Номер 1, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. (2)Дана функция $y = \frac{4}{x^2 - 1}$. Определите уравнения вертикальных асимптот графика функции. Графически изобразите поведение функции вблизи вертикальных асимптот аналогично тому, как это сделано на рисунке 9 пункта 5.1 данного параграфа.

Определение уравнений вертикальных асимптот

Дана функция $y = \frac{4}{x^2-1}$.

Вертикальные асимптоты графика функции находятся в точках, где функция не определена, то есть в тех значениях $x$, при которых знаменатель дроби обращается в ноль, а числитель при этом не равен нулю.

Найдем нули знаменателя, решив уравнение:

$x^2 - 1 = 0$

Это разность квадратов, которую можно разложить на множители:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Поскольку числитель дроби равен 4 (константа, не равная нулю), то в точках $x=1$ и $x=-1$ существуют разрывы второго рода, и прямые, заданные этими уравнениями, являются вертикальными асимптотами графика функции.

Ответ: Уравнения вертикальных асимптот: $x = 1$ и $x = -1$.

Графическое изображение поведения функции вблизи вертикальных асимптот

Чтобы определить, как ведет себя функция при приближении к асимптотам, исследуем односторонние пределы в точках $x=1$ и $x=-1$.

1. Исследуем поведение вблизи асимптоты $x = 1$:

• При приближении к $x=1$ справа ($x \to 1^+$), $x$ принимает значения чуть больше 1 (например, 1.1). Тогда $x^2 > 1$, и знаменатель $x^2 - 1$ является малым положительным числом.
  $\lim_{x \to 1^+} \frac{4}{x^2 - 1} = \frac{4}{+0} = +\infty$
  Это означает, что график функции уходит вверх (к плюс бесконечности).

• При приближении к $x=1$ слева ($x \to 1^-$), $x$ принимает значения чуть меньше 1 (например, 0.9). Тогда $x^2 < 1$, и знаменатель $x^2 - 1$ является малым отрицательным числом.
  $\lim_{x \to 1^-} \frac{4}{x^2 - 1} = \frac{4}{-0} = -\infty$
  Это означает, что график функции уходит вниз (к минус бесконечности).

2. Исследуем поведение вблизи асимптоты $x = -1$:

• При приближении к $x=-1$ справа ($x \to -1^+$), $x$ принимает значения чуть больше -1 (например, -0.9). Тогда $x^2 < 1$, и знаменатель $x^2 - 1$ является малым отрицательным числом.
  $\lim_{x \to -1^+} \frac{4}{x^2 - 1} = \frac{4}{-0} = -\infty$
  Это означает, что график функции уходит вниз (к минус бесконечности).

• При приближении к $x=-1$ слева ($x \to -1^-$), $x$ принимает значения чуть меньше -1 (например, -1.1). Тогда $x^2 > 1$, и знаменатель $x^2 - 1$ является малым положительным числом.
  $\lim_{x \to -1^-} \frac{4}{x^2 - 1} = \frac{4}{+0} = +\infty$
  Это означает, что график функции уходит вверх (к плюс бесконечности).

Ниже представлено графическое изображение поведения функции вблизи вертикальных асимптот $x=-1$ и $x=1$.

Ответ: При приближении к асимптоте $x=-1$ слева, функция стремится к $+\infty$. При приближении к $x=-1$ справа, функция стремится к $-\infty$. При приближении к асимптоте $x=1$ слева, функция стремится к $-\infty$. При приближении к $x=1$ справа, функция стремится к $+\infty$.