Страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Часть 1

Решите уравнение (1–10):

1. $6 \cos^2 x - 5 \sin x + 5 = 0$.

1. Исходное уравнение: $6 \cos^2 x - 5 \sin x + 5 = 0$.

Это тригонометрическое уравнение, содержащее две разные функции: $\sin x$ и $\cos^2 x$. Чтобы решить его, необходимо привести уравнение к одной функции. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Из этого тождества выразим $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$:

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$6(1 - \sin^2 x) - 5 \sin x + 5 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$6 - 6 \sin^2 x - 5 \sin x + 5 = 0$

$-6 \sin^2 x - 5 \sin x + 11 = 0$

Для удобства умножим обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при $\sin^2 x$ стал положительным:

$6 \sin^2 x + 5 \sin x - 11 = 0$

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус $[-1, 1]$, то для переменной $t$ должно выполняться условие $-1 \le t \le 1$.

Уравнение принимает вид:

$6t^2 + 5t - 11 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-11) = 25 + 264 = 289$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-22}{12} = -\frac{11}{6}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$

Теперь вернемся к замене $t = \sin x$ и рассмотрим каждый корень.

1. $t_1 = -\frac{11}{6}$. Получаем уравнение $\sin x = -\frac{11}{6}$. Так как $-\frac{11}{6} \approx -1.83$, что меньше -1, этот корень не удовлетворяет условию $-1 \le \sin x \le 1$. Следовательно, это уравнение не имеет решений.

2. $t_2 = 1$. Получаем уравнение $\sin x = 1$. Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение этого уравнения имеет вид:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k - любое целое число).

Таким образом, единственной серией решений исходного уравнения является $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. $5 \sin x - 2 \cos^2 x - \sin \frac{\pi}{2} = 0.$

Данное тригонометрическое уравнение: $5 \sin x - 2 \cos^2 x - \sin \frac{\pi}{2} = 0$.

Первым шагом упростим уравнение, вычислив значение $\sin \frac{\pi}{2}$. Мы знаем, что $\sin \frac{\pi}{2} = 1$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$5 \sin x - 2 \cos^2 x - 1 = 0$.

Чтобы решить это уравнение, нужно привести его к одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Из этого тождества можно выразить $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$:

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Теперь подставим это выражение в наше уравнение:

$5 \sin x - 2(1 - \sin^2 x) - 1 = 0$.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$5 \sin x - 2 + 2 \sin^2 x - 1 = 0$

$2 \sin^2 x + 5 \sin x - 3 = 0$.

Мы получили квадратное уравнение относительно $\sin x$. Для удобства решения сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то для переменной $t$ должно выполняться условие $|t| \le 1$.

Уравнение в новых переменных будет выглядеть так:

$2t^2 + 5t - 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Теперь найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.

Теперь выполним обратную замену $t = \sin x$.

1. Для корня $t_1 = \frac{1}{2}$ получаем уравнение:

$\sin x = \frac{1}{2}$.

Этот корень удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Решения этого уравнения записываются общей формулой:

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in Z$.

Поскольку $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, то получаем серию решений:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in Z$.

2. Для корня $t_2 = -3$ получаем уравнение:

$\sin x = -3$.

Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может быть меньше $-1$. Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

Таким образом, решением исходного уравнения является только одна серия корней.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in Z$.

3. $1 + \cos 2x + \cos 4x = 0.$

3.1 Для решения тригонометрического уравнения $1 + \cos(2x) + \cos(4x) = 0$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$.

Применим эту формулу к члену $\cos(4x)$, рассматривая его как $\cos(2 \cdot 2x)$.

$\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$1 + \cos(2x) + (2\cos^2(2x) - 1) = 0$.

Упростим уравнение, сократив $1$ и $-1$:

$2\cos^2(2x) + \cos(2x) = 0$.

Теперь вынесем общий множитель $\cos(2x)$ за скобки:

$\cos(2x)(2\cos(2x) + 1) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

1) $\cos(2x) = 0$

2) $2\cos(2x) + 1 = 0$

Решим первое уравнение:

$\cos(2x) = 0$

Это частный случай, решение которого имеет вид:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив обе части на 2, получим первую серию корней:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим второе уравнение:

$2\cos(2x) + 1 = 0$

$2\cos(2x) = -1$

$\cos(2x) = -\frac{1}{2}$

Общее решение для данного типа уравнений:

$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как значение $\arccos(-\frac{1}{2})$ равно $\frac{2\pi}{3}$, получаем:

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделив обе части на 2, находим вторую серию корней:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя обе серии решений, получаем полный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

4. $\cos^2 3x + 4\cos 3x = 3\sin^2 3x$.

Данное уравнение является тригонометрическим. Чтобы его решить, приведем все члены к одной функции, в данном случае к $cos(3x)$.

Исходное уравнение:$cos^2(3x) + 4cos(3x) = 3sin^2(3x)$

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$, откуда выразим $sin^2(3x) = 1 - cos^2(3x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:$cos^2(3x) + 4cos(3x) = 3(1 - cos^2(3x))$

Раскроем скобки:$cos^2(3x) + 4cos(3x) = 3 - 3cos^2(3x)$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:$cos^2(3x) + 3cos^2(3x) + 4cos(3x) - 3 = 0$$4cos^2(3x) + 4cos(3x) - 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = cos(3x)$. Так как область значений функции косинус $[-1, 1]$, то и $-1 \le t \le 1$.

Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:$4t^2 + 4t - 3 = 0$

Решим его через дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$

Найдем корни для $t$:$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$

Теперь вернемся к замене $cos(3x) = t$ и рассмотрим каждый корень.

1. $cos(3x) = t_1 = \frac{1}{2}$

Этот корень удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$.

Общее решение для этого уравнения:$3x = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in Z$$3x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Разделив обе части на 3, получим $x$:$x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in Z$.

2. $cos(3x) = t_2 = -\frac{3}{2}$

Этот корень не удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$, так как $-\frac{3}{2} = -1.5 < -1$. Следовательно, это уравнение не имеет решений.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является найденная серия корней.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in Z$.

5. $\cos^2 x + 5\cos x = 2\sin^2 x$.

Данное уравнение является тригонометрическим. Для его решения приведем все функции к одной, в данном случае к косинусу. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$.

Исходное уравнение:

$cos^2(x) + 5cos(x) = 2sin^2(x)$

Из основного тригонометрического тождества выразим $sin^2(x) = 1 - cos^2(x)$ и подставим его в уравнение:

$cos^2(x) + 5cos(x) = 2(1 - cos^2(x))$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$cos^2(x) + 5cos(x) = 2 - 2cos^2(x)$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$cos^2(x) + 2cos^2(x) + 5cos(x) - 2 = 0$

$3cos^2(x) + 5cos(x) - 2 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $cos(x)$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = cos(x)$. Учитывая, что область значений функции косинус находится в промежутке $[-1, 1]$, должно выполняться условие $|t| \le 1$.

Запишем уравнение с новой переменной:

$3t^2 + 5t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $|t| \le 1$.

Для $t_1 = 1/3$: $-1 \le 1/3 \le 1$. Корень подходит.

Для $t_2 = -2$: условие $|-2| \le 1$ не выполняется. Этот корень является посторонним и не подходит для решения исходного тригонометрического уравнения.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t_1$:

$cos(x) = \frac{1}{3}$

Общее решение для этого уравнения имеет вид:

$x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

Ответ: $x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6. $4\sin^4 x + 12\cos^2 x = 7.$

Дано тригонометрическое уравнение: $4\sin^4 x + 12\cos^2 x = 7$.

Для решения приведем уравнение к одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4\sin^4 x + 12(1 - \sin^2 x) = 7$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4\sin^4 x + 12 - 12\sin^2 x = 7$

$4\sin^4 x - 12\sin^2 x + 12 - 7 = 0$

$4\sin^4 x - 12\sin^2 x + 5 = 0$

Получили биквадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin^2 x$. Учитывая, что $-1 \le \sin x \le 1$, область допустимых значений для $t$ будет $0 \le t \le 1$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$4t^2 - 12t + 5 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 144 - 80 = 64$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{12 - 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{12 + 8}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$

Проверим найденные корни на соответствие условию $0 \le t \le 1$.

Корень $t_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию, так как $0 \le \frac{1}{2} \le 1$.

Корень $t_2 = \frac{5}{2} = 2.5$ не удовлетворяет условию, так как $2.5 > 1$. Следовательно, этот корень является посторонним.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t_1 = \frac{1}{2}$:

$\sin^2 x = \frac{1}{2}$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$1 - \cos(2x) = 1$

Отсюда получаем:

$\cos(2x) = 0$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Его решение имеет вид:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

7. $ \cos x + 2 \cos 2x = 1. $

Для решения уравнения $cos x + 2 cos 2x = 1$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos 2x = 2 cos^2 x - 1$. Это позволит свести исходное уравнение к квадратному относительно $cos x$.

Подставим формулу в уравнение:$cos x + 2(2 cos^2 x - 1) = 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, перенеся все члены в левую часть:$cos x + 4 cos^2 x - 2 - 1 = 0$$4 cos^2 x + cos x - 3 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = cos x$. Так как область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то должно выполняться условие $-1 \le t \le 1$. Уравнение примет вид:$4t^2 + t - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта.$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$

Найдем корни уравнения для $t$:$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1$

Оба найденных значения $t_1 = \frac{3}{4}$ и $t_2 = -1$ принадлежат отрезку $[-1, 1]$, следовательно, оба являются допустимыми.

Выполним обратную замену и решим два простейших тригонометрических уравнения.

1. Если $cos x = \frac{3}{4}$, то серия решений имеет вид:$x = \pm arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

2. Если $cos x = -1$, то это частный случай, решения которого:$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Объединив найденные серии решений, получим итоговый ответ.

Ответ: $x = \pm arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi n, n \in Z$; $x = \pi + 2\pi k, k \in Z$.

8. $2 - \cos 2x + 4 \sin^2 x = 5 \sin x$

Исходное уравнение:

$2 - \cos(2x) + 4\sin^2x = 5\sin x$

Для решения данного тригонометрического уравнения приведем все его члены к одной функции. В данном случае удобно выразить все через $\sin x$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2 - (1 - 2\sin^2x) + 4\sin^2x = 5\sin x$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$2 - 1 + 2\sin^2x + 4\sin^2x = 5\sin x$

$1 + 6\sin^2x = 5\sin x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\sin x$:

$6\sin^2x - 5\sin x + 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Учитывая, что область значений синуса $[-1, 1]$, для переменной $t$ должно выполняться условие $|t| \le 1$.

Получаем следующее квадратное уравнение:

$6t^2 - 5t + 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$, так как $|\frac{1}{2}| \le 1$ и $|\frac{1}{3}| \le 1$.

Теперь выполним обратную замену и решим два простейших тригонометрических уравнения:

1) $\sin x = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $\sin x = \frac{1}{3}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, мы получили две серии решений, которые и являются ответом к задаче.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

9. $\sqrt{2}(1+\cos^2 x)=3\cos x.$

Исходное уравнение: $\sqrt{2}(1 + \cos^2 x) = 3 \cos x$.

Заметим, что левая часть уравнения $\sqrt{2}(1 + \cos^2 x)$ всегда положительна, поскольку $1 + \cos^2 x \ge 1$. Следовательно, правая часть также должна быть положительной: $3 \cos x > 0$, что означает $\cos x > 0$. Это является областью допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения.

Для решения уравнения введем замену. Пусть $t = \cos x$. С учетом ОДЗ, для новой переменной $t$ должно выполняться условие $0 < t \le 1$.

После подстановки замены в исходное уравнение, мы получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$\sqrt{2}(1 + t^2) = 3t$
Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону:
$\sqrt{2}t^2 - 3t + \sqrt{2} = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a = \sqrt{2}$, $b = -3$, $c = \sqrt{2}$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 9 - 4 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2\sqrt{2}} = \frac{3 + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
$t_2 = \frac{3 - 1}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь проверим, соответствуют ли найденные корни условию $0 < t \le 1$.
Корень $t_1 = \sqrt{2} \approx 1.414$. Этот корень не удовлетворяет условию, так как $\sqrt{2} > 1$, и является посторонним.
Корень $t_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$. Этот корень удовлетворяет условию $0 < \frac{\sqrt{2}}{2} \le 1$.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t_2$:
$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решениями данного простейшего тригонометрического уравнения являются:
$x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
Данные решения удовлетворяют ОДЗ ($\cos x > 0$).

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

10. $\text{tg} x \left(\text{tg} x - \frac{1}{\cos x}\right) = \frac{1}{2}$

Исходное уравнение: $ \tg x \left( \tg x - \frac{1}{\cos x} \right) = \frac{1}{2} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функция $ \tg x $ определена при $ \cos x \neq 0 $. Также в уравнении присутствует дробь $ \frac{1}{\cos x} $, что также требует выполнения условия $ \cos x \neq 0 $. Таким образом, ОДЗ определяется условием $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Преобразуем уравнение. Сначала раскроем скобки:

$ \tg^2 x - \frac{\tg x}{\cos x} = \frac{1}{2} $

Выразим тангенс через синус и косинус, используя тождество $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} $:

$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\cos x} = \frac{1}{2} $

Упростим второй член в левой части:

$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{2} $

Объединим дроби в левой части:

$ \frac{\sin^2 x - \sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{2} $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $, чтобы выразить знаменатель через синус:

$ \frac{\sin^2 x - \sin x}{1 - \sin^2 x} = \frac{1}{2} $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sin x $. Из ОДЗ ($ \cos x \neq 0 $) следует, что $ \sin x \neq \pm 1 $, поэтому для новой переменной $ t $ должно выполняться условие $ t \in (-1, 1) $. Уравнение примет вид:

$ \frac{t^2 - t}{1 - t^2} = \frac{1}{2} $

Решим полученное рациональное уравнение. Используя основное свойство пропорции, получим:

$ 2(t^2 - t) = 1(1 - t^2) $

$ 2t^2 - 2t = 1 - t^2 $

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$ 3t^2 - 2t - 1 = 0 $

Найдем корни этого квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 $

Корни уравнения:

$ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1 $

$ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $ t \in (-1, 1) $.

Корень $ t_1 = 1 $ не входит в интервал $ (-1, 1) $. Он соответствует случаю $ \sin x = 1 $, при котором $ \cos x = 0 $, что противоречит ОДЗ. Следовательно, этот корень является посторонним.

Корень $ t_2 = -\frac{1}{3} $ удовлетворяет условию $ -1 < -\frac{1}{3} < 1 $.

Выполним обратную замену:

$ \sin x = -\frac{1}{3} $

Общее решение этого простейшего тригонометрического уравнения имеет вид:

$ x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Используя свойство нечетности арксинуса $ \arcsin(-a) = -\arcsin(a) $, можно записать ответ в виде:

$ x = (-1)^n \left(-\arcsin\frac{1}{3}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \arcsin\frac{1}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = (-1)^{n+1} \arcsin\frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Решите уравнение (11-20):

11. $\cos^2 x - 2\sin x = -\frac{1}{4}$.

11. Исходное уравнение: $cos^2 x - 2\sin x = -\frac{1}{4}$.

Для решения данного уравнения приведем его к уравнению относительно одной тригонометрической функции. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2 x + cos^2 x = 1$, из которого выразим $cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(1 - \sin^2 x) - 2\sin x = -\frac{1}{4}$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное уравнение:

$1 - \sin^2 x - 2\sin x + \frac{1}{4} = 0$

Приведем подобные члены:

$-\sin^2 x - 2\sin x + \frac{5}{4} = 0$

Чтобы избавиться от дробей и отрицательного коэффициента при старшем члене, умножим обе части уравнения на $-4$:

$4\sin^2 x + 8\sin x - 5 = 0$

Теперь введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус $[-1, 1]$, то для переменной $t$ должно выполняться условие $-1 \le t \le 1$. Уравнение примет вид квадратного:

$4t^2 + 8t - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 + 12}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 - 12}{8} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Теперь вернемся к замене и проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $-1 \le t \le 1$.

Корень $t_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет этому условию, так как $-1 \le \frac{1}{2} \le 1$.

Корень $t_2 = -2.5$ не удовлетворяет условию, так как $-2.5 < -1$. Следовательно, этот корень является посторонним.

Таким образом, мы должны решить только одно простейшее тригонометрическое уравнение:

$\sin x = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения записывается по формуле $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, получаем решение:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

12. $2\sin^2 3x + \cos^2 3x + \sin 3x = 1$

Для решения данного тригонометрического уравнения $2\sin^2 3x + \cos^2 3x + \sin 3x = 1$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Заменим в уравнении $\cos^2 3x$ на выражение $1 - \sin^2 3x$:

$2\sin^2 3x + (1 - \sin^2 3x) + \sin 3x = 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(2\sin^2 3x - \sin^2 3x) + 1 + \sin 3x = 1$

$\sin^2 3x + 1 + \sin 3x = 1$

Перенесем 1 из левой части в правую, или вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$\sin^2 3x + \sin 3x = 1 - 1$

$\sin^2 3x + \sin 3x = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $\sin 3x$. Для удобства введем замену: пусть $t = \sin 3x$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 + t = 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$t(t + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $t = 0$

2) $t + 1 = 0 \implies t

13. $ \cos 2x + 3 \sin x = 2 \cos 0. $

Исходное уравнение:

$cos(2x) + 3sin(x) = 2cos(0)$

Сначала упростим правую часть уравнения. Мы знаем, что $cos(0) = 1$.

$2cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$cos(2x) + 3sin(x) = 2$

Для решения этого уравнения приведем все тригонометрические функции к одному аргументу и одной функции. Используем формулу косинуса двойного угла: $cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)$.

Подставим это выражение в уравнение:

$(1 - 2sin^2(x)) + 3sin(x) = 2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$1 - 2sin^2(x) + 3sin(x) - 2 = 0$

$-2sin^2(x) + 3sin(x) - 1 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы получить положительный коэффициент при старшем члене:

$2sin^2(x) - 3sin(x) + 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $sin(x)$. Сделаем замену переменной: пусть $t = sin(x)$. При этом нужно учесть, что область значений синуса: $-1 \le t \le 1$.

Получаем квадратное уравнение:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Оба корня, $t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = 1$, принадлежат отрезку $[-1; 1]$, следовательно, оба являются возможными значениями для $sin(x)$.

Теперь выполним обратную замену и найдем $x$.

Рассмотрим два случая:

1. $sin(x) = \frac{1}{2}$

Общее решение для этого уравнения:

$x = (-1)^k \cdot arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k, \quad k \in Z$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in Z$

2. $sin(x) = 1$

Это частный случай, решение которого:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in Z$

Объединяя все найденные серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in Z$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in Z$.

14. $3 \sin^2 2x + 7 \cos 2x - \tan^2 {\pi \over 3} = 0.$

Данное уравнение является тригонометрическим. Для его решения преобразуем его к более простому виду.
Исходное уравнение: $3 \sin^2 2x + 7 \cos 2x - \tg^2 \frac{\pi}{3} = 0$.

Шаг 1: Вычисление постоянного члена
Найдем значение выражения $\tg^2 \frac{\pi}{3}$.
Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{3}$ (60°) равно $\sqrt{3}$.
Следовательно, $\tg^2 \frac{\pi}{3} = (\tg \frac{\pi}{3})^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Шаг 2: Подстановка и упрощение уравнения
Подставим вычисленное значение в исходное уравнение:
$3 \sin^2 2x + 7 \cos 2x - 3 = 0$.

Шаг 3: Приведение к одной тригонометрической функции
Чтобы решить уравнение, нужно выразить все тригонометрические функции через одну. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x$.
Заменим $\sin^2 2x$ в уравнении:
$3(1 - \cos^2 2x) + 7 \cos 2x - 3 = 0$.

Шаг 4: Решение алгебраического уравнения
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3 - 3 \cos^2 2x + 7 \cos 2x - 3 = 0$
$-3 \cos^2 2x + 7 \cos 2x = 0$.
Для удобства умножим обе части на -1:
$3 \cos^2 2x - 7 \cos 2x = 0$.
Это неполное квадратное уравнение относительно $\cos 2x$. Вынесем общий множитель $\cos 2x$ за скобки:
$\cos 2x (3 \cos 2x - 7) = 0$.

Шаг 5: Нахождение корней
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два случая:
1) $\cos 2x = 0$
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $3 \cos 2x - 7 = 0$
$3 \cos 2x = 7$
$\cos 2x = \frac{7}{3}$.
Поскольку область значений функции косинуса $[-1; 1]$, а $\frac{7}{3} > 1$, это уравнение не имеет действительных решений.

Таким образом, решения исходного уравнения задаются только первой серией корней.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

15. $3\cos 2x - 8\cos x=11$

Для решения этого тригонометрического уравнения приведем его к алгебраическому виду относительно одной тригонометрической функции. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$.

Подставив эту формулу в заданное уравнение, получим:

$3(2\cos^2(x) - 1) - 8\cos(x) = 11$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$6\cos^2(x) - 3 - 8\cos(x) - 11 = 0$

$6\cos^2(x) - 8\cos(x) - 14 = 0$

Упростим уравнение, разделив обе его части на 2:

$3\cos^2(x) - 4\cos(x) - 7 = 0$

Теперь уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно $\cos(x)$. Чтобы его было проще решить, введем замену переменной. Пусть $t = \cos(x)$. Важно помнить, что область значений косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, поэтому для корней должно выполняться условие $|t| \le 1$.

С учетом замены уравнение принимает вид:

$3t^2 - 4t - 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые находятся по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 10}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

$t_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 10}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Теперь необходимо выполнить обратную замену и проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $|t| \le 1$.

1. Для $t_1 = \frac{7}{3}$ получаем $\cos(x) = \frac{7}{3}$. Так как $\frac{7}{3} > 1$, это значение не входит в область значений функции косинуса. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

2. Для $t_2 = -1$ получаем $\cos(x) = -1$. Это значение удовлетворяет условию $|\cos(x)| \le 1$.

Решим простейшее тригонометрическое уравнение $\cos(x) = -1$. Его решением является серия корней:

$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (то есть $k$ — любое целое число).

Ответ: $\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

16. $\cos^4 \frac{x}{5} + \sin^2 \frac{x}{5} = 1.$

Дано тригонометрическое уравнение:

$$cos^4 \frac{x}{5} + sin^2 \frac{x}{5} = 1$$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha$. Подставим это выражение в исходное уравнение, приняв $\alpha = \frac{x}{5}$:

$$cos^4 \frac{x}{5} + \left(1 - cos^2 \frac{x}{5}\right) = 1$$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$$cos^4 \frac{x}{5} - cos^2 \frac{x}{5} + 1 - 1 = 0$$

$$cos^4 \frac{x}{5} - cos^2 \frac{x}{5} = 0$$

Вынесем общий множитель $cos^2 \frac{x}{5}$ за скобки:

$$cos^2 \frac{x}{5} \left(cos^2 \frac{x}{5} - 1\right) = 0$$

Из основного тригонометрического тождества мы знаем, что $cos^2 \alpha - 1 = -sin^2 \alpha$. Применим это к выражению в скобках:

$$cos^2 \frac{x}{5} \left(-sin^2 \frac{x}{5}\right) = 0$$

Умножим обе части уравнения на -1:

$$cos^2 \frac{x}{5} \cdot sin^2 \frac{x}{5} = 0$$

Это уравнение можно переписать в виде:

$$\left(cos \frac{x}{5} \cdot sin \frac{x}{5}\right)^2 = 0$$

Используем формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$, из которой следует, что $sin\alpha cos\alpha = \frac{1}{2}sin(2\alpha)$.

Подставим это в наше уравнение:

$$\left(\frac{1}{2} sin\left(2 \cdot \frac{x}{5}\right)\right)^2 = 0$$

$$\frac{1}{4} sin^2\left(\frac{2x}{5}\right) = 0$$

$$sin^2\left(\frac{2x}{5}\right) = 0$$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$$sin\left(\frac{2x}{5}\right) = 0$$

Решение этого уравнения имеет вид:

$$\frac{2x}{5} = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$$

Теперь выразим $x$. Умножим обе части на 5:

$$2x = 5\pi n$$

И разделим на 2:

$$x = \frac{5\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $x = \frac{5\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$.

17. $\sin x - 2 \cos 2x = 1.$

Для решения уравнения $ \sin x - 2 \cos 2x = 1 $ преобразуем его, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x $. Это позволит привести уравнение к уравнению, зависящему только от $ \sin x $.

Подставим формулу в исходное уравнение:
$ \sin x - 2(1 - 2 \sin^2 x) = 1 $
Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:
$ \sin x - 2 + 4 \sin^2 x - 1 = 0 $
$ 4 \sin^2 x + \sin x - 3 = 0 $

Получилось квадратное уравнение относительно $ \sin x $. Введем замену переменной: пусть $ t = \sin x $. Так как область значений функции синус $ [-1, 1] $, то для переменной $ t $ должно выполняться условие $ -1 \le t \le 1 $.
Уравнение в новых переменных:
$ 4t^2 + t - 3 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 $
Найдем корни для $ t $:
$ t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1 $
$ t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $

Оба корня, $ t_1 = -1 $ и $ t_2 = \frac{3}{4} $, удовлетворяют условию $ t \in [-1, 1] $. Выполним обратную замену для каждого корня.

1. При $ \sin x = -1 $.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решением которого является серия корней:
$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

2. При $ \sin x = \frac{3}{4} $.
Решение этого уравнения находится по общей формуле для синуса:
$ x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Объединив решения обоих случаев, получаем окончательный результат.
Ответ: $ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad (-1)^k \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

18. $3\sin x - \cos 2x - \sin^2 100x = \cos^2 100x.$

Исходное уравнение:

$$3\sin x - \cos 2x - \sin^2 100x = \cos^2 100x$$

Перенесем член $-\sin^2 100x$ из левой части в правую, изменив его знак:

$$3\sin x - \cos 2x = \cos^2 100x + \sin^2 100x$$

Правая часть уравнения представляет собой основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. В данном случае $\alpha = 100x$, следовательно, правая часть равна 1.

$$\cos^2 100x + \sin^2 100x = 1$$

После упрощения уравнение принимает вид:

$$3\sin x - \cos 2x = 1$$

Чтобы привести уравнение к одной тригонометрической функции, воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.

Подставим это выражение в уравнение:

$$3\sin x - (1 - 2\sin^2 x) = 1$$

Раскроем скобки:

$$3\sin x - 1 + 2\sin^2 x = 1$$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $\sin x$:

$$2\sin^2 x + 3\sin x - 1 - 1 = 0$$

$$2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0$$

Для решения этого уравнения введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Поскольку значения синуса лежат в диапазоне от -1 до 1, на новую переменную накладывается ограничение: $-1 \le t \le 1$.

Уравнение в новых переменных:

$$2t^2 + 3t - 2 = 0$$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$

Найдем корни уравнения для $t$:

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $-1 \le t \le 1$.

Корень $t_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию, так как $-1 \le \frac{1}{2} \le 1$.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < -1$. Следовательно, этот корень является посторонним и не ведет к решениям исходного уравнения.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t_1$:

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

Общее решение этого простейшего тригонометрического уравнения находится по формуле $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = \frac{1}{2}$, и $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Таким образом, получаем общее решение:

$$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

19. $\sqrt{2(1+\sin^2 x)}=-3\sin x.$

Исходное уравнение: $ \sqrt{2(1+\sin^2 x)} = -3\sin x $.

Левая часть уравнения, являясь арифметическим квадратным корнем, всегда неотрицательна. Это накладывает ограничение на правую часть уравнения:$ -3\sin x \ge 0 $Разделив обе части на -3 и изменив знак неравенства, получим:$ \sin x \le 0 $Это область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Решения, не удовлетворяющие этому условию, будут посторонними.

Для решения уравнения возведем обе его части в квадрат:$ (\sqrt{2(1+\sin^2 x)})^2 = (-3\sin x)^2 $$ 2(1+\sin^2 x) = 9\sin^2 x $

Введем замену переменной. Пусть $ t = \sin x $. Учитывая ОДЗ, должно выполняться условие $ t \le 0 $.Подставим $ t $ в уравнение:$ 2(1+t^2) = 9t^2 $

Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно $ t $:$ 2 + 2t^2 = 9t^2 $$ 9t^2 - 2t^2 = 2 $$ 7t^2 = 2 $$ t^2 = \frac{2}{7} $

Из этого следует, что $ t $ может принимать два значения:$ t_1 = \sqrt{\frac{2}{7}} $ и $ t_2 = -\sqrt{\frac{2}{7}} $.

20. $\operatorname{ctg} x \left(4 \operatorname{ctg} x - \frac{4}{\sin x}\right) + \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x = 0.$

Исходное уравнение: $ctg x (4 ctg x - \frac{4}{\sin x}) + tg x \cdot ctg x = 0$.

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

1. Функция котангенса $ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена, когда ее знаменатель не равен нулю, то есть $\sin x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

2. Функция тангенса $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена, когда ее знаменатель не равен нулю, то есть $\cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. В уравнении также присутствует дробь $\frac{4}{\sin x}$, что накладывает то же самое ограничение: $\sin x \neq 0$.

Объединяя все эти условия, получаем, что $x$ не может принимать значения, при которых $\sin x = 0$ или $\cos x = 0$. Это эквивалентно условию $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \neq 0$, откуда $2x \neq \pi n$, и, следовательно, $x \neq \frac{\pi n}{2}$ для любого целого $n$.

Теперь перейдем к упрощению уравнения. Для всех $x$ из ОДЗ произведение $tg x \cdot ctg x = 1$. Подставим это значение в уравнение:

$ctg x (4 ctg x - \frac{4}{\sin x}) + 1 = 0$

Раскроем скобки:

$4 ctg^2 x - \frac{4 ctg x}{\sin x} + 1 = 0$

Заменим $ctg x$ на отношение $\frac{\cos x}{\sin x}$:

$4 \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^2 - \frac{4 \cdot \frac{\cos x}{\sin x}}{\sin x} + 1 = 0$

$4 \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \frac{4 \cos x}{\sin^2 x} + 1 = 0$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на $\sin^2 x$. Так как по ОДЗ $\sin x \neq 0$, то и $\sin^2 x \neq 0$, и это преобразование является равносильным.

$4 \cos^2 x - 4 \cos x + 1 = 0$

Левая часть этого уравнения представляет собой формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 2 \cos x$ и $b = 1$.

$(2 \cos x - 1)^2 = 0$

Это уравнение выполняется только тогда, когда выражение в скобках равно нулю:

$2 \cos x - 1 = 0$

$2 \cos x = 1$

$\cos x = \frac{1}{2}$

Находим общее решение для $x$:

$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Последний шаг — проверка, соответствуют ли найденные решения ОДЗ ($x \neq \frac{\pi k}{2}$).

Серии решений $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ не содержат значений, кратных $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

В июне прошлого года количество солнечных дней в Алматы составляло 25% от количества пасмурных, а количество теплых дней – 20% от прохладных. Только три дня в июне были теплыми и солнечными. Сколько дней были пасмурными и прохладными?

Для решения задачи определим общее количество дней в июне, которое составляет 30 дней. Введем переменные для каждого типа погоды.

Пусть $С$ – это количество солнечных дней, $П$ – количество пасмурных дней, $Т$ – количество теплых дней, и $Х$ – количество прохладных дней. Поскольку каждый день является либо солнечным, либо пасмурным, а также либо теплым, либо прохладным, мы можем записать два основных уравнения: $С + П = 30$ и $Т + Х = 30$.

Из условия задачи известны следующие соотношения:

1. Количество солнечных дней составляло 25% от количества пасмурных, что можно записать как $С = 0.25 \cdot П$.

2. Количество теплых дней составляло 20% от количества прохладных, то есть $Т = 0.20 \cdot Х$.

Сначала найдем общее количество дней каждого типа. Подставим первое соотношение в уравнение $С + П = 30$:

$0.25 \cdot П + П = 30$

$1.25 \cdot П = 30$

$П = 30 \div 1.25 = 24$

Таким образом, в июне было 24 пасмурных дня. Количество солнечных дней равно $С = 30 - П = 30 - 24 = 6$ дней.

Аналогично найдем количество теплых и прохладных дней, подставив второе соотношение в уравнение $Т + Х = 30$:

$0.20 \cdot Х + Х = 30$

$1.20 \cdot Х = 30$

$Х = 30 \div 1.2 = 25$

Следовательно, было 25 прохладных дней. Количество теплых дней равно $Т = 30 - Х = 30 - 25 = 5$ дней.

Итак, мы имеем следующие итоговые цифры: 6 солнечных дней, 24 пасмурных дня, 5 теплых дней и 25 прохладных дней.

В задаче сказано, что 3 дня были одновременно теплыми и солнечными. Нам нужно найти, сколько дней были пасмурными и прохладными. Рассмотрим все возможные комбинации погоды.

Общее число теплых дней равно 5. Из них 3 дня были солнечными, значит, остальные теплые дни были пасмурными. Количество теплых и пасмурных дней равно $5 - 3 = 2$ дня.

Общее число солнечных дней равно 6. Из них 3 дня были теплыми, значит, остальные солнечные дни были прохладными. Количество прохладных и солнечных дней равно $6 - 3 = 3$ дня.

Теперь мы можем найти искомое количество пасмурных и прохладных дней. Мы знаем, что всего было 24 пасмурных дня. Мы уже выяснили, что 2 из этих пасмурных дней были теплыми. Следовательно, все остальные пасмурные дни были прохладными. Их количество составляет:

$24 \text{ (всего пасмурных)} - 2 \text{ (теплые и пасмурные)} = 22 \text{ (прохладные и пасмурные)}$

Для проверки можно сделать расчет и с другой стороны. Всего было 25 прохладных дней. Мы выяснили, что 3 из этих прохладных дней были солнечными. Значит, все остальные прохладные дни были пасмурными. Их количество составляет:

$25 \text{ (всего прохладных)} - 3 \text{ (прохладные и солнечные)} = 22 \text{ (прохладные и пасмурные)}$

Оба расчета приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 22

22. (2) Между числами 36 и $2\frac{1}{4}$ вставьте три числа так, чтобы вместе с данными числами они составили геометрическую прогрессию.

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_n$. По условию, ее первый член $b_1 = 36$. Между первым и последним членами нужно вставить три числа. Это означает, что всего в прогрессии будет $1+3+1 = 5$ членов, а пятый член $b_5 = 2\frac{1}{4}$.

Переведем смешанное число в неправильную дробь: $b_5 = 2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ – знаменатель прогрессии.

Для нашего случая при $n=5$ формула выглядит так: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$:

$\frac{9}{4} = 36 \cdot q^4$

Выразим из этого уравнения $q^4$:

$q^4 = \frac{9}{4 \cdot 36} = \frac{1}{4 \cdot 4} = \frac{1}{16}$

Из данного уравнения следует, что знаменатель прогрессии $q$ может принимать два действительных значения, так как корень четвертой степени извлекается из положительного числа:

$q_1 = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}$

$q_2 = -\sqrt[4]{\frac{1}{16}} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, существуют два возможных набора чисел. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Найдем три числа, которые нужно вставить ($b_2, b_3, b_4$):

$b_2 = b_1 \cdot q = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$

$b_3 = b_2 \cdot q = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$

$b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4.5$

В этом случае искомые числа: 18, 9, 4.5.

Случай 2: Знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{2}$.

Найдем три числа, которые нужно вставить:

$b_2 = b_1 \cdot q = 36 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -18$

$b_3 = b_2 \cdot q = -18 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 9$

$b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -4.5$

В этом случае искомые числа: -18, 9, -4.5.

Ответ: 18; 9; 4,5 или -18; 9; -4,5.

1. Исследуйте на четность и нечетность функции:

А. $f(x)=x^5+2x^3$,

Б. $f(x)=2x^3-x|x|$.

А. $f(x) = x^5 + 2x^3$

Для того чтобы исследовать функцию на четность или нечетность, необходимо найти ее значение от аргумента $-x$ и сравнить с исходным значением $f(x)$.

1. Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа $(-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^5 + 2(-x)^3 = -x^5 - 2x^3$

3. Сравним полученное выражение с $f(x)$ и $-f(x)$.

$-f(x) = -(x^5 + 2x^3) = -x^5 - 2x^3$

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

Б. $f(x) = 2x^3 - x|x|$

Исследуем данную функцию аналогичным образом.

1. Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа $(-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$, используя свойства модуля $|-x| = |x|$ и нечетной степени $(-x)^3 = -x^3$:

$f(-x) = 2(-x)^3 - (-x)|-x| = 2(-x^3) - (-x)|x| = -2x^3 + x|x|$

3. Сравним полученное выражение с $f(x)$ и $-f(x)$.

$-f(x) = -(2x^3 - x|x|) = -2x^3 + x|x|$

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:

А. $f(x)=9x+3x^2-x^3$, $[-2;2];$

Б. $f(x)=4x+\frac{1}{\sqrt{x}}-8$, $[\frac{1}{9};1].$

A. f(x)=9x+3x^2-x^3, [-2;2]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, нужно выполнить следующие шаги: найти производную функции, определить критические точки (где производная равна нулю или не существует), выбрать те из них, которые принадлежат отрезку, и вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка. Наибольшее и наименьшее из полученных значений и будут искомыми.

1. Находим производную функции $f(x) = 9x + 3x^2 - x^3$:

$f'(x) = (9x + 3x^2 - x^3)' = 9 + 6x - 3x^2$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$9 + 6x - 3x^2 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на $-3$:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решаем это квадратное уравнение, например, с помощью теоремы Виета. Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

3. Проверяем, какие из критических точек попадают в заданный промежуток $[-2; 2]$.

Корень $x = 3$ не принадлежит отрезку $[-2; 2]$.

Корень $x = -1$ принадлежит отрезку $[-2; 2]$.

4. Вычисляем значения функции в точке $x = -1$ и на концах отрезка, то есть в точках $x = -2$ и $x = 2$.

При $x = -1$: $f(-1) = 9(-1) + 3(-1)^2 - (-1)^3 = -9 + 3 \cdot 1 - (-1) = -9 + 3 + 1 = -5$.

При $x = -2$: $f(-2) = 9(-2) + 3(-2)^2 - (-2)^3 = -18 + 3 \cdot 4 - (-8) = -18 + 12 + 8 = 2$.

При $x = 2$: $f(2) = 9(2) + 3(2)^2 - (2)^3 = 18 + 3 \cdot 4 - 8 = 18 + 12 - 8 = 22$.

5. Сравниваем полученные значения: $-5$, $2$, $22$.

Наибольшее значение функции на отрезке равно $22$, а наименьшее – $-5$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $22$, наименьшее значение функции равно $-5$.

Б. f(x)=4x+1/√x-8, [1/9;1]

Применяем тот же алгоритм для функции $f(x) = 4x + \frac{1}{\sqrt{x}} - 8$ на отрезке $[\frac{1}{9}; 1]$.

1. Находим производную функции. Удобнее представить функцию в виде $f(x) = 4x + x^{-1/2} - 8$.

$f'(x) = (4x + x^{-1/2} - 8)' = 4 - \frac{1}{2}x^{-3/2} = 4 - \frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

2. Находим критические точки из условия $f'(x) = 0$:

$4 - \frac{1}{2x^{3/2}} = 0$

$4 = \frac{1}{2x^{3/2}}$

$8x^{3/2} = 1$

$x^{3/2} = \frac{1}{8}$

Возводим обе части в степень $\frac{2}{3}$:

$x = (\frac{1}{8})^{2/3} = (\sqrt[3]{\frac{1}{8}})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

3. Проверяем, принадлежит ли точка $x = \frac{1}{4}$ отрезку $[\frac{1}{9}; 1]$.

Поскольку $\frac{1}{9} \approx 0.11$, а $\frac{1}{4} = 0.25$, то $\frac{1}{9} < \frac{1}{4} < 1$. Точка принадлежит отрезку.

4. Вычисляем значения функции в критической точке $x = \frac{1}{4}$ и на концах отрезка $x = \frac{1}{9}$ и $x = 1$.

При $x = \frac{1}{4}$: $f(\frac{1}{4}) = 4 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{\sqrt{1/4}} - 8 = 1 + \frac{1}{1/2} - 8 = 1 + 2 - 8 = -5$.

При $x = \frac{1}{9}$: $f(\frac{1}{9}) = 4 \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{\sqrt{1/9}} - 8 = \frac{4}{9} + \frac{1}{1/3} - 8 = \frac{4}{9} + 3 - 8 = \frac{4}{9} - 5 = \frac{4-45}{9} = -\frac{41}{9}$.

При $x = 1$: $f(1) = 4 \cdot 1 + \frac{1}{\sqrt{1}} - 8 = 4 + 1 - 8 = -3$.

5. Сравниваем полученные значения: $-5$, $-\frac{41}{9}$ (это примерно $-4.56$) и $-3$.

Наименьшее из этих чисел – это $-5$. Наибольшее – это $-3$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $-3$, наименьшее значение функции равно $-5$.

3. Решить уравнение:

А. $ \sin 3x = \sin x; $

Б. $ \cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \cos x, $ число корней на $ \left[-\pi; \frac{7\pi}{6}\right]. $

А. sin3x = sinx

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ \sin(3x) - \sin(x) = 0 $

Воспользуемся формулой разности синусов $ \sin(\alpha) - \sin(\beta) = 2\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) $:

$ 2\sin\left(\frac{3x-x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x+x}{2}\right) = 0 $

$ 2\sin(x)\cos(2x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1) $ \sin(x) = 0 $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = \pi n, \quad n \in Z $

2) $ \cos(2x) = 0 $

Это частный случай тригонометрического уравнения, решением которого является:

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in Z $

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in Z $

Таким образом, общее решение исходного уравнения представляет собой объединение двух серий корней.

Ответ: $ x = \pi n, n \in Z $; $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z $.

Б. cos(x - π/6) = cosx, число корней на [-π; 7π/6]

Сначала решим уравнение $ \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \cos(x) $.

Перенесем все члены в левую часть:

$ \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) - \cos(x) = 0 $

Воспользуемся формулой разности косинусов $ \cos(\alpha) - \cos(\beta) = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $:

$ -2\sin\left(\frac{x - \frac{\pi}{6} + x}{2}\right)\sin\left(\frac{x - \frac{\pi}{6} - x}{2}\right) = 0 $

$ -2\sin\left(\frac{2x - \frac{\pi}{6}}{2}\right)\sin\left(\frac{-\frac{\pi}{6}}{2}\right) = 0 $

$ -2\sin\left(x - \frac{\pi}{12}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right) = 0 $

Поскольку $ \sin\left(-\frac{\pi}{12}\right) $ является ненулевой константой, для выполнения равенства необходимо, чтобы:

$ \sin\left(x - \frac{\pi}{12}\right) = 0 $

Решаем это уравнение:

$ x - \frac{\pi}{12} = \pi n, \quad n \in Z $

$ x = \frac{\pi}{12} + \pi n, \quad n \in Z $

Теперь найдем количество корней, принадлежащих отрезку $ \left[-\pi; \frac{7\pi}{6}\right] $. Для этого решим двойное неравенство относительно $ n $:

$ -\pi \le \frac{\pi}{12} + \pi n \le \frac{7\pi}{6} $

Разделим все части неравенства на $ \pi $:

$ -1 \le \frac{1}{12} + n \le \frac{7}{6} $

Вычтем $ \frac{1}{12} $ из всех частей:

$ -1 - \frac{1}{12} \le n \le \frac{7}{6} - \frac{1}{12} $

$ -\frac{12}{12} - \frac{1}{12} \le n \le \frac{14}{12} - \frac{1}{12} $

$ -\frac{13}{12} \le n \le \frac{13}{12} $

Так как $ n $ - целое число, то подходящие значения $ n $: $ -1, 0, 1 $.

Найдем соответствующие корни:

При $ n = -1: \quad x = \frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{11\pi}{12} $.

При $ n = 0: \quad x = \frac{\pi}{12} $.

При $ n = 1: \quad x = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12} $.

Все три найденных корня принадлежат отрезку $ \left[-\pi; \frac{7\pi}{6}\right] $. Следовательно, на данном отрезке уравнение имеет 3 корня.

Ответ: 3.

4. Найдите решение неравенства, принадлежащие указанному промежутку:

A. $\sin x \ge \frac{1}{2}, x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}\right)$;

Б. $\cos \frac{x}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2}, x \in \left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$.

А. Требуется найти решение неравенства $ \sin x \geq \frac{1}{2} $ на промежутке $ x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}) $.
Сначала найдем общее решение неравенства $ \sin x \geq \frac{1}{2} $. Соответствующее уравнение $ \sin x = \frac{1}{2} $ имеет решения $ x = \frac{\pi}{6} $ и $ x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $ на одном обороте единичной окружности.
Неравенство $ \sin x \geq \frac{1}{2} $ выполняется для углов, синус которых больше или равен $ \frac{1}{2} $. На единичной окружности это соответствует дуге от $ \frac{\pi}{6} $ до $ \frac{5\pi}{6} $.
Таким образом, общее решение неравенства имеет вид $ x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n] $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Теперь необходимо выбрать решения, принадлежащие заданному промежутку $ x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}) $.
Рассмотрим случай при $ n=0 $: получаем промежуток $ [\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}] $.
Проверим, принадлежит ли этот промежуток указанному интервалу $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}) $.
Так как $ -\frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{6} $ и $ \frac{7\pi}{6} $, то $ -\frac{3\pi}{6} < \frac{\pi}{6} $ и $ \frac{5\pi}{6} < \frac{7\pi}{6} $.
Следовательно, весь промежуток $ [\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}] $ входит в заданный интервал.
При других целых значениях $ n $ (например, $ n=1 $ или $ n=-1 $) получаемые промежутки решений будут лежать вне заданного интервала $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}) $.
Ответ: $ [\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}] $.

Б. Требуется найти решение неравенства $ \cos \frac{x}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2} $ на промежутке $ x \in [-\frac{\pi}{2}; 0] $.
Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \frac{x}{2} $. Неравенство примет вид $ \cos t > \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Найдем, какому промежутку принадлежит новая переменная $ t $. Если $ x \in [-\frac{\pi}{2}; 0] $, то $ t = \frac{x}{2} \in [\frac{1}{2}(-\frac{\pi}{2}); \frac{1}{2}(0)] $, то есть $ t \in [-\frac{\pi}{4}; 0] $.
Теперь решим неравенство $ \cos t > \frac{\sqrt{3}}{2} $. Общее решение этого неравенства: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Нам нужно найти пересечение этого множества решений с промежутком $ t \in [-\frac{\pi}{4}; 0] $.
При $ n=0 $ получаем интервал $ t \in (-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}) $.
Найдем пересечение $ (-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}) \cap [-\frac{\pi}{4}; 0] $.
Так как $ -\frac{\pi}{4} < -\frac{\pi}{6} $, то пересечение будет $ (-\frac{\pi}{6}; 0] $.
Таким образом, для переменной $ t $ мы имеем решение $ -\frac{\pi}{6} < t \leq 0 $.
Теперь выполним обратную замену $ t = \frac{x}{2} $:
$ -\frac{\pi}{6} < \frac{x}{2} \leq 0 $.
Умножим все части двойного неравенства на 2, чтобы найти $ x $:
$ 2 \cdot (-\frac{\pi}{6}) < 2 \cdot \frac{x}{2} \leq 2 \cdot 0 $
$ -\frac{\pi}{3} < x \leq 0 $.
Полученный промежуток $ (-\frac{\pi}{3}; 0] $ полностью содержится в исходном промежутке $ [-\frac{\pi}{2}; 0] $.
Ответ: $ (-\frac{\pi}{3}; 0] $.

5. Найдите область определения функций:

А. $y=\arcsin(x^2+x-1)$;

Б. $y=\arccos(\sqrt{2-x})$.

А.

Областью определения функции арксинус является отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для функции $y=\arcsin(x^2+x-1)$ должно выполняться неравенство:

$-1 \le x^2+x-1 \le 1$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2+x-1 \ge -1 \\ x^2+x-1 \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$x^2+x-1 \ge -1$

$x^2+x \ge 0$

$x(x+1) \ge 0$

Найдем корни уравнения $x(x+1)=0$. Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Графиком функции $f(x)=x^2+x$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $x(x+1) \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$.

Решим второе неравенство системы:

$x^2+x-1 \le 1$

$x^2+x-2 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2+x-2 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Графиком функции $g(x)=x^2+x-2$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $x^2+x-2 \le 0$ выполняется при $x \in [-2, 1]$.

Теперь найдем пересечение решений двух неравенств: $(-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$ и $[-2, 1]$.

Пересечение множеств дает нам итоговый результат $x \in [-2, -1] \cup [0, 1]$.

Ответ: $D(y) = [-2, -1] \cup [0, 1]$.

Б.

Область определения функции арккосинус, так же как и у арксинуса, является отрезок $[-1, 1]$. Кроме того, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Таким образом, для функции $y=\arccos(\sqrt{2-x})$ должны одновременно выполняться два условия:

1. Аргумент подкоренного выражения должен быть неотрицательным: $2-x \ge 0$.

2. Аргумент арккосинуса должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$: $-1 \le \sqrt{2-x} \le 1$.

Объединим эти условия в систему:

$\begin{cases} 2-x \ge 0 \\ -1 \le \sqrt{2-x} \le 1 \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство:

$2-x \ge 0 \implies x \le 2$.

Рассмотрим второе (двойное) неравенство: $-1 \le \sqrt{2-x} \le 1$.

Поскольку квадратный корень по определению всегда неотрицателен ($\sqrt{2-x} \ge 0$), левая часть двойного неравенства, $\sqrt{2-x} \ge -1$, выполняется для всех $x$, для которых корень определен (то есть для $x \le 2$).

Поэтому остается решить только правую часть неравенства:

$\sqrt{2-x} \le 1$

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{2-x})^2 \le 1^2$

$2-x \le 1$

$-x \le -1$

$x \ge 1$

Теперь найдем пересечение решений всех условий: $x \le 2$ и $x \ge 1$.

Это соответствует отрезку $[1, 2]$.

Ответ: $D(y) = [1, 2]$.

6.

А. Лодка находится на озере на расстоянии 3 км от ближайшей точки А берега. Пассажир лодки желает достигнуть села B, находящегося на берегу на расстоянии 5 км от А (участок $\text{AB}$ считаем прямолинейным). Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села в кратчайшее время?

Б. Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей точки шоссе. С буровой надо направить курьера в населенный пункт, расположенный на шоссе в 15 км от упомянутой точки (считаем шоссе прямолинейным). Скорость курьера на велосипеде по полю 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достичь населенного пункта?

А.

Это задача на оптимизацию. Нам нужно найти такое место на берегу, чтобы общее время в пути было минимальным. Общее время складывается из времени движения на лодке и времени движения пешком.

Введем систему координат. Пусть точка A (ближайшая точка берега к лодке) будет началом координат (0, 0). Тогда берег совпадает с осью Ox. Село B находится в точке (5, 0), а начальное положение лодки L — в точке (0, 3).

Пусть лодка пристает к берегу в точке P с координатой $x$ на отрезке AB. Координаты точки P будут $(x, 0)$, где $0 \le x \le 5$.

Путь пассажира состоит из двух участков:

1. Движение на лодке от точки L(0, 3) до точки P(x, 0). Расстояние этого участка, согласно теореме Пифагора, равно $d_1 = \sqrt{(x-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{x^2 + 9}$ км. Время в пути на лодке со скоростью 4 км/ч составит $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{4}$ ч.

2. Движение пешком от точки P(x, 0) до села B(5, 0). Расстояние этого участка равно $d_2 = 5 - x$ км. Время в пути пешком со скоростью 5 км/ч составит $t_2 = \frac{d_2}{v_2} = \frac{5 - x}{5}$ ч.

Суммарное время в пути как функция от $x$ равно:

$T(x) = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{4} + \frac{5 - x}{5}$

Чтобы найти минимальное время, нужно найти минимум этой функции на отрезке $[0, 5]$. Для этого найдем ее производную по $x$:

$T'(x) = \left(\frac{\sqrt{x^2 + 9}}{4} + \frac{5 - x}{5}\right)' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 9}} \cdot (x^2 + 9)' - \frac{1}{5} = \frac{2x}{8\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{5} = \frac{x}{4\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{5}$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$\frac{x}{4\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{5} = 0$

$\frac{x}{4\sqrt{x^2 + 9}} = \frac{1}{5}$

$5x = 4\sqrt{x^2 + 9}$

Возведем обе части уравнения в квадрат (т.к. $x \ge 0$, обе части неотрицательны):

$25x^2 = 16(x^2 + 9)$

$25x^2 = 16x^2 + 144$

$9x^2 = 144$

$x^2 = 16$

$x = 4$ (отрицательный корень не подходит, так как $x$ - это расстояние).

Точка $x=4$ принадлежит отрезку $[0, 5]$. Это единственная критическая точка. Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно проверить значения функции на концах отрезка и в этой точке, либо по знаку производной. Так как при $x < 4$ производная отрицательна, а при $x > 4$ — положительна, точка $x=4$ является точкой минимума.

Таким образом, лодка должна пристать к берегу в точке, находящейся на расстоянии 4 км от точки А в сторону села В.

Ответ: Лодка должна пристать к берегу в точке, удаленной на 4 км от ближайшей точки А в направлении села В.

Б.

Задача аналогична предыдущей. Необходимо найти точку на шоссе, чтобы общее время курьера было минимальным.

Введем систему координат. Пусть ближайшая к вышке точка на шоссе (назовем ее H) находится в начале координат (0, 0). Тогда шоссе совпадает с осью Ox. Населенный пункт (назовем его T) находится в точке (15, 0), а буровая вышка (D) — в точке (0, 9).

Пусть курьер выезжает на шоссе в точке P с координатой $x$. Координаты точки P будут $(x, 0)$, где $0 \le x \le 15$.

Путь курьера состоит из двух участков:

1. Движение по полю от вышки D(0, 9) до точки P(x, 0). Расстояние этого участка равно $d_1 = \sqrt{(x-0)^2 + (0-9)^2} = \sqrt{x^2 + 81}$ км. Время в пути по полю со скоростью 8 км/ч составит $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{\sqrt{x^2 + 81}}{8}$ ч.

2. Движение по шоссе от точки P(x, 0) до пункта T(15, 0). Расстояние этого участка равно $d_2 = 15 - x$ км. Время в пути по шоссе со скоростью 10 км/ч составит $t_2 = \frac{d_2}{v_2} = \frac{15 - x}{10}$ ч.

Суммарное время в пути как функция от $x$ равно:

$T(x) = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{x^2 + 81}}{8} + \frac{15 - x}{10}$

Для нахождения минимума этой функции на отрезке $[0, 15]$ найдем ее производную по $x$:

$T'(x) = \left(\frac{\sqrt{x^2 + 81}}{8} + \frac{15 - x}{10}\right)' = \frac{1}{8} \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 81}} - \frac{1}{10} = \frac{x}{8\sqrt{x^2 + 81}} - \frac{1}{10}$

Приравняем производную к нулю:

$\frac{x}{8\sqrt{x^2 + 81}} - \frac{1}{10} = 0$

$\frac{x}{8\sqrt{x^2 + 81}} = \frac{1}{10}$

$10x = 8\sqrt{x^2 + 81}$

$5x = 4\sqrt{x^2 + 81}$

Возведем обе части в квадрат:

$25x^2 = 16(x^2 + 81)$

$25x^2 = 16x^2 + 1296$

$9x^2 = 1296$

$x^2 = 144$

$x = 12$ (отрицательный корень не подходит).

Точка $x=12$ принадлежит отрезку $[0, 15]$ и является единственной критической точкой. Аналогично предыдущей задаче, это точка минимума.

Следовательно, курьеру нужно ехать по полю к точке на шоссе, которая находится на расстоянии 12 км от ближайшей к вышке точки H в сторону населенного пункта.

Ответ: Курьеру надо ехать к точке на шоссе, расположенной в 12 км от ближайшей к вышке точки в направлении населенного пункта.