$ проходят через точку $(2; 0)$.

Коэффициент $k$ в уравнении прямой $y = kx - 2k$ является ее угловым коэффициентом (тангенсом угла наклона к оси Ox).
- При положительном значении $k$ ($k>0$) угловой коэффициент положителен, и прямая является возрастающей (идет вверх слева направо). Она проходит через I, III и IV координатные четверти, вращаясь вокруг точки $(2;0)$.
- При отрицательном значении $k$ ($k<0$) угловой коэффициент отрицателен, и прямая является убывающей (идет вниз слева направо). Она проходит через I, II и IV координатные четверти.

- При увеличении положительного значения $k$ (например, от 1 до 10) угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox увеличивается (от 45° к 90°). Прямая становится круче, вращаясь вокруг точки $(2; 0)$ против часовой стрелки.

- При уменьшении отрицательного значения $k$ (например, от -1 до -10) модуль углового коэффициента $|k|$ увеличивается. Угол наклона к положительному направлению оси Ox уменьшается (от 135° к 90°). Прямая также становится круче, но с отрицательным наклоном, вращаясь вокруг точки $(2; 0)$ по часовой стрелке.
Ответ: Равенство $0 = k(2-2)$ верно для любого $k$, что доказывает прохождение всех прямых через точку $(2;0)$. При $k>0$ прямая возрастает, при $k<0$ — убывает. При увеличении $k>0$ прямая вращается против часовой стрелки, становясь круче. При уменьшении $k<0$ прямая вращается по часовой стрелке, также становясь круче.

б) Для построения графика функции $y = \frac{3x}{x^2 - 4}$ проведем исследование.
1. Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x^2 - 4 \neq 0$, что означает $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Область определения: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; \infty)$.
2. Асимптоты:
- Вертикальные асимптоты: $x = -2$ и $x = 2$.
- Горизонтальная асимптота: так как степень числителя (1) меньше степени знаменателя (2), горизонтальной асимптотой является ось Ox, т.е. прямая $y=0$.
3. Симметрия: Проверим функцию на четность/нечетность. $f(-x) = \frac{3(-x)}{(-x)^2 - 4} = \frac{-3x}{x^2 - 4} = -f(x)$. Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
4. Точки пересечения с осями:
- С осью Oy: $x=0 \implies y = \frac{0}{0-4} = 0$. Точка $(0;0)$.
- С осью Ox: $y=0 \implies \frac{3x}{x^2-4}=0 \implies 3x=0 \implies x=0$. Точка $(0;0)$.
5. Производная и монотонность: $y' = \left(\frac{3x}{x^2 - 4}\right)' = \frac{3(x^2 - 4) - 3x(2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{3x^2 - 12 - 6x^2}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-3x^2 - 12}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-3(x^2+4)}{(x^2-4)^2}$.
Числитель $-3(x^2+4)$ всегда отрицателен, а знаменатель $(x^2-4)^2$ всегда положителен в области определения. Таким образом, $y'<0$ для всех $x$ из области определения. Это значит, что функция строго убывает на каждом из интервалов: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; \infty)$.
Эскиз графика: На интервале $(2, \infty)$ график убывает от $+\infty$ до $0$. На интервале $(-2, 2)$ график убывает от $+\infty$ (при $x \to -2^+$) до $-\infty$ (при $x \to 2^-$), проходя через точку $(0,0)$. На интервале $(-\infty, -2)$ график убывает от $0$ до $-\infty$.

Теперь определим количество корней уравнения $\frac{3x}{x^2-4} = k(x-2)$.
Количество корней этого уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y_1 = \frac{3x}{x^2-4}$ и семейства прямых $y_2 = k(x-2)$. Как мы установили в пункте (а), все прямые $y_2$ проходят через точку $(2;0)$ и имеют угловой коэффициент $k$. Точка $x=2$ является вертикальной асимптотой для графика $y_1$, поэтому пересечения в этой точке нет.
Проанализируем количество пересечений в зависимости от $k$:
1. Случай $k > 0$:
Прямая $y_2=k(x-2)$ возрастает.
- На интервале $(2, \infty)$: $y_1$ убывает от $+\infty$ до $0$, а $y_2$ возрастает от $0$ до $+\infty$. Графики пересекутся ровно один раз.
- На интервале $(0, 2)$: $y_1$ отрицательна (убывает от $0$ до $-\infty$), и $y_2$ также отрицательна (возрастает от $y_2(0)=-2k$ до $y_2(2)=0$). Графики пересекутся ровно один раз.
- На интервале $(-2, 0)$: $y_1$ положительна, а $y_2$ отрицательна. Пересечений нет.
- На интервале $(-\infty, -2)$: $y_1$ отрицательна (убывает от $0$ до $-\infty$), и $y_2$ также отрицательна (возрастает от $-\infty$ до $y_2(-2)=-4k$). Графики пересекутся ровно один раз.
Итого, при $k > 0$ уравнение имеет 3 корня.
2. Случай $k = 0$:
Уравнение принимает вид $\frac{3x}{x^2-4} = 0$, откуда $3x=0$, то есть $x=0$.
Итого, при $k = 0$ уравнение имеет 1 корень.
3. Случай $k < 0$:
Прямая $y_2=k(x-2)$ убывает.
- На интервале $(2, \infty)$: $y_1 > 0$, а $y_2 < 0$. Пересечений нет.
- На интервале $(0, 2)$: $y_1 < 0$, а $y_2 > 0$. Пересечений нет.
- На интервале $(-2, 0)$: $y_1 > 0$ (убывает от $+\infty$ до $0$), и $y_2 > 0$ (убывает от $y_2(-2)=-4k$ до $y_2(0)=-2k$). Графики пересекутся ровно один раз.
- На интервале $(-\infty, -2)$: $y_1 < 0$, а $y_2 > 0$. Пересечений нет.
Итого, при $k < 0$ уравнение имеет 1 корень.
Ответ:
- при $k \in (-\infty; 0] \cup \{0\}$ (то есть $k \le 0$) — 1 корень;
- при $k \in (0; +\infty)$ (то есть $k > 0$) — 3 корня.