Номер 1, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. (2) Найдите положительное число, для которого разность между его кубом и самим числом принимает наименьшее значение.

(2) а) Представьте число 20 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма куба одного из них и квадрата другого была наименьшей.

б) Представьте данное положительное число $p$ в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма куба одного из них и квадрата другого была наименьшей.

(2)Пусть искомое положительное число — это $x$, где $x > 0$. Нам нужно найти наименьшее значение разности между его кубом и самим числом. Составим функцию этой разности: $f(x) = x^3 - x$.Для нахождения наименьшего значения функции найдем ее производную и приравняем к нулю, чтобы найти критические точки.$f'(x) = (x^3 - x)' = 3x^2 - 1$.Приравняем производную к нулю: $3x^2 - 1 = 0$.$3x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{3}$.Так как по условию число $x$ должно быть положительным, мы берем только положительный корень: $x = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.Чтобы убедиться, что это точка минимума, найдем вторую производную:$f''(x) = (3x^2 - 1)' = 6x$.Подставим значение $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ во вторую производную: $f''(\frac{\sqrt{3}}{3}) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.Так как $f''(x) > 0$, точка $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ является точкой минимума. Это единственная критическая точка в области $x > 0$, следовательно, в ней достигается наименьшее значение функции.Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

(2) а)Пусть число 20 представлено в виде суммы двух положительных слагаемых $x$ и $y$. То есть, $x + y = 20$, где $x > 0$ и $y > 0$.Из этого следует, что $y = 20 - x$. Так как $y > 0$, то $20 - x > 0$, откуда $x < 20$. Таким образом, $x$ находится в интервале $(0, 20)$.Нам нужно минимизировать сумму куба одного слагаемого и квадрата другого. Пусть это будет функция $S(x) = x^3 + y^2$. Подставим выражение для $y$:$S(x) = x^3 + (20 - x)^2$.Найдем производную функции $S(x)$ для поиска точек экстремума:$S'(x) = (x^3 + (20 - x)^2)' = 3x^2 + 2(20 - x) \cdot (-1) = 3x^2 - 40 + 2x = 3x^2 + 2x - 40$.Приравняем производную к нулю: $3x^2 + 2x - 40 = 0$.Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 4 + 480 = 484 = 22^2$.$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 22}{6}$.$x_1 = \frac{-2 + 22}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.$x_2 = \frac{-2 - 22}{6} = \frac{-24}{6} = -4$.Так как $x$ должен быть положительным, нам подходит только $x = \frac{10}{3}$. Это значение лежит в интервале $(0, 20)$.Проверим, является ли эта точка точкой минимума с помощью второй производной:$S''(x) = (3x^2 + 2x - 40)' = 6x + 2$.$S''(\frac{10}{3}) = 6 \cdot \frac{10}{3} + 2 = 20 + 2 = 22 > 0$. Значит, это точка минимума.Теперь найдем второе слагаемое $y$:$y = 20 - x = 20 - \frac{10}{3} = \frac{60 - 10}{3} = \frac{50}{3}$.Таким образом, искомые слагаемые — это $\frac{10}{3}$ и $\frac{50}{3}$.Ответ: Число 20 нужно представить в виде суммы $\frac{10}{3} + \frac{50}{3}$.

б)Пусть данное положительное число $p$ представлено в виде суммы двух положительных слагаемых $x$ и $y$. То есть, $x + y = p$, где $x > 0$ и $y > 0$.Из этого следует, что $y = p - x$, и так как $y > 0$, то $x < p$. Таким образом, $x \in (0, p)$.Мы хотим минимизировать сумму $S = x^3 + y^2$. Подставим выражение для $y$:$S(x) = x^3 + (p - x)^2$.Найдем производную $S(x)$:$S'(x) = (x^3 + (p - x)^2)' = 3x^2 + 2(p - x) \cdot (-1) = 3x^2 + 2x - 2p$.Приравняем производную к нулю: $3x^2 + 2x - 2p = 0$.Решим это квадратное уравнение относительно $x$:$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2p) = 4 + 24p$.$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 24p}}{6} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{1 + 6p}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 6p}}{3}$.Поскольку $x$ должно быть положительным, выбираем корень со знаком плюс:$x = \frac{-1 + \sqrt{1 + 6p}}{3}$. (Так как $p>0$, то $\sqrt{1+6p} > 1$, и $x>0$).Проверим, что $x < p$:$\frac{-1 + \sqrt{1 + 6p}}{3} < p \iff -1 + \sqrt{1 + 6p} < 3p \iff \sqrt{1 + 6p} < 3p + 1$.Так как обе части неравенства положительны при $p>0$, мы можем возвести их в квадрат:$1 + 6p < (3p + 1)^2 \iff 1 + 6p < 9p^2 + 6p + 1 \iff 0 < 9p^2$. Это неравенство верно для всех $p>0$.Вторая производная $S''(x) = (3x^2 + 2x - 2p)' = 6x + 2$. Для нашего положительного $x$, $S''(x) > 0$, что подтверждает, что найденная точка является точкой минимума.Итак, первое слагаемое $x = \frac{\sqrt{1 + 6p} - 1}{3}$.Найдем второе слагаемое $y$:$y = p - x = p - \frac{\sqrt{1 + 6p} - 1}{3} = \frac{3p - (\sqrt{1 + 6p} - 1)}{3} = \frac{3p + 1 - \sqrt{1 + 6p}}{3}$.Ответ: Два слагаемых: $\frac{\sqrt{1 + 6p} - 1}{3}$ и $\frac{3p + 1 - \sqrt{1 + 6p}}{3}$.