Номер 12, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (2) а) Сумма двух положительных чисел равна 30. Подберите эти числа так, чтобы произведение одного из них на квадрат другого было наибольшим.

(2) б) Сумма двух положительных чисел равна $p$. Подберите эти числа так, чтобы произведение одного из них на квадрат другого было наибольшим.

(2) в) Подставив $p=30$ в формулы, полученные в б), проверьте соответствие результатов а) и б). Используя формулы, полученные в б), выпишите ответ к задаче пункта б) при $p=3^{2014}$.

(2) а) Пусть искомые положительные числа – это $x$ и $y$. По условию задачи, их сумма равна 30, то есть $x + y = 30$. Нам нужно максимизировать произведение одного из них на квадрат другого. Без потери общности, будем максимизировать функцию $P = x \cdot y^2$.

Из условия $x + y = 30$ выразим $x = 30 - y$. Поскольку $x$ и $y$ – положительные числа, то $y \in (0, 30)$. Подставим выражение для $x$ в функцию $P$:

$P(y) = (30 - y)y^2 = 30y^2 - y^3$.

Чтобы найти наибольшее значение функции, найдем ее производную по $y$ и приравняем к нулю:

$P'(y) = (30y^2 - y^3)' = 60y - 3y^2$.

$60y - 3y^2 = 0$

$3y(20 - y) = 0$.

Так как $y > 0$, то единственным решением является $y = 20$. Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную:

$P''(y) = (60y - 3y^2)' = 60 - 6y$.

При $y=20$, $P''(20) = 60 - 6 \cdot 20 = 60 - 120 = -60$. Поскольку вторая производная отрицательна, $y=20$ является точкой максимума.

Теперь найдем $x$:

$x = 30 - y = 30 - 20 = 10$.

Таким образом, искомые числа – это 10 и 20.
Ответ: 10 и 20.

(2) б) Это обобщение предыдущей задачи. Пусть сумма двух положительных чисел $x$ и $y$ равна $p$: $x+y=p$. Нам нужно максимизировать произведение $P = x \cdot y^2$.

Выразим $x = p - y$. Учитывая, что $x>0$ и $y>0$, получаем $y \in (0, p)$. Подставим в функцию $P$:

$P(y) = (p - y)y^2 = py^2 - y^3$.

Найдем производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

$P'(y) = 2py - 3y^2$.

$y(2p - 3y) = 0$.

Поскольку $y > 0$, единственная критическая точка – это $y$, для которого $2p - 3y = 0$, то есть $y = \frac{2p}{3}$.

Вторая производная $P''(y) = 2p - 6y$ в этой точке равна $P''(\frac{2p}{3}) = 2p - 6(\frac{2p}{3}) = 2p - 4p = -2p$. Так как $p$ (сумма положительных чисел) положительно, $P'' < 0$, что подтверждает, что это точка максимума.

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = p - y = p - \frac{2p}{3} = \frac{p}{3}$.

Искомые числа – это $\frac{p}{3}$ и $\frac{2p}{3}$.
Ответ: $\frac{p}{3}$ и $\frac{2p}{3}$.

(2) в) Сначала проверим соответствие результатов для $p=30$. Используя формулы из пункта б), получаем:

Первое число: $\frac{p}{3} = \frac{30}{3} = 10$.

Второе число: $\frac{2p}{3} = \frac{2 \cdot 30}{3} = 20$.

Эти числа (10 и 20) совпадают с результатом, полученным в пункте а).

Теперь, используя формулы из пункта б), найдем искомые числа для $p=3^{2014}$.

Первое число: $\frac{p}{3} = \frac{3^{2014}}{3} = 3^{2014-1} = 3^{2013}$.

Второе число: $\frac{2p}{3} = \frac{2 \cdot 3^{2014}}{3} = 2 \cdot 3^{2014-1} = 2 \cdot 3^{2013}$.

Ответ: При подстановке $p=30$ в формулы из пункта б) получаются числа 10 и 20, что соответствует результату пункта а). Для $p=3^{2014}$ искомые числа равны $3^{2013}$ и $2 \cdot 3^{2013}$.