Номер 14, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Берик представляет число 1 в виде суммы двух не обязательно положительных слагаемых. Серик возводит первое из слагаемых в квадрат и умножает на 3, второе также возводит в квадрат и умножает на 6, а затем складывает результаты умножений. На какие слагаемые должен разбить Берик число 1, чтобы у Серика получился наименьший результат из возможных?

Пусть даны положительные числа $a$ и $b$. Найдите наименьшее значение выражения $ax^2+b(1-x)^2$, если $x \in (-\infty + \infty)$.

а)

Пусть Берик представляет число 1 в виде суммы двух слагаемых $x$ и $y$. По условию, $x+y=1$. Отсюда можно выразить одно слагаемое через другое: $y=1-x$.

Серик вычисляет значение выражения $S = 3x^2 + 6y^2$. Нам нужно найти $x$ и $y$, при которых значение $S$ будет наименьшим.

Подставим выражение для $y$ в формулу для $S$:

$S(x) = 3x^2 + 6(1-x)^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратичную функцию от $x$:

$S(x) = 3x^2 + 6(1 - 2x + x^2) = 3x^2 + 6 - 12x + 6x^2 = 9x^2 - 12x + 6$

Мы получили квадратичную функцию $S(x) = 9x^2 - 12x + 6$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 9) положителен. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координата $x$ вершины параболы $f(x) = ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a=9$ и $b=-12$. Найдем значение $x$, при котором $S$ минимально:

$x = -\frac{-12}{2 \cdot 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

Это первое слагаемое. Теперь найдем второе слагаемое $y$:

$y = 1-x = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Таким образом, для получения наименьшего результата у Серика, Берик должен разбить число 1 на слагаемые $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{3}$.

Ответ: слагаемые должны быть равны $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{3}$.

б)

Нам нужно найти наименьшее значение выражения $E(x) = ax^2 + b(1-x)^2$, где $a > 0$, $b > 0$, и $x \in (-\infty, +\infty)$.

Это задача на нахождение минимума функции. Преобразуем выражение, раскрыв скобки:

$E(x) = ax^2 + b(1 - 2x + x^2) = ax^2 + b - 2bx + bx^2$

Сгруппируем члены при одинаковых степенях $x$:

$E(x) = (a+b)x^2 - 2bx + b$

Это квадратичная функция от $x$. Так как по условию $a$ и $b$ — положительные числа, то коэффициент при $x^2$, равный $(a+b)$, также положителен. Следовательно, график функции $E(x)$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Свое наименьшее значение она принимает в вершине.

Абсцисса вершины параболы $f(x) = Ax^2+Bx+C$ вычисляется по формуле $x_v = -\frac{B}{2A}$.

В нашем случае $A = a+b$, $B = -2b$. Найдем значение $x$, в котором достигается минимум:

$x_{min} = -\frac{-2b}{2(a+b)} = \frac{2b}{2(a+b)} = \frac{b}{a+b}$

Чтобы найти наименьшее значение выражения, подставим найденное значение $x_{min}$ в исходную функцию $E(x)$:

$E_{min} = a\left(\frac{b}{a+b}\right)^2 + b\left(1 - \frac{b}{a+b}\right)^2$

Упростим выражение в скобках:

$1 - \frac{b}{a+b} = \frac{a+b-b}{a+b} = \frac{a}{a+b}$

Подставим обратно в формулу для $E_{min}$:

$E_{min} = a\left(\frac{b^2}{(a+b)^2}\right) + b\left(\frac{a^2}{(a+b)^2}\right) = \frac{ab^2}{(a+b)^2} + \frac{a^2b}{(a+b)^2}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$E_{min} = \frac{ab^2 + a^2b}{(a+b)^2}$

Вынесем общий множитель $ab$ в числителе:

$E_{min} = \frac{ab(b+a)}{(a+b)^2}$

Сократим дробь на $(a+b)$:

$E_{min} = \frac{ab}{a+b}$

Ответ: наименьшее значение выражения равно $\frac{ab}{a+b}$.