Номер 15, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

15. (3) Мастерская шьет детские костюмы. Себестоимость каждого костюма составляет 20 у.е. Известно, что если костюмы продаются по цене $p$ у.е., то покупатели приобретают $1560-12p$ костюмов в месяц. Какое количество костюмов в месяц необходимо производить, чтобы прибыль мастерской оказалась максимальной?

Для решения задачи необходимо найти максимальное значение функции прибыли. Прибыль — это разница между общей выручкой и общими затратами.

Пусть $p$ — цена продажи одного костюма в условных единицах (у.е.). Себестоимость одного костюма составляет 20 у.е. Прибыль от продажи одного костюма равна $p - 20$.

Количество костюмов, которое покупатели приобретают в месяц по цене $p$, задается формулой $q(p) = 1560 - 12p$. Предполагаем, что мастерская производит ровно столько костюмов, сколько может продать, то есть количество произведенных костюмов равно $q$.

Общая прибыль за месяц, обозначим ее как $\Pi$, является функцией от цены $p$. Она вычисляется как произведение прибыли с одного костюма на количество проданных костюмов: $\Pi(p) = (p - 20) \cdot (1560 - 12p)$.

Раскроем скобки, чтобы получить явный вид квадратичной функции: $\Pi(p) = 1560p - 12p^2 - 20 \cdot 1560 + 20 \cdot 12p$ $\Pi(p) = 1560p - 12p^2 - 31200 + 240p$ $\Pi(p) = -12p^2 + 1800p - 31200$

Полученная функция прибыли $\Pi(p)$ является квадратичной параболой. Коэффициент при $p^2$ отрицателен ($a = -12 < 0$), следовательно, ветви параболы направлены вниз. Максимальное значение такая функция принимает в своей вершине.

Найдем цену $p_0$, при которой достигается максимум, используя формулу для координаты вершины параболы $p_0 = -\frac{b}{2a}$: $p_0 = -\frac{1800}{2 \cdot (-12)} = -\frac{1800}{-24} = 75$.

Итак, максимальная прибыль будет получена, если установить цену на костюм в размере 75 у.е.

В задаче требуется найти не цену, а количество костюмов, которое необходимо производить для получения максимальной прибыли. Для этого подставим найденную оптимальную цену $p = 75$ в формулу спроса: $q = 1560 - 12p = 1560 - 12 \cdot 75 = 1560 - 900 = 660$.

Таким образом, чтобы прибыль мастерской была максимальной, необходимо производить 660 костюмов в месяц.

Ответ: 660.