Номер 2, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 2

Из кирпича размером $20\times10\times5\text{ см}$ требуется сложить изгородь толщиной $10\text{ см}$ и высотой $0,5\text{ м}$, огораживающую прямоугольный участок. Каким образом надо строить изгородь, чтобы площадь участка оказалась максимальной, если количество кирпича ограничено?

Для решения этой задачи необходимо определить, как форма прямоугольного участка влияет на его площадь при фиксированном количестве строительного материала. Ограниченное количество кирпича означает, что общий объем, который можно построить, является постоянной величиной.

Пусть $V_{общий}$ — это общий объем всех имеющихся кирпичей. Этот объем постоянен. Изгородь имеет форму длинной стены с постоянной высотой $h$ и толщиной $t$. Объем изгороди можно выразить через ее периметр $P$, высоту $h$ и толщину $t$:$V_{изгороди} = P \times h \times t$.

Поскольку весь кирпич идет на изгородь ($V_{изгороди} = V_{общий}$), а высота и толщина заданы и постоянны ($h = 0,5 \text{ м} = 50 \text{ см}$, $t = 10 \text{ см}$), то периметр изгороди $P$ также должен быть постоянной величиной:$P = \frac{V_{общий}}{h \times t} = \frac{V_{общий}}{50 \times 10} = \frac{V_{общий}}{500} = \text{const}$.

Теперь задача сводится к классической геометрической задаче: найти прямоугольник с максимальной площадью при заданном периметре. Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$.Периметр: $P = 2(a + b)$.Площадь: $S = a \times b$.

Необходимо максимизировать $S$. Выразим одну из сторон через периметр $P$:$a + b = \frac{P}{2} \implies b = \frac{P}{2} - a$.Подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить функцию площади от одной переменной $a$:$S(a) = a \left(\frac{P}{2} - a\right) = \frac{P}{2}a - a^2$.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз. Максимальное значение такой функции достигается в ее вершине. Абсциссу вершины можно найти, взяв производную функции $S(a)$ по $a$ и приравняв ее к нулю:$S'(a) = \frac{d}{da}\left(\frac{P}{2}a - a^2\right) = \frac{P}{2} - 2a$.Приравняем производную к нулю для нахождения точки экстремума:$\frac{P}{2} - 2a = 0 \implies 2a = \frac{P}{2} \implies a = \frac{P}{4}$.

Теперь найдем длину второй стороны $b$:$b = \frac{P}{2} - a = \frac{P}{2} - \frac{P}{4} = \frac{P}{4}$.Таким образом, максимальная площадь достигается, когда $a = b$. Это означает, что прямоугольный участок должен иметь форму квадрата.

Ответ: Чтобы площадь огораживаемого участка оказалась максимальной, изгородь необходимо строить в форме квадрата.