Номер 5, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (3) а) Исследуйте функцию $y=x+\frac{4}{x}$ и постройте ее график.

б) На той же координатной плоскости постройте окружность $x^2+y^2=36$.

Определите количество решений системы уравнений $\begin{cases} x^2+y^2=36, \\ xy=x^2+4. \end{cases}$

а) Исследуем функцию $y = x + \frac{4}{x}$ и построим ее график.

1. Область определения. Функция определена при всех $x$, для которых знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность. Проверим функцию на четность: $y(-x) = (-x) + \frac{4}{-x} = -x - \frac{4}{x} = -(x + \frac{4}{x}) = -y(x)$. Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Асимптоты.
- Вертикальная асимптота: При $x \to 0$ значение функции стремится к бесконечности ($\lim_{x \to 0} (x + \frac{4}{x}) = \infty$), следовательно, прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой.
- Наклонная асимптота: Функцию можно представить в виде $y=x+\frac{4}{x}$. Так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{x} = 0$, то прямая $y=x$ является наклонной асимптотой графика функции.

4. Экстремумы и промежутки монотонности. Найдем производную функции: $y' = (x + \frac{4}{x})' = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2-4}{x^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y'=0 \Rightarrow \frac{x^2-4}{x^2}=0 \Rightarrow x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2$.
- На интервалах $(-\infty; -2)$ и $(2; +\infty)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
- На интервалах $(-2; 0)$ и $(0; 2)$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
- В точке $x=-2$ происходит смена знака производной с плюса на минус, это точка локального максимума. Значение функции: $y(-2) = -2 + \frac{4}{-2} = -4$. Точка максимума: $(-2, -4)$.
- В точке $x=2$ происходит смена знака производной с минуса на плюс, это точка локального минимума. Значение функции: $y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4$. Точка минимума: $(2, 4)$.

5. Точки пересечения с осями координат.
- С осью $Oy$ пересечения нет, так как $x \neq 0$.
- С осью $Ox$ ($y=0$): $x+\frac{4}{x}=0 \Rightarrow \frac{x^2+4}{x}=0 \Rightarrow x^2+4=0$. Данное уравнение не имеет действительных корней. Пересечений с осями нет.

6. Построение графика. На основе проведенного исследования строим график. Он состоит из двух ветвей, расположенных в первой и третьей координатных четвертях. Ветви симметричны относительно начала координат, приближаются к асимптотам $x=0$ и $y=x$, и имеют точки экстремума $(-2, -4)$ и $(2, 4)$.

Ответ: Функция исследована. Ее график представляет собой две ветви, симметричные относительно начала координат, с вертикальной асимптотой $x=0$, наклонной асимптотой $y=x$, точкой локального максимума $(-2, -4)$ и точкой локального минимума $(2, 4)$.

б) Построим на той же координатной плоскости окружность, заданную уравнением $x^2 + y^2 = 36$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{36} = 6$.

Далее определим количество решений системы уравнений:$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 36 \\xy = x^2 + 4\end{cases}$$

Заметим, что во втором уравнении $x \neq 0$, так как иначе $0=4$, что неверно. Выразим $y$ из второго уравнения: $y = \frac{x^2+4}{x} = x + \frac{4}{x}$.

Это та же функция, которую мы исследовали в пункте а). Таким образом, задача сводится к нахождению количества точек пересечения графика функции $y = x + \frac{4}{x}$ и окружности $x^2 + y^2 = 36$.

Проанализируем взаимное расположение графиков:

1. Точка минимума функции $(2, 4)$ лежит внутри окружности, так как сумма квадратов ее координат $2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$ меньше квадрата радиуса ($20 < 36$).

2. Точка максимума функции $(-2, -4)$ также лежит внутри окружности, так как $(-2)^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20 < 36$.

3. Ветвь графика в первой четверти ($x>0$) начинается от вертикальной асимптоты $x=0$ на $+\infty$ (т.е. "сверху", вне окружности), спускается до точки минимума $(2, 4)$ (внутри окружности), а затем снова возрастает, приближаясь к асимптоте $y=x$ (которая пересекает окружность и уходит за ее пределы). Следовательно, эта ветвь пересекает окружность в двух точках.

4. В силу симметрии, ветвь графика в третьей четверти также пересекает окружность в двух точках.

Таким образом, графики пересекаются в четырех точках, что означает наличие у системы четырех решений.

Проверим это алгебраически, подставив $y=x+\frac{4}{x}$ в уравнение окружности:

$x^2 + \left(x + \frac{4}{x}\right)^2 = 36$

$x^2 + x^2 + 8 + \frac{16}{x^2} = 36$

$2x^2 - 28 + \frac{16}{x^2} = 0$

Умножим обе части на $x^2$ (так как $x\neq0$):

$2x^4 - 28x^2 + 16 = 0$

$x^4 - 14x^2 + 8 = 0$

Сделаем замену $t = x^2$ ($t>0$). Получим квадратное уравнение $t^2 - 14t + 8 = 0$.

Его корни: $t_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 8}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 32}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{164}}{2} = 7 \pm \sqrt{41}$.

Оба значения $t$ положительны ($7+\sqrt{41} > 0$ и $7-\sqrt{41} > 0$, так как $7 = \sqrt{49} > \sqrt{41}$).

Значит, существуют два положительных значения для $x^2$. Каждое из них ($x^2 = 7+\sqrt{41}$ и $x^2 = 7-\sqrt{41}$) дает два различных значения для $x$. Всего получаем четыре различных действительных корня для $x$, и для каждого из них найдется соответствующее значение $y$. Следовательно, система имеет четыре решения.

Ответ: 4.