Номер 4, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. (3) а) Гоша выбирает положительное число. Артур умножает это число на 4, а Белла умножает число, обратное выбранному, на 9. Затем Гоша складывает результаты Артура и Беллы. Какое число должен назвать Гоша сначала, чтобы результат в конце получился наименьшим? И какой наименьший результат может получиться у Гоши?

(3) б) Пусть заданы положительные числа $a$ и $b$. Докажите, что для любого положительного числа $x$ выполняется неравенство $ax+\frac{b}{x}\ge 2\sqrt{ab}$, причем равенство достигается в точке $x=\sqrt{\frac{b}{a}}$.

а)

Пусть Гоша выбрал положительное число $x$. Артур умножает это число на 4 и получает результат $4x$. Белла умножает число, обратное выбранному, на 9, то есть получает $\frac{1}{x} \cdot 9 = \frac{9}{x}$. Затем Гоша складывает результаты Артура и Беллы. Итоговая сумма $S$ будет равна: $S(x) = 4x + \frac{9}{x}$

Нам необходимо найти наименьшее значение этой функции при $x > 0$. Для этого можно использовать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $u$ и $v$, которое гласит: $u+v \ge 2\sqrt{uv}$. Равенство достигается в том и только в том случае, когда $u=v$.

В нашем случае слагаемые $4x$ и $\frac{9}{x}$ положительны, так как $x > 0$. Применим к ним неравенство Коши: $S(x) = 4x + \frac{9}{x} \ge 2\sqrt{4x \cdot \frac{9}{x}} = 2\sqrt{36} = 2 \cdot 6 = 12$

Следовательно, наименьшее значение суммы равно 12. Это значение достигается, когда слагаемые равны друг другу: $4x = \frac{9}{x}$ $4x^2 = 9$ $x^2 = \frac{9}{4}$ Так как $x$ — положительное число, $x = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

Таким образом, чтобы получить наименьший результат, Гоша должен сначала назвать число $\frac{3}{2}$. Наименьший возможный результат, который может получиться у Гоши, равен 12.
Ответ: Гоша должен назвать число $\frac{3}{2}$, а наименьший результат равен 12.

б)

Нам необходимо доказать, что для любых положительных чисел $a$, $b$ и $x$ выполняется неравенство $ax + \frac{b}{x} \ge 2\sqrt{ab}$, и что равенство достигается в точке $x = \sqrt{\frac{b}{a}}$.

Рассмотрим левую часть неравенства, которая является суммой двух слагаемых: $ax$ и $\frac{b}{x}$. Поскольку по условию $a > 0$, $b > 0$ и $x > 0$, оба слагаемых также являются положительными.

Применим к этим двум положительным слагаемым неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши): $u+v \ge 2\sqrt{uv}$. $ax + \frac{b}{x} \ge 2\sqrt{ax \cdot \frac{b}{x}}$ Упрощая выражение под корнем, получаем: $ax + \frac{b}{x} \ge 2\sqrt{ab}$ Таким образом, первая часть утверждения доказана.

Теперь найдем условие, при котором достигается равенство. В неравенстве Коши равенство имеет место тогда и только тогда, когда слагаемые равны: $ax = \frac{b}{x}$ Умножим обе части на $x$ (так как $x>0$): $ax^2 = b$ Разделим обе части на $a$ (так как $a>0$): $x^2 = \frac{b}{a}$ Так как $x>0$, извлекаем квадратный корень: $x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ Это доказывает вторую часть утверждения.
Ответ: Что и требовалось доказать.