Номер 5, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (3) а) Из всех точек на прямой $y = -\frac{4}{3}x + 4$ найдите координаты той, которая наименее удалена от начала координат.

(4) б) Пусть k и m - данные числа. Из всех точек на прямой $y=kx+m$ найдите координаты той, которая наименее удалена от начала координат.

(2) в) Используя результаты пункта б), решите аналогичную задачу для прямых $y=3x-10$, $y=\sqrt{3}x+12$.

а)

Задача состоит в том, чтобы найти на прямой $y = -\frac{4}{3}x + 4$ точку $(x, y)$, расстояние от которой до начала координат $(0, 0)$ минимально. Геометрически, кратчайшее расстояние от точки (в нашем случае, начала координат) до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Искомая точка является основанием этого перпендикуляра.

Найдем уравнение прямой, которая проходит через начало координат $(0, 0)$ и перпендикулярна данной прямой $y = -\frac{4}{3}x + 4$.

Угловой коэффициент данной прямой $k_1 = -\frac{4}{3}$. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой $k_2$ находится из условия перпендикулярности прямых: $k_2 = -1/k_1$.

$k_2 = -\frac{1}{-4/3} = \frac{3}{4}$.

Так как перпендикулярная прямая проходит через начало координат, ее свободный член равен нулю, и ее уравнение имеет вид $y = k_2x$, то есть $y = \frac{3}{4}x$.

Чтобы найти координаты искомой точки, нужно найти точку пересечения этих двух прямых, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = -\frac{4}{3}x + 4 \\ y = \frac{3}{4}x\end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{3}{4}x = -\frac{4}{3}x + 4$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть:

$\frac{3}{4}x + \frac{4}{3}x = 4$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{9}{12}x + \frac{16}{12}x = 4$

$\frac{25}{12}x = 4$

$x = 4 \cdot \frac{12}{25} = \frac{48}{25}$

Теперь найдем координату $y$, подставив найденное значение $x$ в уравнение перпендикулярной прямой:

$y = \frac{3}{4}x = \frac{3}{4} \cdot \frac{48}{25} = \frac{3 \cdot 12}{25} = \frac{36}{25}$

Таким образом, искомая точка имеет координаты $(\frac{48}{25}, \frac{36}{25})$.

Ответ: $(\frac{48}{25}, \frac{36}{25})$.

б)

Рассмотрим общую задачу для прямой $y = kx + m$. Необходимо найти координаты точки на этой прямой, наименее удаленной от начала координат. Воспользуемся тем же геометрическим подходом, что и в пункте а).

Угловой коэффициент данной прямой равен $k$. Прямая, перпендикулярная ей и проходящая через начало координат $(0,0)$, будет иметь угловой коэффициент $k_{\perp} = -\frac{1}{k}$ (при условии, что $k \neq 0$). Уравнение перпендикулярной прямой: $y = -\frac{1}{k}x$.

Искомая точка является точкой пересечения этих двух прямых. Для ее нахождения решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = kx + m \\ y = -\frac{1}{k}x\end{cases}$

Приравняем правые части:

$kx + m = -\frac{1}{k}x$

$kx + \frac{1}{k}x = -m$

$x(k + \frac{1}{k}) = -m$

$x(\frac{k^2+1}{k}) = -m$

Отсюда находим координату $x$:

$x = -m \cdot \frac{k}{k^2+1} = -\frac{mk}{k^2+1}$

Теперь найдем $y$, подставив $x$ в уравнение перпендикулярной прямой:

$y = -\frac{1}{k}x = -\frac{1}{k} \cdot (-\frac{mk}{k^2+1}) = \frac{m}{k^2+1}$

Координаты точки, наименее удаленной от начала координат, равны $(-\frac{mk}{k^2+1}, \frac{m}{k^2+1})$. Эта формула также верна для случая $k=0$ (горизонтальная прямая $y=m$), так как она дает точку $(0, m)$, что является правильным результатом.

Ответ: $(-\frac{mk}{k^2+1}, \frac{m}{k^2+1})$.

в)

Используем формулу, полученную в пункте б), для решения аналогичной задачи для двух заданных прямых. Общая формула для координат искомой точки $(x_0, y_0)$ на прямой $y=kx+m$:

$x_0 = -\frac{mk}{k^2+1}$, $y_0 = \frac{m}{k^2+1}$

1. Для прямой $y = 3x - 10$:

Здесь $k=3$ и $m=-10$. Подставляем эти значения в формулу:

$x_0 = -\frac{(-10) \cdot 3}{3^2+1} = \frac{30}{9+1} = \frac{30}{10} = 3$

$y_0 = \frac{-10}{3^2+1} = \frac{-10}{9+1} = \frac{-10}{10} = -1$

Координаты точки: $(3, -1)$.

2. Для прямой $y = \sqrt{3}x + 12$:

Здесь $k=\sqrt{3}$ и $m=12$. Подставляем эти значения в формулу:

$x_0 = -\frac{12 \cdot \sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2+1} = -\frac{12\sqrt{3}}{3+1} = -\frac{12\sqrt{3}}{4} = -3\sqrt{3}$

$y_0 = \frac{12}{(\sqrt{3})^2+1} = \frac{12}{3+1} = \frac{12}{4} = 3$

Координаты точки: $(-3\sqrt{3}, 3)$.

Ответ: для прямой $y=3x-10$ — точка $(3, -1)$; для прямой $y=\sqrt{3}x+12$ — точка $(-3\sqrt{3}, 3)$.