Номер 3, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. (2) а) Сумма длин трех сторон прямоугольника равна 100. Какую наибольшую площадь может иметь такой прямоугольник?

б) Сумма длин трех сторон прямоугольника равна $a$. Определите стороны такого прямоугольника, имеющего наибольшую площадь.

а) Пусть стороны прямоугольника равны $x$ и $y$. Сумма длин трех сторон может быть представлена в двух вариантах: $2x + y$ или $x + 2y$. Рассмотрим первый случай: $2x + y = 100$. Отсюда можно выразить одну сторону через другую: $y = 100 - 2x$. Площадь прямоугольника $S$ является функцией от $x$: $S(x) = x \cdot y = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$. График этой функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный. Максимальное значение такая функция принимает в своей вершине. Абсцисса вершины параболы $f(x)=Ax^2+Bx+C$ находится по формуле $x_0 = -B/(2A)$. В нашем случае $A=-2$ и $B=100$, поэтому координата $x$ вершины равна $x = -100 / (2 \cdot (-2)) = 25$. Тогда вторая сторона $y = 100 - 2 \cdot 25 = 50$. Наибольшая площадь при таких сторонах составит $S_{max} = 25 \cdot 50 = 1250$. Второй случай, $x + 2y = 100$, является симметричным и приводит к тому же результату (стороны 50 и 25), и, следовательно, к той же максимальной площади.
Ответ: 1250.

б) Данный пункт является обобщением предыдущего. Пусть стороны прямоугольника равны $x$ и $y$, а сумма длин трех его сторон равна $a$. Аналогично пункту а), рассмотрим случай, когда $2x + y = a$. Тогда $y = a - 2x$. Площадь прямоугольника как функция от $x$ будет $S(x) = x \cdot y = x(a - 2x) = ax - 2x^2$. Это также парабола с ветвями, направленными вниз. Максимум площади будет достигнут в вершине параболы. Найдем абсциссу вершины: $x = -a / (2 \cdot (-2)) = a/4$. Теперь найдем длину второй стороны: $y = a - 2x = a - 2(a/4) = a - a/2 = a/2$. Таким образом, прямоугольник с наибольшей площадью будет иметь стороны, длины которых равны $a/4$ и $a/2$.
Ответ: стороны равны $a/4$ и $a/2$.