Номер 6, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. Найдите:

А. $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5x^3}{1+5x^2} + \frac{1-3x^2}{3x+1}\right)$;

Б. $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{1-2} - \frac{12}{x^3-8}\right).$

А. Требуется найти предел $ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{5x^3}{1+5x^2} + \frac{1-3x^2}{3x+1} \right) $.

При $ x \to \infty $ пределы каждого слагаемого в отдельности дают неопределенность: $ \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3}{1+5x^2} = \infty $ и $ \lim_{x \to \infty} \frac{1-3x^2}{3x+1} = -\infty $. В результате мы имеем дело с неопределенностью вида $ \infty - \infty $. Чтобы ее раскрыть, приведем дроби к общему знаменателю.

$ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{5x^3(3x+1) + (1-3x^2)(1+5x^2)}{(1+5x^2)(3x+1)} \right) $

Раскроем скобки в числителе и знаменателе.

Числитель: $ 5x^3(3x+1) + (1-3x^2)(1+5x^2) = (15x^4 + 5x^3) + (1 + 5x^2 - 3x^2 - 15x^4) = 5x^3 + 2x^2 + 1 $.

Знаменатель: $ (1+5x^2)(3x+1) = 3x + 1 + 15x^3 + 5x^2 = 15x^3 + 5x^2 + 3x + 1 $.

Подставим полученные выражения обратно в предел:

$ \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2x^2 + 1}{15x^3 + 5x^2 + 3x + 1} $

Теперь мы имеем неопределенность вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $ x $, то есть на $ x^3 $.

$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x^3}{x^3} + \frac{2x^2}{x^3} + \frac{1}{x^3}}{\frac{15x^3}{x^3} + \frac{5x^2}{x^3} + \frac{3x}{x^3} + \frac{1}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}}{15 + \frac{5}{x} + \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^3}} $

Поскольку при $ x \to \infty $ все слагаемые вида $ \frac{c}{x^n} $ (где $ n>0 $) стремятся к нулю, получаем:

$ \frac{5 + 0 + 0}{15 + 0 + 0 + 0} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} $

Ответ: $ \frac{1}{3} $.

Б. Требуется найти предел $ \lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{12}{x^3-8} \right) $.

При подстановке $ x=2 $ в каждое слагаемое получаем $ \frac{1}{0} - \frac{12}{0} $, что является неопределенностью вида $ \infty - \infty $. Для раскрытия неопределенности приведем дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатель второй дроби $ x^3-8 $ на множители, используя формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $.

$ x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4) $

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $ (x-2)(x^2+2x+4) $:

$ \lim_{x \to 2} \left( \frac{1 \cdot (x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)} - \frac{12}{(x-2)(x^2+2x+4)} \right) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2+2x+4-12}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2+2x-8}{(x-2)(x^2+2x+4)} $

При подстановке $ x=2 $ в новое выражение получаем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $. Это означает, что мы можем сократить дробь на множитель $ (x-2) $. Для этого разложим числитель $ x^2+2x-8 $ на множители. Найдем корни квадратного уравнения $ x^2+2x-8=0 $. По теореме Виета, сумма корней равна $ -2 $, а произведение равно $ -8 $. Корнями являются $ x_1=2 $ и $ x_2=-4 $. Следовательно, $ x^2+2x-8 = (x-2)(x+4) $.

Подставим разложение в предел:

$ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)} $

Сократим на $ (x-2) $, так как по определению предела $ x \to 2 $, но $ x \neq 2 $:

$ \lim_{x \to 2} \frac{x+4}{x^2+2x+4} $

Теперь можно подставить $ x=2 $ в полученное непрерывное выражение:

$ \frac{2+4}{2^2+2 \cdot 2+4} = \frac{6}{4+4+4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $.