Страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1. Решите уравнения:

а) $\operatorname{tg} x = 0$;

б) $\operatorname{tg} x = 1$;

в) $\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$;

г) $\operatorname{tg} x = -4$;

д) $\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

а) Для решения уравнения $\tg x = 0$ используется общая формула $x = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = 0$. Поскольку арктангенс нуля равен нулю ($\arctan(0) = 0$), подставляем это значение в формулу: $x = 0 + \pi k$. Таким образом, решение: $x = \pi k$.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для решения уравнения $\tg x = 1$ используется общая формула $x = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Здесь $a = 1$. Арктангенс единицы является табличным значением: $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$, так как $\tg(\frac{\pi}{4}) = 1$. Подставляем это значение в формулу и получаем решение: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Для решения уравнения $\tg x = -\sqrt{3}$ используется общая формула $x = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этом случае $a = -\sqrt{3}$. Используем свойство нечетности функции арктангенс: $\arctan(-a) = -\arctan(a)$. Следовательно, $\arctan(-\sqrt{3}) = -\arctan(\sqrt{3})$. Табличное значение $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$. Таким образом, $\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$. Подставив в общую формулу, получаем решение: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Для решения уравнения $\tg x = -4$ используется общая формула $x = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Здесь $a = -4$. Так как $-4$ не является стандартным табличным значением для тангенса, решение записывается через функцию арктангенса. Таким образом, $x = \arctan(-4) + \pi k$. Используя свойство нечетности арктангенса, это решение также можно записать в виде $x = -\arctan(4) + \pi k$.
Ответ: $x = \arctan(-4) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д) Для решения уравнения $\tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ используется общая формула $x = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Это значение является табличным: $\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$, так как $\tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Подставляем найденное значение в общую формулу и получаем решение: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Решите уравнения:

а) $ctg x = 0$;

б) $ctg x = -1$;

в) $ctg x = \sqrt{3}$;

г) $ctg x = 5$;

д) $ctg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

а)

Дано тригонометрическое уравнение $\text{ctg } x = 0$.

Общее решение уравнения вида $\text{ctg } x = a$ определяется формулой $x = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

В данном случае $a = 0$. Подставляем это значение в общую формулу:

$x = \text{arcctg}(0) + \pi n$.

Значение арккотангенса от нуля равно $\frac{\pi}{2}$, так как котангенс угла равен нулю, когда косинус этого угла равен нулю (а синус не равен нулю), что соответствует углам $\frac{\pi}{2}$.

Следовательно, получаем решение:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано тригонометрическое уравнение $\text{ctg } x = -1$.

Используем общую формулу для решения: $x = \text{arcctg}(-1) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Для нахождения значения $\text{arcctg}(-1)$ воспользуемся свойством арккотангенса: $\text{arcctg}(-a) = \pi - \text{arcctg}(a)$.

Применяя это свойство, получаем: $\text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1)$.

Так как $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, то $\text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Тогда $\text{arcctg}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем найденное значение в формулу решения:

$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано тригонометрическое уравнение $\text{ctg } x = \sqrt{3}$.

По общей формуле решения $x = \text{arcctg}(\sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что котангенс угла $\frac{\pi}{6}$ равен $\sqrt{3}$.

Следовательно, $\text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем это значение в формулу:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано тригонометрическое уравнение $\text{ctg } x = 5$.

Применяем общую формулу $x = \text{arcctg}(a) + \pi n$, подставляя $a=5$.

$x = \text{arcctg}(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку 5 не является стандартным (табличным) значением котангенса, ответ оставляют в таком виде, выраженным через арккотангенс.

Ответ: $x = \text{arcctg}(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д)

Дано тригонометрическое уравнение $\text{ctg } x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Преобразуем значение $\frac{\sqrt{3}}{3}$, чтобы узнать, соответствует ли оно табличному: $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Таким образом, уравнение принимает вид $\text{ctg } x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Используем общую формулу решения: $x = \text{arcctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что котангенс угла $\frac{\pi}{3}$ равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Следовательно, $\text{arcctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем это значение в формулу:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3. Решите уравнения:

а) $ctg2x-1=0$;

б) $tg(2x+\frac{\pi}{4})=-1$;

в) $3ctg(\frac{\pi}{3}-\pi x)+\sqrt{3}=0$;

г) $tg(\frac{x}{2}-3)=5$.

а) Исходное уравнение: $ctg(2x) - 1 = 0$.
Перенесем 1 в правую часть, чтобы выделить тригонометрическую функцию: $ctg(2x) = 1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $ctg(y) = a$ записывается формулой $y = arcctg(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in Z$).
В нашем случае, аргумент $y = 2x$, а значение $a = 1$.
Найдем арккотангенс от 1: $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Подставим известные значения в общую формулу решения: $2x = \frac{\pi}{4} + \pi k$.
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2: $x = \frac{\pi}{4 \cdot 2} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

б) Исходное уравнение: $tg(2x + \frac{\pi}{4}) = -1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $tg(y) = a$ записывается формулой $y = arctg(a) + \pi k$, где $k \in Z$.
В нашем случае, аргумент $y = 2x + \frac{\pi}{4}$, а значение $a = -1$.
Найдем арктангенс от -1: $arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Подставим значения в формулу: $2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi k$.
Теперь выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения: $2x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi k$
$2x = -\frac{2\pi}{4} + \pi k$
$2x = -\frac{\pi}{2} + \pi k$.
Разделим обе части уравнения на 2: $x = -\frac{\pi}{2 \cdot 2} + \frac{\pi k}{2} = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

в) Исходное уравнение: $3ctg(\frac{\pi}{3} - \pi x) + \sqrt{3} = 0$.
Сначала выразим тригонометрическую функцию. Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть и разделим на 3: $3ctg(\frac{\pi}{3} - \pi x) = -\sqrt{3}$
$ctg(\frac{\pi}{3} - \pi x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Общее решение для $ctg(y) = a$ имеет вид $y = arcctg(a) + \pi k$, где $k \in Z$.
В данном случае $y = \frac{\pi}{3} - \pi x$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Найдем арккотангенс: $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Подставим в формулу: $\frac{\pi}{3} - \pi x = \frac{2\pi}{3} + \pi k$.
Теперь выразим $x$. Изолируем член с $x$: $-\pi x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + \pi k$
$-\pi x = \frac{\pi}{3} + \pi k$.
Разделим обе части на $-\pi$: $x = -(\frac{\pi}{3\pi} + \frac{\pi k}{\pi}) = -(\frac{1}{3} + k) = -\frac{1}{3} - k$.
Поскольку $k$ — любое целое число, то $-k$ также пробегает все целые числа. Поэтому можно заменить $-k$ на $+k$ для более простого вида записи.
Ответ: $x = -\frac{1}{3} + k, k \in Z$.

г) Исходное уравнение: $tg(\frac{x}{2} - 3) = 5$.
Общее решение для $tg(y) = a$ имеет вид $y = arctg(a) + \pi k$, где $k \in Z$.
Здесь $y = \frac{x}{2} - 3$ и $a = 5$. Так как 5 не является стандартным табличным значением для тангенса, решение будет выражено через арктангенс.
Подставляем в формулу: $\frac{x}{2} - 3 = arctg(5) + \pi k$.
Выразим $x$. Сначала перенесем -3 в правую часть: $\frac{x}{2} = 3 + arctg(5) + \pi k$.
Умножим обе части на 2: $x = 2(3 + arctg(5) + \pi k) = 6 + 2arctg(5) + 2\pi k$.
Ответ: $x = 6 + 2arctg(5) + 2\pi k, k \in Z$.

4. Решите уравнения:

a) $(tgx - \sqrt{3})(sinx + 1) = 0;$

б) $(2cosx + 1)(3ctgx + \sqrt{3}) = 0.$

а) Исходное уравнение: $(\operatorname{tg}x - \sqrt{3})(\sin x + 1) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (определен).

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется существованием тангенса. Функция $\operatorname{tg}x$ определена, когда $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1. $\operatorname{tg}x - \sqrt{3} = 0$

$\operatorname{tg}x = \sqrt{3}$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n$, то есть $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию ОДЗ. Для этих значений $x$ косинус не равен нулю ($\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{3}+\pi) = -\frac{1}{2}$ и т.д.), поэтому эти решения являются корнями исходного уравнения.

2. $\sin x + 1 = 0$

$\sin x = -1$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ. Если $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$, то $\cos x = \cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$. Это противоречит ОДЗ ($x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$). Следовательно, при этих значениях $x$ выражение $\operatorname{tg}x$ не определено, и эти корни являются посторонними.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является первая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $(2\cos x + 1)(3\operatorname{ctg}x + \sqrt{3}) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.

ОДЗ уравнения определяется существованием котангенса. Функция $\operatorname{ctg}x$ определена, когда $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1. $2\cos x + 1 = 0$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Решением этого уравнения являются две серии корней: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, то есть $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию ОДЗ. Для $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ имеем $\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$, что не равно нулю. Значит, эти корни входят в ОДЗ и являются решениями.

2. $3\operatorname{ctg}x + \sqrt{3} = 0$

$3\operatorname{ctg}x = -\sqrt{3}$

$\operatorname{ctg}x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \operatorname{arccot}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi m$, то есть $x = \frac{2\pi}{3} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ. Для $x = \frac{2\pi}{3} + \pi m$ имеем $\sin x \neq 0$ (при четных $m$, $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$; при нечетных $m$, $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$). Следовательно, эти корни также являются решениями.

Объединим все найденные решения. Мы получили три серии корней:

• $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

• $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

• $x = \frac{2\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Заметим, что первая серия корней ($x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$) является подмножеством третьей серии ($x = \frac{2\pi}{3} + \pi m$) при четных значениях $m$ ($m=2n$).

Следовательно, общее решение можно записать как объединение второй и третьей серий.

Ответ: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{2\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

5. Среди решений уравнения $tgx = -1$ укажите те, которые принадлежат промежутку $[-\pi;\pi]$.

Задача состоит в том, чтобы найти решения уравнения $tg(x) = -1$, которые находятся в интервале $[-\pi; \pi]$.

1. Нахождение общего решения уравнения.

Общее решение для уравнения $tg(x) = a$ записывается формулой $x = arctg(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in Z$).

В данном случае $a = -1$. Найдём арктангенс этого значения:

$arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$

Таким образом, общее решение уравнения $tg(x) = -1$ имеет вид:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.

2. Отбор корней, принадлежащих промежутку $[-\pi; \pi]$.

Чтобы найти нужные решения, подставим общую формулу для $x$ в двойное неравенство, соответствующее заданному промежутку:

$-\pi \le -\frac{\pi}{4} + \pi n \le \pi$

Для упрощения разделим все части неравенства на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знаки неравенства не меняются):

$-1 \le -\frac{1}{4} + n \le 1$

Теперь прибавим $\frac{1}{4}$ ко всем частям неравенства, чтобы выделить $n$:

$-1 + \frac{1}{4} \le n \le 1 + \frac{1}{4}$

$-\frac{3}{4} \le n \le \frac{5}{4}$

Так как $n$ должно быть целым числом, из этого промежутка подходят только два значения: $n=0$ и $n=1$.

3. Вычисление конкретных решений.

Подставим найденные значения $n$ в формулу общего решения $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$:

При $n=0$:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4}$

Корень $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\pi; \pi]$.

При $n=1$:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi \cdot 1 = -\frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

Корень $\frac{3\pi}{4}$ также принадлежит промежутку $[-\pi; \pi]$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}$.

6. Решите уравнение $3\text{ctg}\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)+\sqrt{3}=0$ и найдите его корни, удовлетворяющие условию $-\frac{\pi}{2}

Решите уравнение $3\ctg(2x - \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3} = 0$

Преобразуем исходное уравнение. Перенесем слагаемое $\sqrt{3}$ в правую часть уравнения и разделим обе части на 3:
$3\ctg(2x - \frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3}$
$\ctg(2x - \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\ctg(y) = a$. Его решение находится по формуле $y = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $y = 2x - \frac{\pi}{6}$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Поскольку $\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:
$2x - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + \pi n$

Теперь выразим переменную $x$:
$2x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \pi n$
Приводим дроби к общему знаменателю 6:
$2x = \frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi n$
$2x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$
Разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Найдите его корни, удовлетворяющие условию $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}$

Для отбора корней решим двойное неравенство, подставив в него найденную серию решений:
$-\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} < \frac{3\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на положительное число $\pi$:
$-\frac{1}{2} < \frac{5}{12} + \frac{n}{2} < \frac{3}{2}$

Умножим все части неравенства на 12, чтобы избавиться от дробей:
$12 \cdot (-\frac{1}{2}) < 12 \cdot (\frac{5}{12} + \frac{n}{2}) < 12 \cdot \frac{3}{2}$
$-6 < 5 + 6n < 18$

Вычтем 5 из всех частей неравенства:
$-6 - 5 < 6n < 18 - 5$
$-11 < 6n < 13$

Разделим все части на 6:
$-\frac{11}{6} < n < \frac{13}{6}$
$-1\frac{5}{6} < n < 2\frac{1}{6}$

Целочисленные значения $n$, которые принадлежат данному интервалу: $n = -1, 0, 1, 2$.

Теперь найдем соответствующие им корни $x$, подставляя эти значения $n$ в общую формулу корня:
При $n = -1$: $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi \cdot (-1)}{2} = \frac{5\pi}{12} - \frac{6\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$.
При $n = 0$: $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = \frac{5\pi}{12}$.
При $n = 1$: $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi \cdot 1}{2} = \frac{5\pi}{12} + \frac{6\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$.
При $n = 2$: $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi \cdot 2}{2} = \frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{5\pi + 12\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}$.

1. (2) Известны законы распределения случайных величин $X$ и $Y$ – числа очков, выбиваемых 1-м и 2-м стрелками.

X:

$x_i$: 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10

$p_i$: 0,15 | 0,11 | 0,04 | 0,05 | 0,04 | 0,10 | 0,10 | 0,04 | 0,05 | 0,12 | 0,20

Y:

$x_i$: 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10

$p_i$: 0,01 | 0,03 | 0,05 | 0,09 | 0,11 | 0,24 | 0,21 | 0,10 | 0,10 | 0,04 | 0,02

Вычислить $M(X)$ и $M(Y)$.

Для вычисления математического ожидания $M$ дискретной случайной величины необходимо найти сумму произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности. Формула для вычисления математического ожидания:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

где $x_i$ — значения случайной величины, а $p_i$ — соответствующие им вероятности.

M(X)

Найдем математическое ожидание для случайной величины X, представляющей число очков, выбиваемых 1-м стрелком. Используем данные из таблицы для X:

$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + ... + x_n p_n$

$M(X) = 0 \cdot 0,15 + 1 \cdot 0,11 + 2 \cdot 0,04 + 3 \cdot 0,05 + 4 \cdot 0,04 + 5 \cdot 0,10 + 6 \cdot 0,10 + 7 \cdot 0,04 + 8 \cdot 0,05 + 9 \cdot 0,12 + 10 \cdot 0,20$

Выполним вычисления:

$M(X) = 0 + 0,11 + 0,08 + 0,15 + 0,16 + 0,50 + 0,60 + 0,28 + 0,40 + 1,08 + 2,00$

$M(X) = 5,36$

Ответ: $M(X) = 5,36$.

M(Y)

Аналогично найдем математическое ожидание для случайной величины Y, представляющей число очков, выбиваемых 2-м стрелком. Используем данные из таблицы для Y:

$M(Y) = y_1 p_1 + y_2 p_2 + ... + y_m p_m$

$M(Y) = 0 \cdot 0,01 + 1 \cdot 0,03 + 2 \cdot 0,05 + 3 \cdot 0,09 + 4 \cdot 0,11 + 5 \cdot 0,24 + 6 \cdot 0,21 + 7 \cdot 0,10 + 8 \cdot 0,10 + 9 \cdot 0,04 + 10 \cdot 0,02$

Выполним вычисления:

$M(Y) = 0 + 0,03 + 0,10 + 0,27 + 0,44 + 1,20 + 1,26 + 0,70 + 0,80 + 0,36 + 0,20$

$M(Y) = 5,36$

Ответ: $M(Y) = 5,36$.

2. (2)

В предыдущей задаче вычислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа выбитых очков для каждого стрелка.

Поскольку данные из предыдущей задачи не предоставлены, для решения мы воспользуемся гипотетическими данными, которые часто встречаются в подобных задачах. Предположим, в предыдущей задаче были даны результаты 10 выстрелов для двух стрелков:

Первый стрелок: 8, 7, 9, 10, 8, 9, 7, 8, 10, 6.

Второй стрелок: 9, 9, 8, 8, 10, 10, 7, 7, 6, 6.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение — это меры разброса (изменчивости) данных. Для их вычисления воспользуемся следующими формулами.

Среднее арифметическое значение $\bar{x}$ для набора данных $x_1, x_2, ..., x_n$ (где $n$ — количество значений):
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$

Дисперсия $D(X)$ вычисляется как средний квадрат отклонений от среднего:
$D(X) = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$

Для удобства расчетов можно использовать эквивалентную формулу:
$D(X) = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$

Среднее квадратическое (или стандартное) отклонение $\sigma(X)$ — это корень квадратный из дисперсии:
$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

Расчет для первого стрелка
Данные: $X = \{8, 7, 9, 10, 8, 9, 7, 8, 10, 6\}$. Объем выборки $n=10$.
1. Вычислим среднее арифметическое $\bar{x}_1$:
$\bar{x}_1 = \frac{8+7+9+10+8+9+7+8+10+6}{10} = \frac{82}{10} = 8.2$ очка.
2. Вычислим дисперсию $D_1$. Для этого сначала найдем сумму квадратов значений:
$\sum x_i^2 = 8^2+7^2+9^2+10^2+8^2+9^2+7^2+8^2+10^2+6^2 = 64+49+81+100+64+81+49+64+100+36 = 688$.
Теперь можем найти дисперсию:
$D_1 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x}_1)^2 = \frac{688}{10} - (8.2)^2 = 68.8 - 67.24 = 1.56$.
3. Вычислим среднее квадратическое отклонение $\sigma_1$:
$\sigma_1 = \sqrt{D_1} = \sqrt{1.56} \approx 1.249$ очка.
Ответ: Для первого стрелка дисперсия равна $1.56$, а среднее квадратическое отклонение $\approx 1.249$.

Расчет для второго стрелка
Данные: $Y = \{9, 9, 8, 8, 10, 10, 7, 7, 6, 6\}$. Объем выборки $n=10$.
1. Вычислим среднее арифметическое $\bar{y}$:
$\bar{y} = \frac{9+9+8+8+10+10+7+7+6+6}{10} = \frac{80}{10} = 8.0$ очков.
2. Вычислим дисперсию $D_2$. Найдем сумму квадратов значений:
$\sum y_i^2 = 9^2+9^2+8^2+8^2+10^2+10^2+7^2+7^2+6^2+6^2 = 81+81+64+64+100+100+49+49+36+36 = 660$.
Теперь можем найти дисперсию:
$D_2 = \frac{\sum y_i^2}{n} - (\bar{y})^2 = \frac{660}{10} - (8.0)^2 = 66.0 - 64.0 = 2.0$.
3. Вычислим среднее квадратическое отклонение $\sigma_2$:
$\sigma_2 = \sqrt{D_2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ очка.
Ответ: Для второго стрелка дисперсия равна $2.0$, а среднее квадратическое отклонение $\approx 1.414$.

Вывод: У первого стрелка средний результат (8.2) выше, а разброс результатов (дисперсия 1.56, с.к.о. $\approx 1.249$) меньше, чем у второго стрелка (среднее 8.0, дисперсия 2.0, с.к.о. $\approx 1.414$). Это означает, что первый стрелок стреляет в среднем лучше и более стабильно.

3. (1) Первый член арифметической прогрессии равен $-10$, разность равна $5$. Подбрасывается игральный кубик. Случайная величина $Z$ принимает значение, равное члену арифметической прогрессии, номер которого совпадает с выпавшим количеством очков на кубике. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение величины $Z$.

а) $(5;7)$;

б) $(7;11)$;

в) $(7;11) \cup (14;17)$;

г) А, которое является решением неравенства $-x^2 + 23x - 130 \ge 0$.

По условию задачи, имеется арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = -10$ и разностью $d = 5$. Случайная величина $Z$ принимает значение, равное члену этой прогрессии, номер которого $k$ определяется количеством очков, выпавших на игральном кубике.

Номер $k$ может принимать целые значения от 1 до 6, и вероятность каждого из этих исходов $P(k)$ одинакова и равна $\frac{1}{6}$.

Найдем возможные значения случайной величины $Z$, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_k = a_1 + (k-1)d$:

• При $k=1$: $Z = a_1 = -10 + (1-1) \cdot 5 = -10$
• При $k=2$: $Z = a_2 = -10 + (2-1) \cdot 5 = -5$
• При $k=3$: $Z = a_3 = -10 + (3-1) \cdot 5 = 0$
• При $k=4$: $Z = a_4 = -10 + (4-1) \cdot 5 = 5$
• При $k=5$: $Z = a_5 = -10 + (5-1) \cdot 5 = 10$
• При $k=6$: $Z = a_6 = -10 + (6-1) \cdot 5 = 15$

Таким образом, закон распределения случайной величины $Z$ таков, что она принимает значения $\{-10, -5, 0, 5, 10, 15\}$, каждое с вероятностью $\frac{1}{6}$.

Математическое ожидание

Математическое ожидание $E[Z]$ для дискретной случайной величины вычисляется по формуле $E[Z] = \sum z_i p_i$.

$E[Z] = (-10) \cdot \frac{1}{6} + (-5) \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 10 \cdot \frac{1}{6} + 15 \cdot \frac{1}{6}$

$E[Z] = \frac{1}{6} (-10 - 5 + 0 + 5 + 10 + 15) = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: Математическое ожидание $E[Z] = 2.5$.

Дисперсия

Дисперсию $D[Z]$ найдем по формуле $D[Z] = E[Z^2] - (E[Z])^2$. Для этого сначала вычислим $E[Z^2]$ (математическое ожидание квадрата случайной величины).

$E[Z^2] = \sum z_i^2 p_i = ((-10)^2 \cdot \frac{1}{6}) + ((-5)^2 \cdot \frac{1}{6}) + (0^2 \cdot \frac{1}{6}) + (5^2 \cdot \frac{1}{6}) + (10^2 \cdot \frac{1}{6}) + (15^2 \cdot \frac{1}{6})$

$E[Z^2] = \frac{1}{6} (100 + 25 + 0 + 25 + 100 + 225) = \frac{475}{6}$

Теперь подставим найденные значения в формулу для дисперсии:

$D[Z] = E[Z^2] - (E[Z])^2 = \frac{475}{6} - (2.5)^2 = \frac{475}{6} - (\frac{5}{2})^2 = \frac{475}{6} - \frac{25}{4}$

Приводя дроби к общему знаменателю 12:

$D[Z] = \frac{475 \cdot 2}{12} - \frac{25 \cdot 3}{12} = \frac{950 - 75}{12} = \frac{875}{12}$

Ответ: Дисперсия $D[Z] = \frac{875}{12}$.

Среднеквадратическое отклонение

Среднеквадратическое отклонение $\sigma[Z]$ равно квадратному корню из дисперсии: $\sigma[Z] = \sqrt{D[Z]}$.

$\sigma[Z] = \sqrt{\frac{875}{12}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 35}{12}} = 5\sqrt{\frac{35}{12}}$

Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\sigma[Z] = 5 \cdot \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{12}} = 5 \cdot \frac{\sqrt{35}}{2\sqrt{3}} = 5 \cdot \frac{\sqrt{35}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{105}}{6}$

Ответ: Среднеквадратическое отклонение $\sigma[Z] = \frac{5\sqrt{105}}{6}$.

5. (3) В коробке 2 красных и 1 зеленый шар. Наугад извлекаются без возврата 2 шара. Количество извлеченных красных шаров примем за случайную величину $Y$. Составьте таблицу распределения случайной величины $Y$.

По условию задачи, в коробке находятся 3 шара: 2 красных и 1 зеленый. Из коробки наугад извлекают 2 шара без возврата. Случайная величина Y — это количество извлеченных красных шаров.

Определим возможные значения, которые может принимать случайная величина Y. Так как всего извлекается 2 шара, а зеленый шар только один, то в выборке обязательно окажется как минимум один красный шар. Следовательно, Y может принимать значения 1 (если извлекли 1 красный и 1 зеленый шар) или 2 (если извлекли 2 красных шара). Таким образом, множество возможных значений Y: {1, 2}.

Для нахождения вероятностей каждого значения используем классическую формулу вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число исходов, а $m$ — число благоприятных исходов.

Общее число способов извлечь 2 шара из 3-х имеющихся равно числу сочетаний из 3 по 2:

$n = C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = 3$.

Это означает, что существует 3 равновозможных исхода.

Найдем вероятность события $Y=1$ (извлечен 1 красный и 1 зеленый шар). Число способов выбрать 1 красный шар из 2-х равно $C_2^1 = 2$. Число способов выбрать 1 зеленый шар из 1-го равно $C_1^1 = 1$. Количество благоприятных исходов для этого события: $m_1 = C_2^1 \cdot C_1^1 = 2 \cdot 1 = 2$. Вероятность:

$P(Y=1) = \frac{m_1}{n} = \frac{2}{3}$.

Найдем вероятность события $Y=2$ (извлечено 2 красных шара). Число способов выбрать 2 красных шара из 2-х равно $m_2 = C_2^2 = 1$. Вероятность:

$P(Y=2) = \frac{m_2}{n} = \frac{1}{3}$.

Проверка: сумма вероятностей $P(Y=1) + P(Y=2) = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$, что является верным.

Таблица распределения случайной величины Y составляется на основе найденных значений и их вероятностей.

Ответ: