Страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

5. (1) а) $4\cos\frac{2x}{3} - 3\sqrt{2} = 0;$

б) $\cos\frac{x}{2} = 5 - \sqrt{27};$

в) $\cos2x - \sqrt{15} = \frac{\pi}{3};$

г) $5\cos\left(x + \frac{\pi}{8}\right) = -\pi.$

а) $4\cos\frac{2x}{3}-3\sqrt{2}=0$
Сначала выразим $\cos\frac{2x}{3}$ из уравнения. Перенесем $-3\sqrt{2}$ в правую часть и разделим обе части на 4:
$4\cos\frac{2x}{3} = 3\sqrt{2}$
$\cos\frac{2x}{3} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$
Оценим значение выражения в правой части. Возведем его в квадрат: $(\frac{3\sqrt{2}}{4})^2 = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16}$.
Так как $\frac{18}{16} > 1$, то и $\frac{3\sqrt{2}}{4} > 1$.
Область значений функции косинус — это отрезок $[-1; 1]$. Поскольку значение $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ не входит в этот отрезок, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.

б) $\cos\frac{x}{2} = 5-\sqrt{27}$
Упростим выражение в правой части: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.
Уравнение принимает вид: $\cos\frac{x}{2} = 5-3\sqrt{3}$.
Оценим значение $5-3\sqrt{3}$. Приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.
$5 - 3 \cdot 1.732 = 5 - 5.196 = -0.196$.
Так как $-1 \le -0.196 \le 1$, значение $5-3\sqrt{3}$ входит в область значений функции косинус, следовательно, уравнение имеет решения.
Общее решение уравнения $\cos t = a$ дается формулой $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $t = \frac{x}{2}$ и $a = 5-3\sqrt{3}$.
$\frac{x}{2} = \pm \arccos(5-3\sqrt{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на 2:
$x = \pm 2\arccos(5-3\sqrt{3}) + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm 2\arccos(5-3\sqrt{3}) + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\cos 2x - \sqrt{15} = \frac{\pi}{3}$
Выразим $\cos 2x$ из уравнения:
$\cos 2x = \frac{\pi}{3} + \sqrt{15}$
Оценим значение выражения в правой части. Используем приближенные значения: $\pi \approx 3.14$ и $\sqrt{15} \approx 3.87$ (поскольку $\sqrt{9}=3$ и $\sqrt{16}=4$).
$\frac{\pi}{3} + \sqrt{15} \approx \frac{3.14}{3} + 3.87 \approx 1.05 + 3.87 = 4.92$.
Это значение значительно больше 1.
Область значений функции косинус — это отрезок $[-1; 1]$. Так как $\frac{\pi}{3} + \sqrt{15} > 1$, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.

г) $5\cos(x+\frac{\pi}{8}) = -\pi$
Выразим косинус из уравнения, разделив обе части на 5:
$\cos(x+\frac{\pi}{8}) = -\frac{\pi}{5}$
Оценим значение правой части. Используя $\pi \approx 3.14$:
$-\frac{\pi}{5} \approx -\frac{3.14}{5} = -0.628$.
Значение $-0.628$ находится в пределах от -1 до 1, поэтому уравнение имеет решения.
Применим общую формулу для решения уравнения $\cos t = a$: $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $t = x+\frac{\pi}{8}$ и $a = -\frac{\pi}{5}$.
$x+\frac{\pi}{8} = \pm \arccos(-\frac{\pi}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Чтобы найти $x$, вычтем $\frac{\pi}{8}$ из обеих частей:
$x = -\frac{\pi}{8} \pm \arccos(-\frac{\pi}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} \pm \arccos(-\frac{\pi}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6. (2) Решите уравнения, применив формулы приведения:

а) $2\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sqrt{3}=0$;

б) $2\sin\left(\frac{3\pi}{2}-2x\right)=1$;

в) $\cos(7\pi+2x)=-1$;

г) $-28\sin\left(2x-\frac{7\pi}{2}\right)=\sqrt{392}$.

$2\sin(\frac{\pi}{2}+x) + \sqrt{3} = 0$

Применим формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha) = \cos(\alpha)$. Угол $(\frac{\pi}{2}+x)$ находится во второй координатной четверти, где синус положителен, поэтому функция синус меняется на косинус без изменения знака. Уравнение принимает вид:

$2\cos(x) + \sqrt{3} = 0$

Выразим $\cos(x)$:

$2\cos(x) = -\sqrt{3}$

$\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение для данного тригонометрического уравнения:

$x = \pm\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm(\pi - \frac{\pi}{6}) + 2\pi k$

$x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$2\sin(\frac{3\pi}{2}-2x) = 1$

Применим формулу приведения $\sin(\frac{3\pi}{2}-\alpha) = -\cos(\alpha)$. Угол $(\frac{3\pi}{2}-2x)$ находится в третьей координатной четверти, где синус отрицателен, поэтому функция синус меняется на косинус с изменением знака. Уравнение принимает вид:

$2(-\cos(2x)) = 1$

$-2\cos(2x) = 1$

Выразим $\cos(2x)$:

$\cos(2x) = -\frac{1}{2}$

Находим общее решение для аргумента $2x$:

$2x = \pm\arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm(\pi - \frac{\pi}{3}) + 2\pi k$

$2x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$\cos(7\pi+2x) = -1$

Используем периодичность косинуса, $7\pi = 6\pi + \pi$. Так как $6\pi$ - это три полных периода ($3 \cdot 2\pi$), его можно отбросить:

$\cos(\pi+2x) = -1$

Применим формулу приведения $\cos(\pi+\alpha) = -\cos(\alpha)$. Угол $(\pi+2x)$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, функция не меняется. Получаем:

$-\cos(2x) = -1$

$\cos(2x) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$2x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2:

$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$-28\sin(2x-\frac{7\pi}{2}) = \sqrt{392}$

Воспользуемся свойством нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$:

$-28\sin(-(\frac{7\pi}{2}-2x)) = \sqrt{392}$

$-28(-\sin(\frac{7\pi}{2}-2x)) = \sqrt{392}$

$28\sin(\frac{7\pi}{2}-2x) = \sqrt{392}$

Упростим правую часть: $\sqrt{392} = \sqrt{196 \cdot 2} = 14\sqrt{2}$.

Применим формулу приведения $\sin(\frac{7\pi}{2}-\alpha) = \sin(3\pi+\frac{\pi}{2}-\alpha) = -\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = -\cos(\alpha)$. Или можно заметить, что $\frac{7\pi}{2}$ соответствует точке на единичной окружности $\frac{3\pi}{2}$. Тогда $\sin(\frac{7\pi}{2}-\alpha) = \sin(\frac{3\pi}{2}-\alpha) = -\cos(\alpha)$.

Уравнение принимает вид:

$28(-\cos(2x)) = 14\sqrt{2}$

Выразим $\cos(2x)$:

$\cos(2x) = -\frac{14\sqrt{2}}{28} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Находим общее решение для $2x$:

$2x = \pm\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm(\pi - \frac{\pi}{4}) + 2\pi k$

$2x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

Разделим обе части на 2:

$x = \pm\frac{3\pi}{8} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{3\pi}{8} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

7. (2) Решите уравнения, используя замену переменной $\cos x = p$:

a) $\cos^2 x - 3\cos x + 2 = 0$;

б) $\cos^2 x - 5\cos x + 26 = 0$;

в) $5\cos^2 x - \cos x = 0$.

a) Дано уравнение $cos^2 x - 3cos x + 2 = 0$.

Следуя условию, введем замену переменной $p = \cos x$. Важно помнить, что область значений функции косинус ограничена отрезком $[-1, 1]$, поэтому для переменной $p$ должно выполняться условие $|p| \le 1$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $p$:

$p^2 - 3p + 2 = 0$.

Решим это уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Легко подобрать корни:

$p_1 = 1$

$p_2 = 2$

Теперь необходимо выполнить обратную замену и проверить, удовлетворяют ли найденные значения $p$ условию $|p| \le 1$.

1. Для $p_1 = 1$:
$\cos x = 1$
Это значение входит в область значений косинуса. Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:
$x = 2\pi k$, где $k \in Z$.

2. Для $p_2 = 2$:
$\cos x = 2$
Это значение не входит в область значений косинуса, так как $2 > 1$. Следовательно, это уравнение не имеет решений.

Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in Z$.

б) Дано уравнение $cos^2 x - 5cos x + 26 = 0$.

Введем замену переменной $p = \cos x$, где $|p| \le 1$.

Получим квадратное уравнение:

$p^2 - 5p + 26 = 0$.

Для решения найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 26 = 25 - 104 = -79$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней для переменной $p$.

Следовательно, исходное тригонометрическое уравнение также не имеет решений.

Ответ: решений нет.

в) Дано уравнение $5cos^2 x - cos x = 0$.

Введем замену переменной $p = \cos x$, где $|p| \le 1$.

Уравнение принимает вид неполного квадратного уравнения:

$5p^2 - p = 0$.

Вынесем общий множитель $p$ за скобки:

$p(5p - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

$p_1 = 0$

$5p_2 - 1 = 0 \implies 5p_2 = 1 \implies p_2 = \frac{1}{5}$

Оба найденных значения для $p$ удовлетворяют условию $|p| \le 1$. Выполним обратную замену.

1. Для $p_1 = 0$:
$\cos x = 0$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.

2. Для $p_2 = \frac{1}{5}$:
$\cos x = \frac{1}{5}$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Объединяя обе серии корней, получаем общее решение.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$; $x = \pm \arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2\pi n, n \in Z$.

Решите уравнение (8–12):

8. (1) а) $\cos x = -1$;

б) $\cos 2x = 0$;

В) $\cos \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = -1$;

Г) $\cos \left(\frac{\pi}{4} - 3x\right) = -1.

а) Дано уравнение $cos x = -1$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для данного случая определяется по формуле:

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

Это и есть окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $cos 2x = 0$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение для уравнения $cos(t) = 0$ имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 2x$. Подставим это в формулу:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\pi/2}{2} + \frac{\pi n}{2}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right) = -1$.

Это уравнение является частным случаем $cos(t) = -1$, решение которого $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Пусть $t = 2x - \frac{\pi}{3}$. Тогда:

$2x - \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi n$

Выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:

$2x = \pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = \frac{3\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$

Теперь разделим обе части на 2:

$x = \frac{4\pi/3}{2} + \frac{2\pi n}{2}$

$x = \frac{4\pi}{6} + \pi n$

$x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right) = -1$.

Косинус — четная функция, то есть $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$. Используем это свойство, чтобы изменить знак аргумента:

$cos\left(-(\frac{\pi}{4}-3x)\right) = cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right) = -1$

Теперь решаем уравнение $cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right) = -1$. Это частный случай, где аргумент косинуса равен $\pi + 2\pi n$:

$3x - \frac{\pi}{4} = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$. Перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:

$3x = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$3x = \frac{4\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$3x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{5\pi/4}{3} + \frac{2\pi n}{3}$

$x = \frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$

Ответ: $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

9. (1)

a) $\cos \pi x = -\frac{1}{2}$;

б) $\cos (-2x) = -\frac{1}{2}$;

в) $2\cos \left(3x - \frac{\pi}{6}\right) = 1$;

г) $\cos \left(\frac{\pi}{4} - 3x\right) = -1$.

а) Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos(t) = a$. Общее решение для такого уравнения записывается по формуле $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число). В данном уравнении аргумент $t = \pi x$, а значение $a = \frac{1}{2}$. Находим арккосинус: $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$. Теперь подставляем все значения в общую формулу решения: $\pi x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$. Чтобы найти $x$, необходимо разделить обе части уравнения на $\pi$: $x = \frac{\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k}{\pi}$. В результате получаем: $x = \pm \frac{1}{3} + 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{1}{3} + 2k, k \in \mathbb{Z}$.

б) В уравнении $\cos(-2x) = -\frac{1}{2}$ воспользуемся свойством четности функции косинус, которое гласит, что $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ для любого угла $\alpha$. Таким образом, наше уравнение эквивалентно уравнению $\cos(2x) = -\frac{1}{2}$. Это уравнение вида $\cos(t) = a$, где $t = 2x$ и $a = -\frac{1}{2}$. Находим значение арккосинуса: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$. Записываем общее решение для аргумента $2x$: $2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2: $x = \frac{\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k}{2}$. После деления получаем: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение $2\cos(3x - \frac{\pi}{6}) = 1$. Первым шагом изолируем тригонометрическую функцию. Для этого разделим обе части уравнения на 2: $\cos(3x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Получили уравнение вида $\cos(t) = a$, где $t = 3x - \frac{\pi}{6}$ и $a = \frac{1}{2}$. Арккосинус от $\frac{1}{2}$ равен $\frac{\pi}{3}$. Общее решение для аргумента $t$ имеет вид: $3x - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Перенесем $-\frac{\pi}{6}$ в правую часть уравнения: $3x = \frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$. Это выражение распадается на две серии решений.
1. Первая серия (со знаком «плюс»): $3x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k$. Приводим дроби к общему знаменателю: $3x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Делим на 3, чтобы найти $x$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$.
2. Вторая серия (со знаком «минус»): $3x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$. Приводим дроби к общему знаменателю: $3x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$. Делим на 3, чтобы найти $x$: $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}; x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $\cos(\frac{\pi}{4} - 3x) = -1$. Это частный случай тригонометрического уравнения $\cos(t) = -1$. Общее решение для такого уравнения имеет вид $t = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В нашем случае аргумент $t = \frac{\pi}{4} - 3x$. Приравниваем аргумент к общему решению: $\frac{\pi}{4} - 3x = \pi + 2\pi k$. Теперь последовательно выразим $x$. Сначала изолируем член с $x$: $-3x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$. Выполняем вычитание в правой части: $-3x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$. Наконец, для нахождения $x$ разделим обе части уравнения на -3: $x = -\frac{1}{3} \left( \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \right)$. Раскрывая скобки, получаем окончательный ответ: $x = -\frac{\pi}{4} - \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} - \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

10. (1)
a) $2\cos x = -\sqrt{3}$;
б) $2\cos\left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}$;
в) $2\cos\left(3\pi x - \frac{\pi}{5}\right) = \sqrt{3}$;
г) $2\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{6}\right) = -\sqrt{3}$.

a) Исходное уравнение: $2\cos x = -\sqrt{3}$.
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы выделить $\cos x$:
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Найдем арккосинус, используя формулу $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$:
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Следовательно, общее решение уравнения:
$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $2\cos(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{3}$.
Разделим обе части на 2:
$\cos(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Аргумент косинуса должен быть равен $\pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:
$\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
Выразим $x$. Сначала перенесем $-\frac{\pi}{4}$ в правую часть:
$\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
Теперь умножим обе части на $\frac{2}{3}$:
$x = \frac{2}{3} \left( \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) = \frac{2\pi}{12} \pm \frac{2\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3} = \frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{9} + \frac{4\pi n}{3}$.
Разобьем решение на две серии корней:
1) $x_1 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{9} + \frac{4\pi n}{3} = \frac{3\pi + 2\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3} = \frac{5\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3}$.
2) $x_2 = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{9} + \frac{4\pi n}{3} = \frac{3\pi - 2\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3} = \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3}, x = \frac{5\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $2\cos(3\pi x - \frac{\pi}{5}) = \sqrt{3}$.
Разделим обе части на 2:
$\cos(3\pi x - \frac{\pi}{5}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Аргумент косинуса равен $\pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. (Используем $k$, чтобы не путать с $n$ из других заданий).
$\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, поэтому:
$3\pi x - \frac{\pi}{5} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
Выразим $x$. Перенесем $-\frac{\pi}{5}$ в правую часть:
$3\pi x = \frac{\pi}{5} \

11. (1) a) $2\cos x + \sqrt{2} = 0$;

б) $\sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 1 = 0$;

В) $2\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$;

Г) $2\cos\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{2}$.

a) Исходное уравнение: $2\cos x + \sqrt{2} = 0$.

Для решения этого уравнения сначала выразим $\cos x$. Перенесем $\sqrt{2}$ в правую часть уравнения:

$2\cos x = -\sqrt{2}$

Теперь разделим обе части уравнения на 2:

$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Для нашего случая $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Значение арккосинуса: $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем это значение в общую формулу решения:

$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{3}) - 1 = 0$.

Сначала изолируем косинус. Перенесем -1 в правую часть:

$\sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{3}) = 1$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$\cos(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Пусть аргумент косинуса $t = x - \frac{\pi}{3}$. Тогда уравнение принимает вид $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение для $t$: $t = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, получаем: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = x - \frac{\pi}{3}$:

$x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:

$x = \frac{\pi}{3} \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Разобьем решение на две серии:

1) $x_1 = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{4\pi + 3\pi}{12} + 2\pi k = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k$.

2) $x_2 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{4\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k, x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $2\cos(2x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$\cos(2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Аргумент косинуса $2x - \frac{\pi}{4}$ должен быть равен:

$2x - \frac{\pi}{4} = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Так как $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, имеем:

$2x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:

$2x = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Рассмотрим два случая:

1) $2x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Разделив на 2, получим: $x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi k$.

2) $2x_2 = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = 0 + 2\pi k = 2\pi k$. Разделив на 2, получим: $x_2 = \pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $2\cos(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}) = -\sqrt{2}$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$\cos(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Аргумент косинуса $\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}$ должен быть равен:

$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$, получаем:

$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

Выразим $\frac{x}{3}$:

$\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{3} \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

Теперь умножим все уравнение на 3, чтобы найти $x$:

$x = 3(-\frac{\pi}{3} \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k) = -\pi \pm \frac{9\pi}{4} + 6\pi k$

Рассмотрим два случая:

1) $x_1 = -\pi + \frac{9\pi}{4} + 6\pi k = \frac{-4\pi + 9\pi}{4} + 6\pi k = \frac{5\pi}{4} + 6\pi k$.

2) $x_2 = -\pi - \frac{9\pi}{4} + 6\pi k = \frac{-4\pi - 9\pi}{4} + 6\pi k = -\frac{13\pi}{4} + 6\pi k$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{4} + 6\pi k, x = -\frac{13\pi}{4} + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

12. (1)

a) $2\cos \frac{2x}{3} - 2\sqrt{2}=0;$

б) $\cos 3x=\sqrt{5}-2;$

В) $\cos 5x-\sqrt{5}=-4;$

г) $11\cos \left(x+\frac{\pi}{13}\right)=-3\pi.$

а) $2\cos\frac{2x}{3}-2\sqrt{2}=0$
Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить косинус.
Перенесем $2\sqrt{2}$ в правую часть уравнения:
$2\cos\frac{2x}{3} = 2\sqrt{2}$
Разделим обе части на 2:
$\cos\frac{2x}{3} = \sqrt{2}$
Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$.
Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\sqrt{2} > 1$.
Значение $\sqrt{2}$ не входит в область значений косинуса, следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

б) $\cos 3x = \sqrt{5}-2$
Оценим значение выражения в правой части. Мы знаем, что $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, то есть $2 < \sqrt{5} < 3$.
Следовательно, $2-2 < \sqrt{5}-2 < 3-2$, что дает $0 < \sqrt{5}-2 < 1$.
Поскольку значение $\sqrt{5}-2$ находится в интервале $[-1, 1]$, уравнение имеет решения.
Общее решение для уравнения $\cos t = a$, где $|a| \le 1$, имеет вид $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = 3x$ и $a = \sqrt{5}-2$.
$3x = \pm\arccos(\sqrt{5}-2) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:
$x = \pm\frac{1}{3}\arccos(\sqrt{5}-2) + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm\frac{1}{3}\arccos(\sqrt{5}-2) + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\cos 5x - \sqrt{5} = -4$
Выразим $\cos 5x$ из уравнения:
$\cos 5x = \sqrt{5} - 4$
Оценим значение выражения в правой части. Приближенное значение $\sqrt{5} \approx 2.236$.
Тогда $\sqrt{5} - 4 \approx 2.236 - 4 = -1.764$.
Область значений функции косинуса — отрезок $[-1, 1]$.
Поскольку $-1.764 < -1$, значение $\sqrt{5} - 4$ не входит в область значений косинуса.
Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

г) $11\cos(x+\frac{\pi}{13})=-3\pi$
Выразим косинус из уравнения, разделив обе части на 11:
$\cos(x+\frac{\pi}{13}) = -\frac{3\pi}{11}$
Оценим значение правой части. Используя приближение $\pi \approx 3.1416$:
$-\frac{3\pi}{11} \approx -\frac{3 \times 3.1416}{11} = -\frac{9.4248}{11} \approx -0.8568$
Так как $-1 \le -0.8568 \le 1$, значение $-\frac{3\pi}{11}$ входит в область значений косинуса, и уравнение имеет решения.
Применим общую формулу решения $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $t = x+\frac{\pi}{13}$ и $a = -\frac{3\pi}{11}$.
$x+\frac{\pi}{13} = \pm\arccos(-\frac{3\pi}{11}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{13}$ в правую часть:
$x = -\frac{\pi}{13} \pm\arccos(-\frac{3\pi}{11}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{13} \pm\arccos(-\frac{3\pi}{11}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

13. (2) Решите уравнения, применив формулы приведения:

а) $2\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+1=0;$

б) $\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi x\right)=1;$

в) $\cos(\pi-3x)=\frac{2}{7};$

г) $14\sin\left(x+\frac{7\pi}{2}\right)=-\sqrt{98}.$

а) $2\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+1=0$

Применим формулу приведения для синуса: $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos(x)$.

Уравнение принимает вид:

$2\cos(x) + 1 = 0$

Выразим $\cos(x)$:

$2\cos(x) = -1$

$\cos(x) = -\frac{1}{2}$

Найдем решение для $x$:

$x = \pm\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi x\right)=1$

Применим формулу приведения: $\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) = -\cos(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 2\pi x$.

Уравнение принимает вид:

$-\cos(2\pi x) = 1$

$\cos(2\pi x) = -1$

Это частный случай, решение которого:

$2\pi x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на $2\pi$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{2\pi} + \frac{2\pi n}{2\pi}$

$x = \frac{1}{2} + n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{1}{2} + n$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) $\cos(\pi-3x)=\frac{2}{7}$

Применим формулу приведения для косинуса: $\cos(\pi-\alpha) = -\cos(\alpha)$. В данном случае $\alpha = 3x$.

Уравнение принимает вид:

$-\cos(3x) = \frac{2}{7}$

$\cos(3x) = -\frac{2}{7}$

Найдем общее решение:

$3x = \pm\arccos\left(-\frac{2}{7}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$, разделив обе части на 3:

$x = \pm\frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{2}{7}\right) + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{2}{7}\right) + \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) $14\sin\left(x+\frac{7\pi}{2}\right)=-\sqrt{98}$

Сначала преобразуем аргумент синуса, выделив целое число оборотов ($2\pi$):

$\frac{7\pi}{2} = \frac{3\pi+4\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi$

Так как синус является периодической функцией с периодом $2\pi$, то $\sin\left(x+\frac{7\pi}{2}\right) = \sin\left(x+\frac{3\pi}{2}+2\pi\right) = \sin\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)$.

Применим формулу приведения $\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right) = -\cos(x)$.

Также упростим правую часть уравнения: $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$.

Уравнение принимает вид:

$14(-\cos(x)) = -7\sqrt{2}$

$-14\cos(x) = -7\sqrt{2}$

Выразим $\cos(x)$:

$\cos(x) = \frac{-7\sqrt{2}}{-14} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Найдем решение для $x$:

$x = \pm\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.