Номер 5, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5.

А. Периметр прямоугольника равен 12 м. Каким должна быть длина сторон, чтобы его площадь была наибольшей?

Б. Из всех прямоугольников площадью 100 $\text{м}^2$ найдите тот, периметр которого наименьший.

А. Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, а его площадь по формуле $S = a \cdot b$.

По условию, периметр равен 12 м:$2(a + b) = 12$$a + b = 6$

Выразим одну сторону через другую, например, $b = 6 - a$. Подставим это выражение в формулу площади:$S(a) = a \cdot b = a(6 - a) = 6a - a^2$.

Мы получили функцию площади $S(a) = -a^2 + 6a$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Свое наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы. Абсцисса вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$.

В нашем случае $A = -1$, $B = 6$. Найдем сторону $a$, при которой площадь будет максимальной:$a = -\frac{6}{2(-1)} = 3$ м.

Теперь найдем вторую сторону $b$:$b = 6 - a = 6 - 3 = 3$ м.

Таким образом, чтобы площадь была наибольшей, прямоугольник должен быть квадратом со стороной 3 м. Его площадь будет равна $S = 3 \cdot 3 = 9$ м².

Ответ: чтобы площадь была наибольшей, длины сторон прямоугольника должны быть равны 3 м и 3 м.

Б. Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Площадь прямоугольника $S = a \cdot b$, а периметр $P = 2(a + b)$.

По условию, площадь равна 100 м²:$a \cdot b = 100$.

Выразим одну сторону через другую: $b = \frac{100}{a}$. Подставим это выражение в формулу периметра:$P(a) = 2(a + \frac{100}{a})$.

Чтобы найти наименьшее значение периметра, нужно найти точку минимума функции $P(a)$. Для этого найдем ее производную и приравняем к нулю.$P'(a) = (2a + \frac{200}{a})' = 2 - \frac{200}{a^2}$.

Приравняем производную к нулю:$2 - \frac{200}{a^2} = 0$$2 = \frac{200}{a^2}$$2a^2 = 200$$a^2 = 100$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, получаем $a = 10$ м.

Найдем вторую сторону $b$:$b = \frac{100}{a} = \frac{100}{10} = 10$ м.

Таким образом, из всех прямоугольников с площадью 100 м² наименьший периметр имеет квадрат со стороной 10 м. Его периметр равен $P = 2(10 + 10) = 40$ м.

Ответ: прямоугольник с наименьшим периметром — это квадрат со стороной 10 м.