Номер 5, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 5

Представьте, что у вас в руках прямоугольный лист картона, ножницы и скотч. Ваша цель – смастерить коробочку следующим способом: вырезать квадратные уголки (1), сделать сгибы вдоль пунктирных линий до соединения ребер $a$ и $b$ (2), склеить соединенные ребра скотчем и полюбоваться на свое изделие (3) (рис. 1).

1) 2) 3)

Рис. 1

Если размер вырезаемых квадратов будет очень мал, то получится очень плоская коробка. Если сторона квадратика будет чуть меньше половины меньшей стороны прямоугольника, то коробка получится очень узкой. Практический вопрос: как из данного прямоугольника получить коробку максимального объема?

Упражнение 5

Возьмите нитку или веревку длиной не более 1 м и свяжите концы. Постарайтесь расположить ее на столе так, чтобы площадь, огороженная ниткой, оказалась наибольшей. Какая фигура получилась?

Как из данного прямоугольника получить коробку максимального объема?

Это классическая задача на оптимизацию, для решения которой используется математический анализ. Пусть исходный лист картона имеет длину $L$ и ширину $W$. Мы вырезаем из каждого угла одинаковые квадраты со стороной $x$. После этого мы сгибаем боковые стороны вверх, получая открытую коробку.

Размеры полученной коробки будут следующими: высота равна $h=x$, длина основания $l = L - 2x$, а ширина основания $w = W - 2x$. Объем коробки $V$ как функция от $x$ выражается формулой: $V(x) = l \cdot w \cdot h = (L - 2x)(W - 2x)x$. Чтобы размеры коробки были физически возможными, сторона вырезаемого квадрата $x$ должна быть больше нуля, но меньше половины меньшей стороны листа, то есть $0 < x < \frac{\min(L, W)}{2}$.

Для нахождения значения $x$, при котором объем $V(x)$ будет максимальным, необходимо найти производную функции $V(x)$ по переменной $x$ и приравнять ее к нулю. Раскроем скобки в выражении для объема: $V(x) = (LW - 2Lx - 2Wx + 4x^2)x = 4x^3 - 2(L+W)x^2 + LWx$.

Теперь найдем производную: $V'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 2(L+W)x^2 + LWx) = 12x^2 - 4(L+W)x + LW$.

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек, в которых объем может достигать экстремума (максимума или минимума): $12x^2 - 4(L+W)x + LW = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$. Решив его, мы получим два корня: $x = \frac{L+W \pm \sqrt{(L+W)^2 - 3LW}}{6} = \frac{L+W \pm \sqrt{L^2 - LW + W^2}}{6}$.

Один из корней, $x_1 = \frac{L+W + \sqrt{L^2 - LW + W^2}}{6}$, не подходит, так как он приводит к значению $x$, которое больше половины меньшей стороны листа, что физически невозможно. Второй корень, $x_2 = \frac{L+W - \sqrt{L^2 - LW + W^2}}{6}$, удовлетворяет нашим ограничениям. Именно при таком значении стороны вырезаемого квадрата объем коробки будет максимальным.

Ответ: Для получения коробки максимального объема необходимо вырезать из углов прямоугольника квадраты, сторона которых $x$ вычисляется по формуле: $x = \frac{L+W - \sqrt{L^2 - LW + W^2}}{6}$, где $L$ и $W$ — это длина и ширина исходного листа.

Упражнение 5

Вопрос заключается в том, какую форму нужно придать замкнутой кривой фиксированной длины (в данном случае, нитке), чтобы она огораживала максимально возможную площадь. Эта задача известна в математике как изопериметрическая задача.

Решением этой задачи является круг. Согласно изопериметрической теореме, среди всех плоских фигур с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет именно круг. Любая другая фигура с таким же периметром, будь то квадрат, прямоугольник, треугольник или любая другая сложная форма, будет иметь меньшую площадь.

Таким образом, чтобы расположить нитку на столе и получить наибольшую площадь, ее следует уложить в форме окружности.

Ответ: Получилась фигура - круг.