Номер 4, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. (3) а) Исследуйте функцию $y=\frac{8x}{x^2+4}$ и постройте ее график.

б) На той же координатной плоскости постройте график функции $y=\frac{x^2}{2}$. Решите графически неравенство $\frac{8x}{x^2+4} \ge \frac{x^2}{2}$.

а) Исследуем функцию $y=\frac{8x}{x^2+4}$ и построим ее график.

1. Область определения.
Знаменатель дроби $x^2+4$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $x^2+4 \ge 4$. Таким образом, функция определена для всех действительных чисел.$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.
Найдем значение функции для $-x$:
$y(-x) = \frac{8(-x)}{(-x)^2+4} = \frac{-8x}{x^2+4} = -y(x)$.
Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY: при $x=0$, $y=\frac{8 \cdot 0}{0^2+4}=0$. Точка пересечения — $(0,0)$.
- С осью OX: при $y=0$, $\frac{8x}{x^2+4}=0$, что равносильно $8x=0$, откуда $x=0$. Точка пересечения — $(0,0)$.График проходит через начало координат.

4. Асимптоты.
- Вертикальных асимптот нет, так как знаменатель никогда не обращается в ноль.
- Горизонтальные асимптоты: найдем предел функции при $x \to \pm\infty$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{8x}{x^2+4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{8x}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{4}{x^2}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{8}{x}}{1+\frac{4}{x^2}} = \frac{0}{1+0} = 0$.
Прямая $y=0$ (ось OX) является горизонтальной асимптотой графика функции.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную функции:$y' = \left(\frac{8x}{x^2+4}\right)' = \frac{(8x)'(x^2+4) - 8x(x^2+4)'}{(x^2+4)^2} = \frac{8(x^2+4) - 8x(2x)}{(x^2+4)^2} = \frac{8x^2+32-16x^2}{(x^2+4)^2} = \frac{32-8x^2}{(x^2+4)^2} = \frac{8(4-x^2)}{(x^2+4)^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y'=0$.
$\frac{8(4-x^2)}{(x^2+4)^2} = 0 \implies 4-x^2=0 \implies x_1=-2, x_2=2$.
Определим знаки производной на интервалах, на которые точки $-2$ и $2$ делят числовую ось:
- На интервале $(-\infty, -2)$, $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-2, 2)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(2, +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x=-2$ производная меняет знак с минуса на плюс, это точка локального минимума. $y_{min} = y(-2) = \frac{8(-2)}{(-2)^2+4} = \frac{-16}{8} = -2$.
В точке $x=2$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка локального максимума. $y_{max} = y(2) = \frac{8(2)}{2^2+4} = \frac{16}{8} = 2$.
Точка минимума: $(-2, -2)$. Точка максимума: $(2, 2)$.

6. Построение графика.
Используя полученные данные (симметрия относительно начала координат, точка пересечения $(0,0)$, асимптота $y=0$, минимум в $(-2,-2)$ и максимум в $(2,2)$), строим график функции. График выходит из-под оси OX, убывает до точки $(-2,-2)$, затем возрастает, проходит через $(0,0)$ до точки максимума $(2,2)$, после чего снова убывает, асимптотически приближаясь к оси OX.

Ответ: Функция исследована. Ее график представляет собой кривую, симметричную относительно начала координат, с горизонтальной асимптотой $y=0$, точкой локального минимума $(-2, -2)$ и точкой локального максимума $(2, 2)$.

б) На той же координатной плоскости постройте график функции $y=\frac{x^2}{2}$. Решите графически неравенство $\frac{8x}{x^2+4} \ge \frac{x^2}{2}$.

График функции $y=\frac{x^2}{2}$ — это парабола с вершиной в точке $(0,0)$, ветви которой направлены вверх.

Решить неравенство $\frac{8x}{x^2+4} \ge \frac{x^2}{2}$ графически означает найти все значения $x$, для которых график функции $y=\frac{8x}{x^2+4}$ расположен не ниже графика функции $y=\frac{x^2}{2}$.

Для этого сначала найдем точки пересечения графиков, решив уравнение:
$\frac{8x}{x^2+4} = \frac{x^2}{2}$
Приводим к общему знаменателю и решаем (учитывая, что $x^2+4 \neq 0$):
$16x = x^2(x^2+4)$
$16x = x^4 + 4x^2$
$x^4 + 4x^2 - 16x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x^3 + 4x - 16) = 0$
Один из корней — $x_1=0$.
Решим уравнение $x^3 + 4x - 16 = 0$. Методом подбора находим, что $x_2=2$ является корнем: $2^3 + 4(2) - 16 = 8 + 8 - 16 = 0$.
Разделим многочлен $(x^3 + 4x - 16)$ на двучлен $(x-2)$ и получим $x^2+2x+8$.
Квадратное уравнение $x^2+2x+8=0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4-32 = -28 < 0$.
Следовательно, графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых $x=0$ и $x=2$. Найдем ординаты: $y(0)=0$, $y(2)=\frac{2^2}{2}=2$. Точки пересечения: $(0,0)$ и $(2,2)$.

Из графиков видно, что на промежутке от $0$ до $2$ кривая $y=\frac{8x}{x^2+4}$ находится выше параболы $y=\frac{x^2}{2}$. В точках $x=0$ и $x=2$ их значения равны. Таким образом, неравенство выполняется при $x \in [0; 2]$.

Ответ: $x \in [0; 2]$.