Номер 4, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. Найдите решение неравенства, принадлежащие указанному промежутку:

A. $\sin x \ge \frac{1}{2}, x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}\right)$;

Б. $\cos \frac{x}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2}, x \in \left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$.

А. Требуется найти решение неравенства $ \sin x \geq \frac{1}{2} $ на промежутке $ x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}) $.
Сначала найдем общее решение неравенства $ \sin x \geq \frac{1}{2} $. Соответствующее уравнение $ \sin x = \frac{1}{2} $ имеет решения $ x = \frac{\pi}{6} $ и $ x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $ на одном обороте единичной окружности.
Неравенство $ \sin x \geq \frac{1}{2} $ выполняется для углов, синус которых больше или равен $ \frac{1}{2} $. На единичной окружности это соответствует дуге от $ \frac{\pi}{6} $ до $ \frac{5\pi}{6} $.
Таким образом, общее решение неравенства имеет вид $ x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n] $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Теперь необходимо выбрать решения, принадлежащие заданному промежутку $ x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}) $.
Рассмотрим случай при $ n=0 $: получаем промежуток $ [\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}] $.
Проверим, принадлежит ли этот промежуток указанному интервалу $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}) $.
Так как $ -\frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{6} $ и $ \frac{7\pi}{6} $, то $ -\frac{3\pi}{6} < \frac{\pi}{6} $ и $ \frac{5\pi}{6} < \frac{7\pi}{6} $.
Следовательно, весь промежуток $ [\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}] $ входит в заданный интервал.
При других целых значениях $ n $ (например, $ n=1 $ или $ n=-1 $) получаемые промежутки решений будут лежать вне заданного интервала $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}) $.
Ответ: $ [\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}] $.

Б. Требуется найти решение неравенства $ \cos \frac{x}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2} $ на промежутке $ x \in [-\frac{\pi}{2}; 0] $.
Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \frac{x}{2} $. Неравенство примет вид $ \cos t > \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Найдем, какому промежутку принадлежит новая переменная $ t $. Если $ x \in [-\frac{\pi}{2}; 0] $, то $ t = \frac{x}{2} \in [\frac{1}{2}(-\frac{\pi}{2}); \frac{1}{2}(0)] $, то есть $ t \in [-\frac{\pi}{4}; 0] $.
Теперь решим неравенство $ \cos t > \frac{\sqrt{3}}{2} $. Общее решение этого неравенства: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Нам нужно найти пересечение этого множества решений с промежутком $ t \in [-\frac{\pi}{4}; 0] $.
При $ n=0 $ получаем интервал $ t \in (-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}) $.
Найдем пересечение $ (-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}) \cap [-\frac{\pi}{4}; 0] $.
Так как $ -\frac{\pi}{4} < -\frac{\pi}{6} $, то пересечение будет $ (-\frac{\pi}{6}; 0] $.
Таким образом, для переменной $ t $ мы имеем решение $ -\frac{\pi}{6} < t \leq 0 $.
Теперь выполним обратную замену $ t = \frac{x}{2} $:
$ -\frac{\pi}{6} < \frac{x}{2} \leq 0 $.
Умножим все части двойного неравенства на 2, чтобы найти $ x $:
$ 2 \cdot (-\frac{\pi}{6}) < 2 \cdot \frac{x}{2} \leq 2 \cdot 0 $
$ -\frac{\pi}{3} < x \leq 0 $.
Полученный промежуток $ (-\frac{\pi}{3}; 0] $ полностью содержится в исходном промежутке $ [-\frac{\pi}{2}; 0] $.
Ответ: $ (-\frac{\pi}{3}; 0] $.