Номер 3, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. Решить уравнение:

А. $ \sin 3x = \sin x; $

Б. $ \cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \cos x, $ число корней на $ \left[-\pi; \frac{7\pi}{6}\right]. $

А. sin3x = sinx

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ \sin(3x) - \sin(x) = 0 $

Воспользуемся формулой разности синусов $ \sin(\alpha) - \sin(\beta) = 2\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) $:

$ 2\sin\left(\frac{3x-x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x+x}{2}\right) = 0 $

$ 2\sin(x)\cos(2x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1) $ \sin(x) = 0 $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = \pi n, \quad n \in Z $

2) $ \cos(2x) = 0 $

Это частный случай тригонометрического уравнения, решением которого является:

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in Z $

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in Z $

Таким образом, общее решение исходного уравнения представляет собой объединение двух серий корней.

Ответ: $ x = \pi n, n \in Z $; $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z $.

Б. cos(x - π/6) = cosx, число корней на [-π; 7π/6]

Сначала решим уравнение $ \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \cos(x) $.

Перенесем все члены в левую часть:

$ \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) - \cos(x) = 0 $

Воспользуемся формулой разности косинусов $ \cos(\alpha) - \cos(\beta) = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $:

$ -2\sin\left(\frac{x - \frac{\pi}{6} + x}{2}\right)\sin\left(\frac{x - \frac{\pi}{6} - x}{2}\right) = 0 $

$ -2\sin\left(\frac{2x - \frac{\pi}{6}}{2}\right)\sin\left(\frac{-\frac{\pi}{6}}{2}\right) = 0 $

$ -2\sin\left(x - \frac{\pi}{12}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right) = 0 $

Поскольку $ \sin\left(-\frac{\pi}{12}\right) $ является ненулевой константой, для выполнения равенства необходимо, чтобы:

$ \sin\left(x - \frac{\pi}{12}\right) = 0 $

Решаем это уравнение:

$ x - \frac{\pi}{12} = \pi n, \quad n \in Z $

$ x = \frac{\pi}{12} + \pi n, \quad n \in Z $

Теперь найдем количество корней, принадлежащих отрезку $ \left[-\pi; \frac{7\pi}{6}\right] $. Для этого решим двойное неравенство относительно $ n $:

$ -\pi \le \frac{\pi}{12} + \pi n \le \frac{7\pi}{6} $

Разделим все части неравенства на $ \pi $:

$ -1 \le \frac{1}{12} + n \le \frac{7}{6} $

Вычтем $ \frac{1}{12} $ из всех частей:

$ -1 - \frac{1}{12} \le n \le \frac{7}{6} - \frac{1}{12} $

$ -\frac{12}{12} - \frac{1}{12} \le n \le \frac{14}{12} - \frac{1}{12} $

$ -\frac{13}{12} \le n \le \frac{13}{12} $

Так как $ n $ - целое число, то подходящие значения $ n $: $ -1, 0, 1 $.

Найдем соответствующие корни:

При $ n = -1: \quad x = \frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{11\pi}{12} $.

При $ n = 0: \quad x = \frac{\pi}{12} $.

При $ n = 1: \quad x = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12} $.

Все три найденных корня принадлежат отрезку $ \left[-\pi; \frac{7\pi}{6}\right] $. Следовательно, на данном отрезке уравнение имеет 3 корня.

Ответ: 3.