Номер 5, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. Найдите область определения функций:

А. $y=\arcsin(x^2+x-1)$;

Б. $y=\arccos(\sqrt{2-x})$.

А.

Областью определения функции арксинус является отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для функции $y=\arcsin(x^2+x-1)$ должно выполняться неравенство:

$-1 \le x^2+x-1 \le 1$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2+x-1 \ge -1 \\ x^2+x-1 \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$x^2+x-1 \ge -1$

$x^2+x \ge 0$

$x(x+1) \ge 0$

Найдем корни уравнения $x(x+1)=0$. Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Графиком функции $f(x)=x^2+x$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $x(x+1) \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$.

Решим второе неравенство системы:

$x^2+x-1 \le 1$

$x^2+x-2 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2+x-2 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Графиком функции $g(x)=x^2+x-2$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $x^2+x-2 \le 0$ выполняется при $x \in [-2, 1]$.

Теперь найдем пересечение решений двух неравенств: $(-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$ и $[-2, 1]$.

Пересечение множеств дает нам итоговый результат $x \in [-2, -1] \cup [0, 1]$.

Ответ: $D(y) = [-2, -1] \cup [0, 1]$.

Б.

Область определения функции арккосинус, так же как и у арксинуса, является отрезок $[-1, 1]$. Кроме того, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Таким образом, для функции $y=\arccos(\sqrt{2-x})$ должны одновременно выполняться два условия:

1. Аргумент подкоренного выражения должен быть неотрицательным: $2-x \ge 0$.

2. Аргумент арккосинуса должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$: $-1 \le \sqrt{2-x} \le 1$.

Объединим эти условия в систему:

$\begin{cases} 2-x \ge 0 \\ -1 \le \sqrt{2-x} \le 1 \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство:

$2-x \ge 0 \implies x \le 2$.

Рассмотрим второе (двойное) неравенство: $-1 \le \sqrt{2-x} \le 1$.

Поскольку квадратный корень по определению всегда неотрицателен ($\sqrt{2-x} \ge 0$), левая часть двойного неравенства, $\sqrt{2-x} \ge -1$, выполняется для всех $x$, для которых корень определен (то есть для $x \le 2$).

Поэтому остается решить только правую часть неравенства:

$\sqrt{2-x} \le 1$

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{2-x})^2 \le 1^2$

$2-x \le 1$

$-x \le -1$

$x \ge 1$

Теперь найдем пересечение решений всех условий: $x \le 2$ и $x \ge 1$.

Это соответствует отрезку $[1, 2]$.

Ответ: $D(y) = [1, 2]$.