Номер 16, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

16. (3) а) Дан прямоугольный треугольник с катетами 8 и 6. Прямоугольник вписан в треугольник таким образом, что одна его вершина лежит на гипотенузе, противоположная ей вершина совпадает с вершиной прямого угла треугольника, а две оставшиеся вершины лежат по одной на каждом катете. Определите наибольшую площадь, которую может иметь такой прямоугольник.

(3) б) Решите задачу пункта а) для произвольного прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$.

(2) в) Используя результаты пункта б), решить аналогичную задачу для треугольника с катетами $\sqrt{13-3}$ и $\sqrt{13+3}$.

а)

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a=8$ и $b=6$. Поместим его в систему координат так, чтобы вершина прямого угла совпадала с началом координат $(0,0)$, а катеты лежали на осях. Тогда вершины треугольника будут в точках $(0,0)$, $(8,0)$ и $(0,6)$.

Прямоугольник, вписанный в треугольник по условию, имеет одну вершину в точке $(0,0)$. Пусть противоположная ей вершина, лежащая на гипотенузе, имеет координаты $(x, y)$. Тогда стороны прямоугольника будут равны $x$ и $y$, а его площадь $S = xy$.

Вершина $(x, y)$ лежит на гипотенузе. Уравнение прямой, проходящей через точки $(8,0)$ и $(0,6)$ (гипотенуза), имеет вид: $\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 1$.

Выразим $y$ из этого уравнения: $\frac{y}{6} = 1 - \frac{x}{8} \Rightarrow y = 6(1 - \frac{x}{8}) = 6 - \frac{3}{4}x$.

Теперь площадь прямоугольника можно выразить как функцию от $x$: $S(x) = x \cdot y = x(6 - \frac{3}{4}x) = 6x - \frac{3}{4}x^2$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен. Максимальное значение функции достигается в ее вершине. Координата $x$ вершины параболы $f(x)=Ax^2+Bx+C$ находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$.

В нашем случае $A = -\frac{3}{4}$ и $B = 6$. $x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-\frac{3}{4})} = -\frac{6}{-\frac{3}{2}} = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$.

При $x=4$ вторая сторона прямоугольника равна $y = 6 - \frac{3}{4} \cdot 4 = 6 - 3 = 3$.

Таким образом, наибольшая площадь прямоугольника равна $S_{max} = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12

б)

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$. Аналогично пункту а), поместим его в систему координат с вершинами в точках $(0,0)$, $(a,0)$ и $(0,b)$.

Пусть стороны вписанного прямоугольника равны $x$ и $y$. Уравнение гипотенузы, проходящей через точки $(a,0)$ и $(0,b)$, имеет вид: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Выразим $y$ через $x$: $y = b(1 - \frac{x}{a})$.

Площадь прямоугольника $S$ как функция от $x$: $S(x) = xy = x \cdot b(1 - \frac{x}{a}) = bx - \frac{b}{a}x^2$.

Для нахождения максимума этой квадратичной функции найдем координату $x$ вершины параболы: $x_0 = -\frac{B}{2A} = -\frac{b}{2(-\frac{b}{a})} = \frac{a}{2}$.

Найдем соответствующее значение $y_0$: $y_0 = b(1 - \frac{x_0}{a}) = b(1 - \frac{a/2}{a}) = b(1 - \frac{1}{2}) = \frac{b}{2}$.

Следовательно, наибольшая площадь, которую может иметь такой прямоугольник, равна: $S_{max} = x_0 \cdot y_0 = \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{4}$.

Ответ: $\frac{ab}{4}$

в)

Используем результат, полученный в пункте б). Для треугольника с катетами $a$ и $b$ наибольшая площадь вписанного прямоугольника равна $S_{max} = \frac{ab}{4}$.

В данной задаче катеты равны $a = \sqrt{13}-3$ и $b = \sqrt{13}+3$.

Найдем их произведение $ab$: $ab = (\sqrt{13}-3)(\sqrt{13}+3)$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$: $ab = (\sqrt{13})^2 - 3^2 = 13 - 9 = 4$.

Теперь подставим это значение в формулу для максимальной площади: $S_{max} = \frac{ab}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: 1