Номер 7, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Рассматриваются прямоугольники, две вершины которых лежат на оси $Ox$, а две другие – на графике функции $y=4 \cos x$, заданной на отрезке

$x \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Среди всех таких прямоугольников найдите стороны того,

который имеет наибольший периметр.

Пусть вершины прямоугольника, лежащие на оси $Ox$, имеют координаты $(-x, 0)$ и $(x, 0)$, где $x \in [0, \pi/2]$. Поскольку функция $y=4 \cos x$ является четной, симметричное расположение вершин относительно оси $Oy$ является необходимым условием для образования прямоугольника.

Две другие вершины будут лежать на графике функции и иметь координаты $(-x, 4 \cos x)$ и $(x, 4 \cos x)$.

Стороны такого прямоугольника равны:
ширина $a = x - (-x) = 2x$
высота $b = 4 \cos x$

Периметр прямоугольника $P$ как функция от $x$ выражается формулой:
$P(x) = 2(a+b) = 2(2x + 4 \cos x) = 4x + 8 \cos x$.

Нам нужно найти максимальное значение функции $P(x)$ на отрезке $[0, \pi/2]$. Для этого найдем производную функции $P(x)$:
$P'(x) = (4x + 8 \cos x)' = 4 - 8 \sin x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$4 - 8 \sin x = 0$
$8 \sin x = 4$
$\sin x = \frac{1}{2}$

На отрезке $[0, \pi/2]$ этому уравнению удовлетворяет единственное значение $x = \frac{\pi}{6}$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума, исследуем знак производной на интервалах, на которые точка $x = \frac{\pi}{6}$ разбивает отрезок $[0, \pi/2]$.
- При $x \in [0, \pi/6)$, например $x=0$, $P'(0) = 4 - 8 \sin 0 = 4 > 0$. Функция $P(x)$ возрастает.
- При $x \in (\pi/6, \pi/2]$, например $x=\pi/2$, $P'(\pi/2) = 4 - 8 \sin(\pi/2) = 4 - 8 = -4 < 0$. Функция $P(x)$ убывает.

Следовательно, в точке $x = \frac{\pi}{6}$ функция $P(x)$ достигает своего наибольшего значения.

Теперь найдем стороны прямоугольника при $x = \frac{\pi}{6}$:
ширина $a = 2x = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$
высота $b = 4 \cos x = 4 \cos(\frac{\pi}{6}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

Ответ: стороны прямоугольника с наибольшим периметром равны $\frac{\pi}{3}$ и $2\sqrt{3}$.