Номер 18, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

18. (4) a) В двух различных сосудах находятся растворы соли, причем в первом находится 10 кг, а во втором 15 кг. При испарении воды содержание соли в первом сосуде увеличилось в $p$ раз, а во втором в $q$ раз. Известно, что $pq=6$. Какая наименьшая суммарная масса растворов могла остаться в обоих сосудах?

(4) б) решить задачу пункта а) при условии, что в первом сосуде находится первоначально $m_1$ кг, во втором $m_2$ кг, $pq=c$, где $m_1$, $m_2$ и $c$ – данные положительные числа, $y=x^2$.

а)Обозначим начальные массы растворов в первом и втором сосудах как $m_{1и} = 10$ кг и $m_{2и} = 15$ кг соответственно. Пусть $s_1$ и $s_2$ — это массы соли в каждом сосуде, которые остаются неизменными в процессе испарения. Начальная концентрация в первом сосуде равна $C_{1и} = s_1/m_{1и}$, а во втором $C_{2и} = s_2/m_{2и}$.
После испарения воды конечные массы растворов стали $m_{1к}$ и $m_{2к}$, а конечные концентрации — $C_{1к} = s_1/m_{1к}$ и $C_{2к} = s_2/m_{2к}$.
По условию задачи, $C_{1к} = p \cdot C_{1и}$ и $C_{2к} = q \cdot C_{2и}$. Отсюда мы можем выразить конечные массы через начальные:
$s_1/m_{1к} = p \cdot (s_1/m_{1и}) \implies m_{1к} = m_{1и}/p = 10/p$.
$s_2/m_{2к} = q \cdot (s_2/m_{2и}) \implies m_{2к} = m_{2и}/q = 15/q$.
Суммарная масса растворов после испарения составляет $M = m_{1к} + m_{2к} = 10/p + 15/q$.
Нам дано, что $pq=6$, откуда можно выразить $q = 6/p$. Подставим это в формулу для суммарной массы:
$M(p) = 10/p + 15/(6/p) = 10/p + 15p/6 = 10/p + 2.5p$.
Поскольку концентрация увеличилась, то $p > 1$ и $q > 1$. Из $q=6/p > 1$ следует, что $p < 6$. Таким образом, мы ищем наименьшее значение функции $M(p)$ на интервале $p \in (1, 6)$.
Для нахождения минимума функции найдем ее производную по $p$:
$M'(p) = (10/p + 2.5p)' = -10/p^2 + 2.5$.
Приравняем производную к нулю: $-10/p^2 + 2.5 = 0 \implies 2.5 = 10/p^2 \implies p^2 = 10/2.5 = 4$.
Так как $p>1$, то $p=2$. Это значение попадает в наш интервал $(1, 6)$.
Чтобы убедиться, что это точка минимума, найдем вторую производную: $M''(p) = (-10p^{-2})' = 20p^{-3} = 20/p^3$. При $p=2$, $M''(2) = 20/8 > 0$, что подтверждает, что при $p=2$ функция достигает своего минимума.
Вычислим это минимальное значение:
$M_{min} = M(2) = 10/2 + 2.5 \cdot 2 = 5 + 5 = 10$ кг.
Ответ: 10 кг.

б)Эта задача является обобщением пункта а). Пусть начальные массы равны $m_1$ и $m_2$, и известно, что $pq=c$.
Аналогично предыдущему пункту, конечные массы растворов равны $m_{1к} = m_1/p$ и $m_{2к} = m_2/q$.
Суммарная конечная масса $M = m_1/p + m_2/q$. Используя соотношение $q=c/p$, получаем функцию суммарной массы от одной переменной $p$:
$M(p) = m_1/p + m_2/(c/p) = m_1/p + \frac{m_2}{c}p$.
Из условия, что концентрации увеличиваются, следует $p \ge 1$ и $q \ge 1$. Из $q = c/p \ge 1$ получаем $p \le c$. Таким образом, необходимо найти наименьшее значение функции $M(p)$ на отрезке $[1, c]$.
Найдем производную функции $M(p)$:
$M'(p) = -m_1/p^2 + m_2/c$.
Приравняв производную к нулю, найдем стационарную точку: $m_2/c = m_1/p^2 \implies p^2 = \frac{m_1 c}{m_2} \implies p_0 = \sqrt{\frac{m_1 c}{m_2}}$.
Вторая производная $M''(p) = 2m_1/p^3$ положительна для $p>0$ (так как $m_1, c > 0$), следовательно, $p_0$ является точкой минимума функции $M(p)$ на всей области определения $p>0$.
Наименьшее значение функции на отрезке $[1, c]$ зависит от того, где находится точка $p_0$ по отношению к этому отрезку. Рассмотрим три случая:
1. Точка минимума $p_0$ находится на отрезке $[1, c]$, то есть $1 \le \sqrt{\frac{m_1 c}{m_2}} \le c$. Это условие эквивалентно $\frac{m_2}{c} \le m_1 \le m_2 c$. В этом случае наименьшее значение функции на отрезке совпадает с ее значением в точке минимума:
$M_{min} = M(p_0) = m_1/\sqrt{\frac{m_1 c}{m_2}} + \frac{m_2}{c}\sqrt{\frac{m_1 c}{m_2}} = \sqrt{\frac{m_1 m_2}{c}} + \sqrt{\frac{m_1 m_2}{c}} = 2\sqrt{\frac{m_1 m_2}{c}}$.
2. Точка минимума $p_0$ находится левее отрезка $[1, c]$, то есть $\sqrt{\frac{m_1 c}{m_2}} < 1$, что эквивалентно $m_1 < \frac{m_2}{c}$. В этом случае функция $M(p)$ возрастает на всем отрезке $[1, c]$, и ее наименьшее значение достигается на левой границе, при $p=1$.
$M_{min} = M(1) = m_1/1 + m_2/c = m_1 + m_2/c$.
3. Точка минимума $p_0$ находится правее отрезка $[1, c]$, то есть $\sqrt{\frac{m_1 c}{m_2}} > c$, что эквивалентно $m_1 > m_2 c$. В этом случае функция $M(p)$ убывает на всем отрезке $[1, c]$, и ее наименьшее значение достигается на правой границе, при $p=c$.
$M_{min} = M(c) = m_1/c + \frac{m_2}{c} \cdot c = m_1/c + m_2$.
Ответ: Наименьшая суммарная масса растворов равна:
$2\sqrt{\frac{m_1 m_2}{c}}$, если $\frac{m_2}{c} \le m_1 \le m_2 c$;
$m_1 + \frac{m_2}{c}$, если $m_1 < \frac{m_2}{c}$;
$\frac{m_1}{c} + m_2$, если $m_1 > m_2 c$.