Номер 10, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (3) Если фермер ухаживает не более чем за 20 яблонями, то он может получить по 600 яблок с каждого дерева. Если он ухаживает за более чем 20 яблонями, то потери с каждого дерева увеличиваются. Фактически, с добавлением каждого дополнительного дерева потери с каждой яблони увеличиваются на 15 яблок. За каким количеством яблонь нужно ухаживать фермеру, чтобы получать максимальное количество яблок?

Для решения этой задачи необходимо найти количество яблонь, при котором общий урожай будет максимальным. Обозначим общее количество яблонь, за которыми ухаживает фермер, через $n$.

Рассмотрим два сценария, описанных в условии.

1. Если фермер ухаживает за 20 или менее яблонями ($n \le 20$), то урожай с каждого дерева составляет 600 яблок. Общий урожай $Y(n)$ в этом случае вычисляется по формуле $Y(n) = n \cdot 600$. Это линейная функция, которая возрастает с увеличением $n$. Максимальное значение в этом диапазоне достигается при $n=20$ и составляет $Y(20) = 20 \cdot 600 = 12000$ яблок.

2. Если фермер ухаживает более чем за 20 яблонями ($n > 20$), то урожайность каждого дерева снижается. Пусть $x$ — это количество яблонь, посаженных сверх 20. Тогда общее количество яблонь $n = 20 + x$.

С добавлением каждого дополнительного дерева ($x$) урожай с каждой яблони уменьшается на 15 яблок. Таким образом, общие потери с одного дерева составят $15x$ яблок. Урожайность одного дерева будет равна $600 - 15x$ яблок.

Общий урожай $Y$ при $n > 20$ равен произведению общего количества деревьев на урожайность одного дерева:

$Y(x) = (\text{количество деревьев}) \times (\text{урожайность одного дерева})$

$Y(x) = (20 + x) \cdot (600 - 15x)$

Это функция от $x$. Чтобы найти ее максимум, раскроем скобки и получим квадратичное уравнение:

$Y(x) = 20 \cdot 600 - 20 \cdot 15x + 600x - 15x^2$

$Y(x) = 12000 + 300x - 15x^2$

$Y(x) = -15x^2 + 300x + 12000$

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен). Максимальное значение функции находится в вершине параболы. Координату $x_v$ вершины можно найти по формуле $x_v = -b / (2a)$, где $a = -15$ и $b = 300$.

$x_v = -300 / (2 \cdot (-15)) = -300 / (-30) = 10$

Максимальный урожай достигается, когда количество яблонь сверх 20 равно 10. Таким образом, оптимальное общее количество яблонь $n$ равно:

$n = 20 + x_v = 20 + 10 = 30$

Найдем максимальный урожай при $n=30$:

Урожайность с одного дерева: $600 - 15 \cdot 10 = 600 - 150 = 450$ яблок.

Общий урожай: $30 \cdot 450 = 13500$ яблок.

Сравнивая максимальный урожай в обоих случаях ($12000$ яблок при $n=20$ и $13500$ яблок при $n=30$), мы видим, что наибольший урожай фермер получит, ухаживая за 30 яблонями.

Ответ: Чтобы получать максимальное количество яблок, фермеру нужно ухаживать за 30 яблонями.