Страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

12. (1)

a) $2\sin\frac{2x}{3} + 3\sqrt{2} = 0;$

б) $\sin\frac{x}{2} = \sqrt{17} - 3;$

в) $\sin 2x - \sqrt{15} = -3;$

г) $8\sin\left(x + \frac{\pi}{13}\right) = -2\pi.$

а) $2\sin\frac{2x}{3}+3\sqrt{2}=0$

Перенесем $3\sqrt{2}$ в правую часть и разделим обе части на 2, чтобы выразить синус:

$2\sin\frac{2x}{3} = -3\sqrt{2}$

$\sin\frac{2x}{3} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Область значений функции синус – это отрезок $[-1, 1]$. Оценим значение в правой части уравнения. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $-\frac{3\sqrt{2}}{2} \approx -\frac{3 \cdot 1.414}{2} = -2.121$.

Так как $-2.121 < -1$, значение $-\frac{3\sqrt{2}}{2}$ не входит в область значений синуса. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: Корней нет.

б) $\sin\frac{x}{2}=\sqrt{17}-3$

Область значений функции синус – это отрезок $[-1, 1]$. Оценим значение выражения в правой части уравнения.

Мы знаем, что $16 < 17 < 25$, следовательно $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$, что равносильно $4 < \sqrt{17} < 5$.

Вычтем 3 из всех частей двойного неравенства: $4 - 3 < \sqrt{17} - 3 < 5 - 3$, откуда получаем $1 < \sqrt{17} - 3 < 2$.

Так как $\sqrt{17} - 3 > 1$, это значение не входит в область значений синуса. Следовательно, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: Корней нет.

в) $\sin 2x-\sqrt{15}=-3$

Выразим синус, перенеся $\sqrt{15}$ в правую часть:

$\sin 2x = \sqrt{15}-3$

Оценим значение выражения в правой части. Мы знаем, что $9 < 15 < 16$, следовательно $\sqrt{9} < \sqrt{15} < \sqrt{16}$, что равносильно $3 < \sqrt{15} < 4$.

Вычтем 3 из всех частей двойного неравенства: $3 - 3 < \sqrt{15} - 3 < 4 - 3$, откуда получаем $0 < \sqrt{15} - 3 < 1$.

Значение $\sqrt{15} - 3$ находится в интервале $(0, 1)$, который входит в область значений синуса $[-1, 1]$. Следовательно, уравнение имеет решения.

Общее решение уравнения $\sin t = a$, где $|a| \le 1$, имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 2x$ и $a = \sqrt{15}-3$.

$2x = (-1)^k \arcsin(\sqrt{15}-3) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{(-1)^k}{2} \arcsin(\sqrt{15}-3) + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{(-1)^k}{2}\arcsin(\sqrt{15}-3) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

г) $8\sin\left(x+\frac{\pi}{13}\right)=-2\pi$

Разделим обе части уравнения на 8, чтобы выразить синус:

$\sin\left(x+\frac{\pi}{13}\right) = -\frac{2\pi}{8} = -\frac{\pi}{4}$

Оценим значение выражения в правой части. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем:

$-\frac{\pi}{4} \approx -\frac{3.14159}{4} \approx -0.7854$

Так как $-1 \le -0.7854 \le 1$, значение $-\frac{\pi}{4}$ входит в область значений синуса, и уравнение имеет решения.

Общее решение уравнения $\sin t = a$, где $|a| \le 1$, имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = x+\frac{\pi}{13}$ и $a = -\frac{\pi}{4}$.

$x + \frac{\pi}{13} = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Используем свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$:

$x + \frac{\pi}{13} = (-1)^k \left(-\arcsin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) + \pi k = (-1)^{k+1}\arcsin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{13}$ в правую часть:

$x = -\frac{\pi}{13} + (-1)^{k+1}\arcsin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{13} + (-1)^{k+1}\arcsin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

13. (2) Решите уравнения, применив формулы приведения:

а) $2\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sqrt{3}=0$;

б) $2\cos\left(\frac{3\pi}{2}-2x\right)=1$;

в) $\sin(7\pi+2x)=-1$;

г) $18\cos\left(2x-\frac{7\pi}{2}\right)=\sqrt{243}$.

а) $2\cos(\frac{\pi}{2} + x) + \sqrt{3} = 0$

Применим формулу приведения для косинуса: $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x)$. Угол $(\frac{\pi}{2} + x)$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен, и так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция меняется на синус.

Подставим это в исходное уравнение:

$2(-\sin(x)) + \sqrt{3} = 0$

$-2\sin(x) = -\sqrt{3}$

Разделим обе части на -2:

$\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид $x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos(\frac{3\pi}{2} - 2x) = 1$

Применим формулу приведения: $\cos(\frac{3\pi}{2} - 2x) = -\sin(2x)$. Угол $(\frac{3\pi}{2} - 2x)$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, и так как в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на синус.

Подставим в уравнение:

$2(-\sin(2x)) = 1$

$\sin(2x) = -\frac{1}{2}$

Решение этого уравнения: $2x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:

$2x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k$

$2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$

Теперь выразим $x$, разделив обе части на 2:

$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin(7\pi + 2x) = -1$

Применим формулу приведения. Период синуса равен $2\pi$, поэтому можно отбросить $6\pi$: $\sin(7\pi + 2x) = \sin(6\pi + \pi + 2x) = \sin(\pi + 2x)$.

Теперь применим формулу $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$.

$\sin(\pi + 2x) = -\sin(2x)$.

Уравнение принимает вид:

$-\sin(2x) = -1$

$\sin(2x) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решение:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $18\cos(2x - \frac{7\pi}{2}) = \sqrt{243}$

Сначала упростим правую часть: $\sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = 9\sqrt{3}$.

$18\cos(2x - \frac{7\pi}{2}) = 9\sqrt{3}$

Разделим обе части на 18:

$\cos(2x - \frac{7\pi}{2}) = \frac{9\sqrt{3}}{18} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Так как косинус — чётная функция, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, то $\cos(2x - \frac{7\pi}{2}) = \cos(\frac{7\pi}{2} - 2x)$.

Применим формулу приведения к $\cos(\frac{7\pi}{2} - 2x)$. Так как $\frac{7\pi}{2} = 4\pi - \frac{\pi}{2}$, то угол находится в четвёртой четверти, где косинус положителен. Наличие $\frac{7\pi}{2}$ (нечетное число раз по $\frac{\pi}{2}$) меняет функцию на синус.

$\cos(\frac{7\pi}{2} - 2x) = \sin(2x)$.

Уравнение принимает вид:

$\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решение этого уравнения:

$2x = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$

Выразим $x$:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

14. (2) Решите уравнения, используя замену переменной $\sin x = p$:

а) $\sin^2 x - 5\sin x + 4 = 0$;

б) $\sin^2 x + 5\sin x + 6 = 0$;

в) $\sin^2 x + 5\sin x = 0$.

а) $sin^2 x - 5\sin x + 4 = 0$

Введем замену переменной, как предложено в условии: пусть $\sin x = p$.

Поскольку область значений функции синус $[-1; 1]$, то для переменной $p$ должно выполняться условие $|p| \le 1$, то есть $-1 \le p \le 1$.

Подставим $p$ в исходное уравнение и получим квадратное уравнение относительно $p$:

$p^2 - 5p + 4 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения:

$p_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4$

$p_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $-1 \le p \le 1$.

Корень $p_1 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > 1$. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $p_2 = 1$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $p_2 = 1$:

$\sin x = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решением которого является серия корней: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $sin^2 x + 5\sin x + 6 = 0$

Выполним замену переменной $\sin x = p$, при этом должно выполняться условие $-1 \le p \le 1$.

Получим следующее квадратное уравнение:

$p^2 + 5p + 6 = 0$

Решим его. По теореме Виета, сумма корней $p_1 + p_2 = -5$, а их произведение $p_1 \cdot p_2 = 6$. Подбором находим корни: $p_1 = -2$ и $p_2 = -3$.

Либо через дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

$p_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$p_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Проверим найденные корни на соответствие условию $-1 \le p \le 1$.

Корень $p_1 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < -1$.

Корень $p_2 = -3$ также не удовлетворяет условию, так как $-3 < -1$.

Поскольку ни один из корней квадратного уравнения не попадает в допустимый диапазон значений для синуса, исходное тригонометрическое уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

в) $sin^2 x + 5\sin x = 0$

Сделаем замену $\sin x = p$, где $-1 \le p \le 1$.

Уравнение примет вид неполного квадратного уравнения:

$p^2 + 5p = 0$

Решим его, вынеся общий множитель $p$ за скобки:

$p(p + 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $p$:

$p_1 = 0$

$p + 5 = 0 \implies p_2 = -5$

Проверим полученные корни на соответствие условию $-1 \le p \le 1$.

Корень $p_1 = 0$ удовлетворяет условию, так как $-1 \le 0 \le 1$.

Корень $p_2 = -5$ не удовлетворяет условию, так как $-5 < -1$.

Таким образом, нам подходит только один корень. Выполним обратную замену для $p_1 = 0$:

$\sin x = 0$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решение: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

15. (2) Решите:

$$\begin{cases} \frac{5}{x+2y} + \frac{8}{y} = 5, \\ \frac{10}{x+2y} - \frac{2}{y} = 1. \end{cases}$$

Данная система уравнений решается методом введения новых переменных.$$ \begin{cases} \frac{5}{x+2y} + \frac{8}{y} = 5 \\ \frac{10}{x+2y} - \frac{2}{y} = 1 \end{cases} $$Область допустимых значений (ОДЗ) для этой системы определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x+2y \neq 0$ и $y \neq 0$.

Введем новые переменные: пусть $a = \frac{1}{x+2y}$ и $b = \frac{1}{y}$.После замены система примет вид:$$ \begin{cases} 5a + 8b = 5 \\ 10a - 2b = 1 \end{cases} $$

Мы получили систему линейных уравнений относительно $a$ и $b$. Решим ее методом алгебраического сложения. Для этого умножим второе уравнение на 4, чтобы коэффициенты при переменной $b$ стали противоположными по знаку:$4 \cdot (10a - 2b) = 4 \cdot 1$$40a - 8b = 4$

Теперь сложим первое уравнение исходной линейной системы и измененное второе уравнение:$$ \begin{cases} 5a + 8b = 5 \\ + \\ 40a - 8b = 4 \end{cases} $$$(5a + 40a) + (8b - 8b) = 5 + 4$$45a = 9$$a = \frac{9}{45} = \frac{1}{5}$

Подставим найденное значение $a = \frac{1}{5}$ в любое из уравнений системы для $a$ и $b$, например, во второе: $10a - 2b = 1$.$10 \cdot \frac{1}{5} - 2b = 1$$2 - 2b = 1$$-2b = 1 - 2$$-2b = -1$$b = \frac{1}{2}$

Теперь, когда известны значения $a$ и $b$, выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:$$ \begin{cases} a = \frac{1}{x+2y} = \frac{1}{5} \\ b = \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \end{cases} $$

Из второго уравнения системы $ \frac{1}{y} = \frac{1}{2} $ следует, что $y=2$.Подставим это значение в первое уравнение $ \frac{1}{x+2y} = \frac{1}{5} $:$x+2y = 5$$x + 2 \cdot 2 = 5$$x + 4 = 5$$x = 1$

Получили решение $(1; 2)$. Проверим, удовлетворяет ли оно ОДЗ:$y=2 \neq 0$.$x+2y = 1+2(2) = 5 \neq 0$.Оба условия выполняются, следовательно, найденное решение является верным.

Ответ: $(1; 2)$.

16. (2) В двух мешках вместе находятся 140 кг муки. Если из первого мешка переложить во второй 12,5% муки, то в обоих мешках будет одинаковое количество муки. Сколько муки в каждом из мешков?

16. (2)

Обозначим начальное количество муки в первом мешке за $x$ кг, а во втором — за $y$ кг.

Согласно условию, общее количество муки в двух мешках составляет 140 кг. На основе этого составим первое уравнение:
$x + y = 140$

Далее, из первого мешка переложили во второй 12,5% муки. Выразим 12,5% в виде десятичной дроби: $12,5\% = 0,125$. Количество муки, которое переложили, составляет $0,125x$ кг.

После перекладывания в первом мешке осталось: $x - 0,125x = 0,875x$ кг муки.
А во втором мешке стало: $y + 0,125x$ кг муки.

По условию, после этого количество муки в мешках стало одинаковым. Составим второе уравнение:
$0,875x = y + 0,125x$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$x + y = 140$
$0,875x = y + 0,125x$

Решим эту систему. Сначала упростим второе уравнение, выразив $y$ через $x$:
$0,875x - 0,125x = y$
$0,75x = y$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение:
$x + 0,75x = 140$
$1,75x = 140$

Теперь найдем $x$. Для удобства вычислений представим 1,75 в виде обыкновенной дроби: $1,75 = \frac{175}{100} = \frac{7}{4}$.
$\frac{7}{4}x = 140$
$x = 140 \cdot \frac{4}{7} = \frac{140}{7} \cdot 4 = 20 \cdot 4 = 80$
Следовательно, в первом мешке изначально было 80 кг муки.

Теперь найдем количество муки во втором мешке, подставив значение $x$ в первое уравнение:
$y = 140 - x = 140 - 80 = 60$
Следовательно, во втором мешке изначально было 60 кг муки.

Проверка:
Количество переложенной муки: $12,5\%$ от 80 кг = $80 \cdot 0,125 = 10$ кг.
В первом мешке осталось: $80 - 10 = 70$ кг.
Во втором мешке стало: $60 + 10 = 70$ кг.
$70 = 70$. Условие выполняется.

Ответ: в первом мешке было 80 кг муки, во втором — 60 кг.