Номер 3, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 3

На координатной плоскости рассматриваются всевозможные треугольники $ABC$, у каждого из которых $\angle ABC = 90^\circ$, вершина $A$ имеет координаты $(-4; 0)$. Вершина $B$ лежит на отрезке $[0;4]$ оси $Ox$, а вершина $C$ лежит на параболе $y = 4x - x^2$. Какие координаты должна иметь вершина $C$, чтобы площадь треугольника $ABC$ была наибольшей?

Обозначим координаты вершин треугольника в соответствии с условиями задачи. Вершина $A$ имеет фиксированные координаты $A(-4; 0)$. Вершина $B$ лежит на отрезке $[0; 4]$ оси $Ox$, следовательно, её координаты можно записать как $B(b; 0)$, где $0 \le b \le 4$. Вершина $C$ лежит на параболе $y = 4x - x^2$. Обозначим её координаты как $C(x_C; y_C)$.

В треугольнике $ABC$ угол $\angle ABC$ прямой, то есть равен $90^\circ$. Так как точки $A$ и $B$ лежат на оси абсцисс ($Ox$), сторона $AB$ является горизонтальным отрезком. Чтобы угол при вершине $B$ был прямым, сторона $BC$ должна быть перпендикулярна стороне $AB$, а значит, должна быть вертикальным отрезком. Это условие выполняется, если абсциссы точек $B$ и $C$ совпадают. Таким образом, $x_C = b$.

Поскольку вершина $C(x_C, y_C)$ принадлежит параболе $y = 4x - x^2$, её координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставив $x_C = b$, мы найдем ординату точки $C$: $y_C = 4b - b^2$. Итак, координаты вершин треугольника выражаются через один параметр $b$: $A(-4; 0)$, $B(b; 0)$, $C(b; 4b - b^2)$, причём $b \in [0; 4]$.

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ вычисляется как половина произведения длин его катетов $AB$ и $BC$. Найдем длины этих катетов. Длина катета $AB$ — это расстояние между точками $A(-4; 0)$ и $B(b; 0)$: $AB = |b - (-4)| = |b+4|$. Так как по условию $b \ge 0$, то $b+4$ всегда положительно, следовательно, $AB = b+4$. Длина катета $BC$ — это расстояние между точками $B(b; 0)$ и $C(b; 4b - b^2)$: $BC = |(4b - b^2) - 0| = |4b - b^2|$. На отрезке $[0; 4]$ функция $f(b) = 4b - b^2 = b(4-b)$ неотрицательна, поэтому $BC = 4b - b^2$.

Теперь можно записать площадь треугольника как функцию от переменной $b$: $S(b) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2}(b+4)(4b - b^2)$. Задача сводится к нахождению наибольшего значения функции $S(b)$ на отрезке $[0; 4]$. Для удобства дифференцирования раскроем скобки: $S(b) = \frac{1}{2}(4b^2 - b^3 + 16b - 4b^2) = \frac{1}{2}(16b - b^3) = 8b - \frac{1}{2}b^3$.

Для поиска точки максимума найдем производную функции $S(b)$ по $b$: $S'(b) = (8b - \frac{1}{2}b^3)' = 8 - \frac{1}{2} \cdot 3b^2 = 8 - \frac{3}{2}b^2$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $8 - \frac{3}{2}b^2 = 0$ $\frac{3}{2}b^2 = 8$ $3b^2 = 16$ $b^2 = \frac{16}{3}$ $b = \pm\sqrt{\frac{16}{3}} = \pm\frac{4}{\sqrt{3}} = \pm\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Из найденных значений нас интересует только то, которое принадлежит отрезку $[0; 4]$. Это $b = \frac{4\sqrt{3}}{3}$. Убедимся, что это значение находится в нужном интервале: $\sqrt{3} \approx 1.732$, поэтому $b \approx \frac{4 \cdot 1.732}{3} \approx 2.309$, что действительно лежит в отрезке $[0; 4]$. Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо сравнить её значения в критической точке и на концах отрезка. $S(0) = 8(0) - \frac{1}{2}(0)^3 = 0$. $S(4) = 8(4) - \frac{1}{2}(4)^3 = 32 - \frac{64}{2} = 32 - 32 = 0$. $S\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right) = 8\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^3 = \frac{32\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{64 \cdot 3\sqrt{3}}{27} = \frac{32\sqrt{3}}{3} - \frac{32\sqrt{3}}{9} = \frac{96\sqrt{3} - 32\sqrt{3}}{9} = \frac{64\sqrt{3}}{9}$. Поскольку $S\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right) > 0$, а на концах отрезка площадь равна нулю, то максимальное значение площади достигается при $b = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Наконец, найдем координаты вершины $C(x_C; y_C)$, соответствующие этому значению $b$. Абсцисса вершины $C$: $x_C = b = \frac{4\sqrt{3}}{3}$. Ордината вершины $C$: $y_C = 4b - b^2 = 4\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right) - \frac{16}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16(\sqrt{3}-1)}{3}$. Таким образом, искомые координаты вершины $C$ равны $\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}; \frac{16(\sqrt{3}-1)}{3}\right)$.

Ответ: Координаты вершины $C$ должны быть $\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}; \frac{16(\sqrt{3}-1)}{3}\right)$.