Страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1. (2)Дана функция $y = \frac{4}{x^2 - 1}$. Определите уравнения вертикальных асимптот графика функции. Графически изобразите поведение функции вблизи вертикальных асимптот аналогично тому, как это сделано на рисунке 9 пункта 5.1 данного параграфа.

Определение уравнений вертикальных асимптот

Дана функция $y = \frac{4}{x^2-1}$.

Вертикальные асимптоты графика функции находятся в точках, где функция не определена, то есть в тех значениях $x$, при которых знаменатель дроби обращается в ноль, а числитель при этом не равен нулю.

Найдем нули знаменателя, решив уравнение:

$x^2 - 1 = 0$

Это разность квадратов, которую можно разложить на множители:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Поскольку числитель дроби равен 4 (константа, не равная нулю), то в точках $x=1$ и $x=-1$ существуют разрывы второго рода, и прямые, заданные этими уравнениями, являются вертикальными асимптотами графика функции.

Ответ: Уравнения вертикальных асимптот: $x = 1$ и $x = -1$.

Графическое изображение поведения функции вблизи вертикальных асимптот

Чтобы определить, как ведет себя функция при приближении к асимптотам, исследуем односторонние пределы в точках $x=1$ и $x=-1$.

1. Исследуем поведение вблизи асимптоты $x = 1$:

• При приближении к $x=1$ справа ($x \to 1^+$), $x$ принимает значения чуть больше 1 (например, 1.1). Тогда $x^2 > 1$, и знаменатель $x^2 - 1$ является малым положительным числом.
  $\lim_{x \to 1^+} \frac{4}{x^2 - 1} = \frac{4}{+0} = +\infty$
  Это означает, что график функции уходит вверх (к плюс бесконечности).

• При приближении к $x=1$ слева ($x \to 1^-$), $x$ принимает значения чуть меньше 1 (например, 0.9). Тогда $x^2 < 1$, и знаменатель $x^2 - 1$ является малым отрицательным числом.
  $\lim_{x \to 1^-} \frac{4}{x^2 - 1} = \frac{4}{-0} = -\infty$
  Это означает, что график функции уходит вниз (к минус бесконечности).

2. Исследуем поведение вблизи асимптоты $x = -1$:

• При приближении к $x=-1$ справа ($x \to -1^+$), $x$ принимает значения чуть больше -1 (например, -0.9). Тогда $x^2 < 1$, и знаменатель $x^2 - 1$ является малым отрицательным числом.
  $\lim_{x \to -1^+} \frac{4}{x^2 - 1} = \frac{4}{-0} = -\infty$
  Это означает, что график функции уходит вниз (к минус бесконечности).

• При приближении к $x=-1$ слева ($x \to -1^-$), $x$ принимает значения чуть меньше -1 (например, -1.1). Тогда $x^2 > 1$, и знаменатель $x^2 - 1$ является малым положительным числом.
  $\lim_{x \to -1^-} \frac{4}{x^2 - 1} = \frac{4}{+0} = +\infty$
  Это означает, что график функции уходит вверх (к плюс бесконечности).

Ниже представлено графическое изображение поведения функции вблизи вертикальных асимптот $x=-1$ и $x=1$.

Ответ: При приближении к асимптоте $x=-1$ слева, функция стремится к $+\infty$. При приближении к $x=-1$ справа, функция стремится к $-\infty$. При приближении к асимптоте $x=1$ слева, функция стремится к $-\infty$. При приближении к $x=1$ справа, функция стремится к $+\infty$.

2. (3) а) Исследуйте функцию $y=f(x)$ и постройте ее график, где

$f(x)=x^3-3x$.

б) Используя построенный график, определите число корней уравнения $f(x)=g(x)$, где $g(x)=x-1$.

в) Определите число корней уравнения $x^3-3x=a$ в зависимости от значений параметра $a$.

a) Исследуйте функцию y=f(x) и постройте ее график, где f(x)=x³-3x.

Проведем полное исследование функции $f(x) = x^3 - 3x$.

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: При $x=0$, $y = f(0) = 0^3 - 3(0) = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.
С осью Ox: При $y=0$, $x^3 - 3x = 0 \Rightarrow x(x^2-3) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{3} \approx 1.73$, $x_3 = -\sqrt{3} \approx -1.73$.
Точки пересечения: $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, 0)$.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную: $f'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0 \Rightarrow 3(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
Исследуем знак производной на интервалах:

• При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-1, 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (1, \infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $f''(x) = (3x^2 - 3)' = 6x$.
Найдем точки, где $f''(x) = 0$: $6x = 0 \Rightarrow x=0$.

• При $x \in (-\infty, 0)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
• При $x \in (0, \infty)$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

6. Построение графика.
На основе проведенного исследования строим график функции $y=x^3-3x$.

Ответ: Исследование функции проведено, график построен.

б) Используя построенный график, определите число корней уравнения f(x)=g(x), где g(x)=x-1.

Число корней уравнения $f(x) = g(x)$ равно числу точек пересечения графиков функций $y=f(x)=x^3-3x$ и $y=g(x)=x-1$.
Построим на одной координатной плоскости график кубической параболы $y=x^3-3x$ (из пункта а) и прямой $y=x-1$.
Прямая $y=x-1$ проходит, например, через точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$.

Визуально графики пересекаются в трех точках. Следовательно, уравнение $f(x)=g(x)$ имеет три различных корня.

Ответ: 3 корня.

в) Определите число корней уравнения x³-3x=a в зависимости от значений параметра a.

Число корней уравнения $x^3 - 3x = a$ равно числу точек пересечения графика функции $y = x^3 - 3x$ с горизонтальной прямой $y=a$.
Из пункта а) мы знаем, что функция $y=f(x)$ имеет локальный максимум в точке $(-1, 2)$ и локальный минимум в точке $(1, -2)$.
Проанализируем количество пересечений графика с прямой $y=a$:

• Если прямая $y=a$ проходит выше локального максимума (т.е. $a > 2$) или ниже локального минимума (т.е. $a < -2$), то она пересекает график в одной точке.
• Если прямая $y=a$ проходит через точку локального максимума ($a=2$) или локального минимума ($a=-2$), она касается графика в одной точке и пересекает его в другой. Всего две точки пересечения.
• Если прямая $y=a$ находится между локальным максимумом и минимумом (т.е. $-2 < a < 2$), она пересекает график в трех различных точках.

• при $a \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$, то есть при $|a| > 2$ — 1 корень;
• при $a = -2$ или $a = 2$, то есть при $|a| = 2$ — 2 корня;
• при $a \in (-2, 2)$, то есть при $|a| < 2$ — 3 корня.

Ответ: при $a < -2$ или $a > 2$ — один корень; при $a = -2$ или $a = 2$ — два корня; при $-2 < a < 2$ — три корня.

3.

(3) а) Исследуйте функцию $y=3+2x^2-x^4$ и постройте ее график.

б) На той же координатной плоскости постройте график функции $y=0,5x+1$. Настолько точно, насколько позволяет ваш график, найдите корни уравнения $3+2x^2-x^4=0,5x+1$.

а) Исследуем функцию $y = 3 + 2x^2 - x^4$.

1. Область определения функции:
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность функции:
Найдем $y(-x)$:$y(-x) = 3 + 2(-x)^2 - (-x)^4 = 3 + 2x^2 - x^4 = y(x)$.Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

3. Точки пересечения с осями координат:
С осью OY:Положим $x=0$.$y(0) = 3 + 2(0)^2 - (0)^4 = 3$.Точка пересечения с осью OY: $(0; 3)$.
С осью OX:Положим $y=0$.$3 + 2x^2 - x^4 = 0$.Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.$-t^2 + 2t + 3 = 0$$t^2 - 2t - 3 = 0$По теореме Виета или через дискриминант находим корни:$t_1 = 3$, $t_2 = -1$.Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.Возвращаемся к замене:$x^2 = 3 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{3}$.$ (\sqrt{3} \approx 1.73) $.Точки пересечения с осью OX: $(-\sqrt{3}; 0)$ и $(\sqrt{3}; 0)$.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума:
Найдем первую производную функции:$y' = (3 + 2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3$.Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$4x - 4x^3 = 0$$4x(1 - x^2) = 0$$4x(1 - x)(1 + x) = 0$Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.Определим знаки производной на интервалах:

• При $x \in (-\infty; -1)$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-1; 0)$, $y' 0$, функция убывает.
• При $x \in (0; 1)$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (1; +\infty)$, $y' 0$, функция убывает.

• В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума. $y_{max} = y(-1) = 3 + 2(-1)^2 - (-1)^4 = 3 + 2 - 1 = 4$. Точка максимума: $(-1; 4)$.
• В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(0) = 3$. Точка минимума: $(0; 3)$.
• В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума. $y_{max} = y(1) = 3 + 2(1)^2 - (1)^4 = 3 + 2 - 1 = 4$. Точка максимума: $(1; 4)$.

5. Построение графика:
Используя полученные данные, построим график. Ключевые точки:

• Точки пересечения с осью OX: $(-\sqrt{3}, 0)$ и $(\sqrt{3}, 0)$ (примерно $(-1.73, 0)$ и $(1.73, 0)$).
• Точка пересечения с осью OY (и локальный минимум): $(0, 3)$.
• Точки локального максимума: $(-1, 4)$ и $(1, 4)$.

б) Построим на той же координатной плоскости график функции $y = 0.5x + 1$. Это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек.
При $x = 0$, $y = 0.5(0) + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
При $x = 2$, $y = 0.5(2) + 1 = 2$. Точка $(2, 2)$.
Совместим графики функций $y = 3 + 2x^2 - x^4$ и $y = 0.5x + 1$.
Корни уравнения $3 + 2x^2 - x^4 = 0.5x + 1$ являются абсциссами (координатами x) точек пересечения этих двух графиков.
Построив оба графика в одной системе координат, мы видим, что они пересекаются в двух точках. Определим их абсциссы приблизительно по графику.
Одна точка пересечения находится в левой полуплоскости, ее абсцисса примерно равна $x \approx -1.8$.
Вторая точка пересечения находится в правой полуплоскости, ее абсцисса примерно равна $x \approx 1.6$.


Ответ: Корни уравнения: $x_1 \approx -1.8$, $x_2 \approx 1.6$.

4. (3) а) Исследуйте функцию $y=\frac{8x}{x^2+4}$ и постройте ее график.

б) На той же координатной плоскости постройте график функции $y=\frac{x^2}{2}$. Решите графически неравенство $\frac{8x}{x^2+4} \ge \frac{x^2}{2}$.

а) Исследуем функцию $y=\frac{8x}{x^2+4}$ и построим ее график.

1. Область определения.
Знаменатель дроби $x^2+4$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $x^2+4 \ge 4$. Таким образом, функция определена для всех действительных чисел.$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.
Найдем значение функции для $-x$:
$y(-x) = \frac{8(-x)}{(-x)^2+4} = \frac{-8x}{x^2+4} = -y(x)$.
Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY: при $x=0$, $y=\frac{8 \cdot 0}{0^2+4}=0$. Точка пересечения — $(0,0)$.
- С осью OX: при $y=0$, $\frac{8x}{x^2+4}=0$, что равносильно $8x=0$, откуда $x=0$. Точка пересечения — $(0,0)$.График проходит через начало координат.

4. Асимптоты.
- Вертикальных асимптот нет, так как знаменатель никогда не обращается в ноль.
- Горизонтальные асимптоты: найдем предел функции при $x \to \pm\infty$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{8x}{x^2+4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{8x}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{4}{x^2}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{8}{x}}{1+\frac{4}{x^2}} = \frac{0}{1+0} = 0$.
Прямая $y=0$ (ось OX) является горизонтальной асимптотой графика функции.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную функции:$y' = \left(\frac{8x}{x^2+4}\right)' = \frac{(8x)'(x^2+4) - 8x(x^2+4)'}{(x^2+4)^2} = \frac{8(x^2+4) - 8x(2x)}{(x^2+4)^2} = \frac{8x^2+32-16x^2}{(x^2+4)^2} = \frac{32-8x^2}{(x^2+4)^2} = \frac{8(4-x^2)}{(x^2+4)^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y'=0$.
$\frac{8(4-x^2)}{(x^2+4)^2} = 0 \implies 4-x^2=0 \implies x_1=-2, x_2=2$.
Определим знаки производной на интервалах, на которые точки $-2$ и $2$ делят числовую ось:
- На интервале $(-\infty, -2)$, $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-2, 2)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(2, +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x=-2$ производная меняет знак с минуса на плюс, это точка локального минимума. $y_{min} = y(-2) = \frac{8(-2)}{(-2)^2+4} = \frac{-16}{8} = -2$.
В точке $x=2$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка локального максимума. $y_{max} = y(2) = \frac{8(2)}{2^2+4} = \frac{16}{8} = 2$.
Точка минимума: $(-2, -2)$. Точка максимума: $(2, 2)$.

6. Построение графика.
Используя полученные данные (симметрия относительно начала координат, точка пересечения $(0,0)$, асимптота $y=0$, минимум в $(-2,-2)$ и максимум в $(2,2)$), строим график функции. График выходит из-под оси OX, убывает до точки $(-2,-2)$, затем возрастает, проходит через $(0,0)$ до точки максимума $(2,2)$, после чего снова убывает, асимптотически приближаясь к оси OX.

Ответ: Функция исследована. Ее график представляет собой кривую, симметричную относительно начала координат, с горизонтальной асимптотой $y=0$, точкой локального минимума $(-2, -2)$ и точкой локального максимума $(2, 2)$.

б) На той же координатной плоскости постройте график функции $y=\frac{x^2}{2}$. Решите графически неравенство $\frac{8x}{x^2+4} \ge \frac{x^2}{2}$.

График функции $y=\frac{x^2}{2}$ — это парабола с вершиной в точке $(0,0)$, ветви которой направлены вверх.

Решить неравенство $\frac{8x}{x^2+4} \ge \frac{x^2}{2}$ графически означает найти все значения $x$, для которых график функции $y=\frac{8x}{x^2+4}$ расположен не ниже графика функции $y=\frac{x^2}{2}$.

Для этого сначала найдем точки пересечения графиков, решив уравнение:
$\frac{8x}{x^2+4} = \frac{x^2}{2}$
Приводим к общему знаменателю и решаем (учитывая, что $x^2+4 \neq 0$):
$16x = x^2(x^2+4)$
$16x = x^4 + 4x^2$
$x^4 + 4x^2 - 16x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x^3 + 4x - 16) = 0$
Один из корней — $x_1=0$.
Решим уравнение $x^3 + 4x - 16 = 0$. Методом подбора находим, что $x_2=2$ является корнем: $2^3 + 4(2) - 16 = 8 + 8 - 16 = 0$.
Разделим многочлен $(x^3 + 4x - 16)$ на двучлен $(x-2)$ и получим $x^2+2x+8$.
Квадратное уравнение $x^2+2x+8=0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4-32 = -28 < 0$.
Следовательно, графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых $x=0$ и $x=2$. Найдем ординаты: $y(0)=0$, $y(2)=\frac{2^2}{2}=2$. Точки пересечения: $(0,0)$ и $(2,2)$.

Из графиков видно, что на промежутке от $0$ до $2$ кривая $y=\frac{8x}{x^2+4}$ находится выше параболы $y=\frac{x^2}{2}$. В точках $x=0$ и $x=2$ их значения равны. Таким образом, неравенство выполняется при $x \in [0; 2]$.

Ответ: $x \in [0; 2]$.

5. (3) а) Исследуйте функцию $y=x+\frac{4}{x}$ и постройте ее график.

б) На той же координатной плоскости постройте окружность $x^2+y^2=36$.

Определите количество решений системы уравнений $\begin{cases} x^2+y^2=36, \\ xy=x^2+4. \end{cases}$

а) Исследуем функцию $y = x + \frac{4}{x}$ и построим ее график.

1. Область определения. Функция определена при всех $x$, для которых знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность. Проверим функцию на четность: $y(-x) = (-x) + \frac{4}{-x} = -x - \frac{4}{x} = -(x + \frac{4}{x}) = -y(x)$. Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Асимптоты.
- Вертикальная асимптота: При $x \to 0$ значение функции стремится к бесконечности ($\lim_{x \to 0} (x + \frac{4}{x}) = \infty$), следовательно, прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой.
- Наклонная асимптота: Функцию можно представить в виде $y=x+\frac{4}{x}$. Так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{x} = 0$, то прямая $y=x$ является наклонной асимптотой графика функции.

4. Экстремумы и промежутки монотонности. Найдем производную функции: $y' = (x + \frac{4}{x})' = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2-4}{x^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y'=0 \Rightarrow \frac{x^2-4}{x^2}=0 \Rightarrow x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2$.
- На интервалах $(-\infty; -2)$ и $(2; +\infty)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
- На интервалах $(-2; 0)$ и $(0; 2)$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
- В точке $x=-2$ происходит смена знака производной с плюса на минус, это точка локального максимума. Значение функции: $y(-2) = -2 + \frac{4}{-2} = -4$. Точка максимума: $(-2, -4)$.
- В точке $x=2$ происходит смена знака производной с минуса на плюс, это точка локального минимума. Значение функции: $y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4$. Точка минимума: $(2, 4)$.

5. Точки пересечения с осями координат.
- С осью $Oy$ пересечения нет, так как $x \neq 0$.
- С осью $Ox$ ($y=0$): $x+\frac{4}{x}=0 \Rightarrow \frac{x^2+4}{x}=0 \Rightarrow x^2+4=0$. Данное уравнение не имеет действительных корней. Пересечений с осями нет.

6. Построение графика. На основе проведенного исследования строим график. Он состоит из двух ветвей, расположенных в первой и третьей координатных четвертях. Ветви симметричны относительно начала координат, приближаются к асимптотам $x=0$ и $y=x$, и имеют точки экстремума $(-2, -4)$ и $(2, 4)$.

Ответ: Функция исследована. Ее график представляет собой две ветви, симметричные относительно начала координат, с вертикальной асимптотой $x=0$, наклонной асимптотой $y=x$, точкой локального максимума $(-2, -4)$ и точкой локального минимума $(2, 4)$.

б) Построим на той же координатной плоскости окружность, заданную уравнением $x^2 + y^2 = 36$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{36} = 6$.

Далее определим количество решений системы уравнений:$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 36 \\xy = x^2 + 4\end{cases}$$

Заметим, что во втором уравнении $x \neq 0$, так как иначе $0=4$, что неверно. Выразим $y$ из второго уравнения: $y = \frac{x^2+4}{x} = x + \frac{4}{x}$.

Это та же функция, которую мы исследовали в пункте а). Таким образом, задача сводится к нахождению количества точек пересечения графика функции $y = x + \frac{4}{x}$ и окружности $x^2 + y^2 = 36$.

Проанализируем взаимное расположение графиков:

1. Точка минимума функции $(2, 4)$ лежит внутри окружности, так как сумма квадратов ее координат $2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$ меньше квадрата радиуса ($20 < 36$).

2. Точка максимума функции $(-2, -4)$ также лежит внутри окружности, так как $(-2)^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20 < 36$.

3. Ветвь графика в первой четверти ($x>0$) начинается от вертикальной асимптоты $x=0$ на $+\infty$ (т.е. "сверху", вне окружности), спускается до точки минимума $(2, 4)$ (внутри окружности), а затем снова возрастает, приближаясь к асимптоте $y=x$ (которая пересекает окружность и уходит за ее пределы). Следовательно, эта ветвь пересекает окружность в двух точках.

4. В силу симметрии, ветвь графика в третьей четверти также пересекает окружность в двух точках.

Таким образом, графики пересекаются в четырех точках, что означает наличие у системы четырех решений.

Проверим это алгебраически, подставив $y=x+\frac{4}{x}$ в уравнение окружности:

$x^2 + \left(x + \frac{4}{x}\right)^2 = 36$

$x^2 + x^2 + 8 + \frac{16}{x^2} = 36$

$2x^2 - 28 + \frac{16}{x^2} = 0$

Умножим обе части на $x^2$ (так как $x\neq0$):

$2x^4 - 28x^2 + 16 = 0$

$x^4 - 14x^2 + 8 = 0$

Сделаем замену $t = x^2$ ($t>0$). Получим квадратное уравнение $t^2 - 14t + 8 = 0$.

Его корни: $t_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 8}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 32}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{164}}{2} = 7 \pm \sqrt{41}$.

Оба значения $t$ положительны ($7+\sqrt{41} > 0$ и $7-\sqrt{41} > 0$, так как $7 = \sqrt{49} > \sqrt{41}$).

Значит, существуют два положительных значения для $x^2$. Каждое из них ($x^2 = 7+\sqrt{41}$ и $x^2 = 7-\sqrt{41}$) дает два различных значения для $x$. Всего получаем четыре различных действительных корня для $x$, и для каждого из них найдется соответствующее значение $y$. Следовательно, система имеет четыре решения.

Ответ: 4.

6. (4) а) Докажите, что все прямые вида $y=k(x-2)$, где $k$ – произвольное число, проходят через точку с координатами $(2;0)$. Чем отличается положение прямой при положительном значении $k$ от положения прямой при отрицательном значении $k$? Что происходит с прямой $y=k(x-2)$ при увеличении положительного значения $k$? Что происходит с прямой $y=k(x-2)$ при уменьшении отрицательного значения $k$?

6) Постройте график функции $y=\frac{3x}{x^2-4}$. Используя построенный график, постарайтесь определить количество корней уравнения $\frac{3x}{x^2-4}=k(x-2)$ в зависимости от значений параметра $k$.

a) Рассмотрим уравнение прямой $y = k(x-2)$. Чтобы доказать, что все прямые этого вида проходят через точку с координатами $(2; 0)$, подставим эти координаты в уравнение.
Подставляем $x=2$ и $y=0$:
$0 = k(2-2)$
$0 = k \cdot 0$
$0 = 0$
Это равенство верно при любом значении параметра $k$. Следовательно, все прямые вида $y = k(x-2)$ проходят через точку $(2; 0)$.

Коэффициент $k$ в уравнении прямой $y = kx - 2k$ является ее угловым коэффициентом (тангенсом угла наклона к оси Ox).
- При положительном значении $k$ ($k>0$) угловой коэффициент положителен, и прямая является возрастающей (идет вверх слева направо). Она проходит через I, III и IV координатные четверти, вращаясь вокруг точки $(2;0)$.
- При отрицательном значении $k$ ($k<0$) угловой коэффициент отрицателен, и прямая является убывающей (идет вниз слева направо). Она проходит через I, II и IV координатные четверти.

- При увеличении положительного значения $k$ (например, от 1 до 10) угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox увеличивается (от 45° к 90°). Прямая становится круче, вращаясь вокруг точки $(2; 0)$ против часовой стрелки.

- При уменьшении отрицательного значения $k$ (например, от -1 до -10) модуль углового коэффициента $|k|$ увеличивается. Угол наклона к положительному направлению оси Ox уменьшается (от 135° к 90°). Прямая также становится круче, но с отрицательным наклоном, вращаясь вокруг точки $(2; 0)$ по часовой стрелке.
Ответ: Равенство $0 = k(2-2)$ верно для любого $k$, что доказывает прохождение всех прямых через точку $(2;0)$. При $k>0$ прямая возрастает, при $k<0$ — убывает. При увеличении $k>0$ прямая вращается против часовой стрелки, становясь круче. При уменьшении $k<0$ прямая вращается по часовой стрелке, также становясь круче.

б) Для построения графика функции $y = \frac{3x}{x^2 - 4}$ проведем исследование.
1. Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x^2 - 4 \neq 0$, что означает $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Область определения: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; \infty)$.
2. Асимптоты:
- Вертикальные асимптоты: $x = -2$ и $x = 2$.
- Горизонтальная асимптота: так как степень числителя (1) меньше степени знаменателя (2), горизонтальной асимптотой является ось Ox, т.е. прямая $y=0$.
3. Симметрия: Проверим функцию на четность/нечетность. $f(-x) = \frac{3(-x)}{(-x)^2 - 4} = \frac{-3x}{x^2 - 4} = -f(x)$. Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
4. Точки пересечения с осями:
- С осью Oy: $x=0 \implies y = \frac{0}{0-4} = 0$. Точка $(0;0)$.
- С осью Ox: $y=0 \implies \frac{3x}{x^2-4}=0 \implies 3x=0 \implies x=0$. Точка $(0;0)$.
5. Производная и монотонность: $y' = \left(\frac{3x}{x^2 - 4}\right)' = \frac{3(x^2 - 4) - 3x(2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{3x^2 - 12 - 6x^2}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-3x^2 - 12}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-3(x^2+4)}{(x^2-4)^2}$.
Числитель $-3(x^2+4)$ всегда отрицателен, а знаменатель $(x^2-4)^2$ всегда положителен в области определения. Таким образом, $y'<0$ для всех $x$ из области определения. Это значит, что функция строго убывает на каждом из интервалов: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; \infty)$.
Эскиз графика: На интервале $(2, \infty)$ график убывает от $+\infty$ до $0$. На интервале $(-2, 2)$ график убывает от $+\infty$ (при $x \to -2^+$) до $-\infty$ (при $x \to 2^-$), проходя через точку $(0,0)$. На интервале $(-\infty, -2)$ график убывает от $0$ до $-\infty$.

Теперь определим количество корней уравнения $\frac{3x}{x^2-4} = k(x-2)$.
Количество корней этого уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y_1 = \frac{3x}{x^2-4}$ и семейства прямых $y_2 = k(x-2)$. Как мы установили в пункте (а), все прямые $y_2$ проходят через точку $(2;0)$ и имеют угловой коэффициент $k$. Точка $x=2$ является вертикальной асимптотой для графика $y_1$, поэтому пересечения в этой точке нет.
Проанализируем количество пересечений в зависимости от $k$:
1. Случай $k > 0$:
Прямая $y_2=k(x-2)$ возрастает.
- На интервале $(2, \infty)$: $y_1$ убывает от $+\infty$ до $0$, а $y_2$ возрастает от $0$ до $+\infty$. Графики пересекутся ровно один раз.
- На интервале $(0, 2)$: $y_1$ отрицательна (убывает от $0$ до $-\infty$), и $y_2$ также отрицательна (возрастает от $y_2(0)=-2k$ до $y_2(2)=0$). Графики пересекутся ровно один раз.
- На интервале $(-2, 0)$: $y_1$ положительна, а $y_2$ отрицательна. Пересечений нет.
- На интервале $(-\infty, -2)$: $y_1$ отрицательна (убывает от $0$ до $-\infty$), и $y_2$ также отрицательна (возрастает от $-\infty$ до $y_2(-2)=-4k$). Графики пересекутся ровно один раз.
Итого, при $k > 0$ уравнение имеет 3 корня.
2. Случай $k = 0$:
Уравнение принимает вид $\frac{3x}{x^2-4} = 0$, откуда $3x=0$, то есть $x=0$.
Итого, при $k = 0$ уравнение имеет 1 корень.
3. Случай $k < 0$:
Прямая $y_2=k(x-2)$ убывает.
- На интервале $(2, \infty)$: $y_1 > 0$, а $y_2 < 0$. Пересечений нет.
- На интервале $(0, 2)$: $y_1 < 0$, а $y_2 > 0$. Пересечений нет.
- На интервале $(-2, 0)$: $y_1 > 0$ (убывает от $+\infty$ до $0$), и $y_2 > 0$ (убывает от $y_2(-2)=-4k$ до $y_2(0)=-2k$). Графики пересекутся ровно один раз.
- На интервале $(-\infty, -2)$: $y_1 < 0$, а $y_2 > 0$. Пересечений нет.
Итого, при $k < 0$ уравнение имеет 1 корень.
Ответ:
- при $k \in (-\infty; 0] \cup \{0\}$ (то есть $k \le 0$) — 1 корень;
- при $k \in (0; +\infty)$ (то есть $k > 0$) — 3 корня.