Номер 3, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3.

(3) а) Исследуйте функцию $y=3+2x^2-x^4$ и постройте ее график.

б) На той же координатной плоскости постройте график функции $y=0,5x+1$. Настолько точно, насколько позволяет ваш график, найдите корни уравнения $3+2x^2-x^4=0,5x+1$.

а) Исследуем функцию $y = 3 + 2x^2 - x^4$.

1. Область определения функции:
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность функции:
Найдем $y(-x)$:$y(-x) = 3 + 2(-x)^2 - (-x)^4 = 3 + 2x^2 - x^4 = y(x)$.Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

3. Точки пересечения с осями координат:
С осью OY:Положим $x=0$.$y(0) = 3 + 2(0)^2 - (0)^4 = 3$.Точка пересечения с осью OY: $(0; 3)$.
С осью OX:Положим $y=0$.$3 + 2x^2 - x^4 = 0$.Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.$-t^2 + 2t + 3 = 0$$t^2 - 2t - 3 = 0$По теореме Виета или через дискриминант находим корни:$t_1 = 3$, $t_2 = -1$.Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.Возвращаемся к замене:$x^2 = 3 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{3}$.$ (\sqrt{3} \approx 1.73) $.Точки пересечения с осью OX: $(-\sqrt{3}; 0)$ и $(\sqrt{3}; 0)$.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума:
Найдем первую производную функции:$y' = (3 + 2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3$.Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$4x - 4x^3 = 0$$4x(1 - x^2) = 0$$4x(1 - x)(1 + x) = 0$Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.Определим знаки производной на интервалах:

• При $x \in (-\infty; -1)$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-1; 0)$, $y' 0$, функция убывает.
• При $x \in (0; 1)$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (1; +\infty)$, $y' 0$, функция убывает.

• В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума. $y_{max} = y(-1) = 3 + 2(-1)^2 - (-1)^4 = 3 + 2 - 1 = 4$. Точка максимума: $(-1; 4)$.
• В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(0) = 3$. Точка минимума: $(0; 3)$.
• В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума. $y_{max} = y(1) = 3 + 2(1)^2 - (1)^4 = 3 + 2 - 1 = 4$. Точка максимума: $(1; 4)$.

5. Построение графика:
Используя полученные данные, построим график. Ключевые точки:

• Точки пересечения с осью OX: $(-\sqrt{3}, 0)$ и $(\sqrt{3}, 0)$ (примерно $(-1.73, 0)$ и $(1.73, 0)$).
• Точка пересечения с осью OY (и локальный минимум): $(0, 3)$.
• Точки локального максимума: $(-1, 4)$ и $(1, 4)$.

б) Построим на той же координатной плоскости график функции $y = 0.5x + 1$. Это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек.
При $x = 0$, $y = 0.5(0) + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
При $x = 2$, $y = 0.5(2) + 1 = 2$. Точка $(2, 2)$.
Совместим графики функций $y = 3 + 2x^2 - x^4$ и $y = 0.5x + 1$.
Корни уравнения $3 + 2x^2 - x^4 = 0.5x + 1$ являются абсциссами (координатами x) точек пересечения этих двух графиков.
Построив оба графика в одной системе координат, мы видим, что они пересекаются в двух точках. Определим их абсциссы приблизительно по графику.
Одна точка пересечения находится в левой полуплоскости, ее абсцисса примерно равна $x \approx -1.8$.
Вторая точка пересечения находится в правой полуплоскости, ее абсцисса примерно равна $x \approx 1.6$.


Ответ: Корни уравнения: $x_1 \approx -1.8$, $x_2 \approx 1.6$.