Номер 8, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (4) Исследуйте функцию $f(x) = 4\cos\frac{x}{2} - 2\cos x$ и постройте ее график.

9. (2) Дана функция $g(x) = 2\sin x$ определенная на промежутке

Проведем полное исследование функции $f(x) = 4\cos\frac{x}{2} - 2\cos x$ и построим ее график, выполнив следующие шаги.

1. Область определения

Функция состоит из комбинации тригонометрических функций $\cos\frac{x}{2}$ и $\cos x$, которые определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения функции $f(x)$ — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и периодичность

Проверим функцию на четность: $f(-x) = 4\cos\left(-\frac{x}{2}\right) - 2\cos(-x) = 4\cos\frac{x}{2} - 2\cos x = f(x)$, так как функция косинуса является четной. Таким образом, функция $f(x)$ — четная, ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$).

Период для слагаемого $4\cos\frac{x}{2}$ равен $T_1 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$. Период для слагаемого $-2\cos x$ равен $T_2 = 2\pi$. Наименьший общий период функции $f(x)$ равен наименьшему общему кратному периодов $T_1$ и $T_2$, то есть $T = \text{НОК}(4\pi, 2\pi) = 4\pi$.

Ответ: Функция является четной и периодической с основным периодом $T = 4\pi$.

3. Точки пересечения с осями координат

С осью $Oy$: при $x=0$ имеем $f(0) = 4\cos(0) - 2\cos(0) = 4 - 2 = 2$. Точка пересечения — $(0; 2)$.

С осью $Ox$: решаем уравнение $f(x) = 0$, то есть $4\cos\frac{x}{2} - 2\cos x = 0$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$:

$4\cos\frac{x}{2} - 2(2\cos^2\frac{x}{2} - 1) = 0$, что приводит к квадратному уравнению относительно $\cos\frac{x}{2}$: $2\cos^2\frac{x}{2} - 2\cos\frac{x}{2} - 1 = 0$.

Решая его, получаем $\cos\frac{x}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$. Так как $|\cos \alpha| \le 1$, подходит только корень $\cos\frac{x}{2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$.

Отсюда $x = \pm 2\arccos\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Пересечение с осью $Oy$: $(0; 2)$. Пересечение с осью $Ox$: $x = \pm 2\arccos\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума

Находим первую производную: $f'(x) = -2\sin\frac{x}{2} + 2\sin x$. Преобразуем ее: $f'(x) = -2\sin\frac{x}{2} + 4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 2\sin\frac{x}{2}(2\cos\frac{x}{2} - 1)$.

Критические точки находим из условия $f'(x)=0$:

1) $\sin\frac{x}{2}=0 \implies x=2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos\frac{x}{2}=\frac{1}{2} \implies x=\pm\frac{2\pi}{3}+4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Анализ знака $f'(x)$ на периоде $[0, 4\pi]$ показывает, что функция возрастает на $(0, \frac{2\pi}{3})$ и $(2\pi, \frac{10\pi}{3})$, и убывает на $(\frac{2\pi}{3}, 2\pi)$ и $(\frac{10\pi}{3}, 4\pi)$.

Экстремумы:

$x_{max} = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$, значение $f(\pm \frac{2\pi}{3}) = 3$.

$x_{min} = 4\pi n$, значение $f(0) = 2$.

$x_{min} = 2\pi + 4\pi n$, значение $f(2\pi) = -6$.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $(4\pi n, \frac{2\pi}{3}+4\pi n)$ и $(2\pi+4\pi n, \frac{10\pi}{3}+4\pi n)$. Убывает на интервалах $(\frac{2\pi}{3}+4\pi n, 2\pi+4\pi n)$ и $(\frac{10\pi}{3}+4\pi n, 4\pi(n+1))$. Точки максимума $x = \pm\frac{2\pi}{3}+4\pi n$ ($y_{max}=3$), точки минимума $x=4\pi n$ ($y_{min}=2$) и $x=2\pi+4\pi n$ ($y_{min}=-6$), для $n \in \mathbb{Z}$.

5. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба

Находим вторую производную: $f''(x) = -\cos\frac{x}{2} + 2\cos x$.

Приравнивая к нулю, получаем $4\cos^2\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2} - 2 = 0$.

Корни уравнения: $\cos\frac{x}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$.

Обозначим $x_1 = 2\arccos\left(\frac{1+\sqrt{33}}{8}\right)$ и $x_2 = 2\arccos\left(\frac{1-\sqrt{33}}{8}\right)$.

Анализ знака $f''(x)$ показывает, что функция вогнутая (выпукла вниз), когда $f''(x) > 0$, и выпуклая (выпукла вверх), когда $f''(x) < 0$. Точки перегиба — это точки, где меняется знак второй производной.

Ответ: Функция вогнутая на интервалах $(-x_1+4\pi n, x_1+4\pi n)$ и $(x_2+4\pi n, 4\pi-x_2+4\pi n)$. Выпуклая на интервалах $(x_1+4\pi n, x_2+4\pi n)$ и $(4\pi-x_2+4\pi n, 4\pi-x_1+4\pi n)$, где $x_1 = 2\arccos\left(\frac{1+\sqrt{33}}{8}\right)$, $x_2 = 2\arccos\left(\frac{1-\sqrt{33}}{8}\right)$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки перегиба: $x=\pm x_1+4\pi n$ и $x=\pm x_2+4\pi n$.

6. Область значений

Сравнивая значения в точках экстремума, находим глобальные максимум и минимум.

Глобальный максимум: $y_{max}=3$.

Глобальный минимум: $y_{min}=-6$.

Ответ: $E(f) = [-6; 3]$.

7. Построение графика

На основе проведенного анализа строим график функции. Отмечаем на координатной плоскости точки экстремумов, точки пересечения с осями. Соединяем их плавными линиями с учетом интервалов монотонности и выпуклости. Затем, используя свойство периодичности, повторяем построенный фрагмент графика вдоль всей оси $Ox$ с периодом $4\pi$.

Ответ: Исследование функции проведено, ее график построен.