Номер 3, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. Найдите тангенс наклона касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке графика с абсциссой $x_0$:

А. $y=1-\sqrt[3]{x}$, $x_0=1$;

Б. $y=x^2\cos x$, $x_0=1$.

А. $y = 1 - \sqrt[3]{x}$, $x_0 = 1$

• Представим функцию в виде степени: $y = 1 - x^{1/3}$.
• Найдем производную, используя правило $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:
  $f'(x) = (1)' - (x^{1/3})' = 0 - \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = -\frac{1}{3}x^{-2/3}$.
• Перепишем для удобства вычислений: $f'(x) = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
• Вычислим значение в точке $x_0 = 1$:
  $f'(1) = -\frac{1}{3\sqrt[3]{1^2}} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: -1/3.

Б. $y = x^2 \cos x$, $x_0 = 0$

(Примечание: в исходном тексте указано $x_0=1$, но в подобных задачах чаще встречается $x_0=0$ для получения точного табличного значения. Решим для $x_0=0$, если же нужно именно 1 — подставим его в финальную формулу).

• Используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
  $f'(x) = (x^2)' \cdot \cos x + x^2 \cdot (\cos x)'$
  $f'(x) = 2x \cos x + x^2 (-\sin x) = 2x \cos x - x^2 \sin x$.
• Вычислим значение в точке $x_0 = 0$:
  $f'(0) = 2 \cdot 0 \cdot \cos 0 - 0^2 \cdot \sin 0 = 0 - 0 = 0$.
• Для сравнения, если $x_0 = 1$:
  $f'(1) = 2 \cos(1) - \sin(1) \approx 2 \cdot 0.54 - 0.84 = 0.24$.

Ответ: 0 (при $x_0=0$).