Номер 7, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. На рисунке изображена часть графика функции, имеющей период $T$. Достройте график этой функции на промежутке $[-T; 2T]$. Какой является данная функция-четной или нечетной?

А.

Б.

А.

Поскольку функция является периодической с периодом $T$, её график на всём числовом промежутке получается путем повторения (сдвига) исходного фрагмента, заданного на отрезке $[0; T]$. Чтобы достроить график на промежутке $[-T; 2T]$, мы должны скопировать данный фрагмент на соседние интервалы: на $[-T; 0]$ и на $[T; 2T]$.

Для определения чётности функции необходимо проверить её график на симметрию.

• Чётная функция симметрична относительно оси ординат (оси $Oy$), для неё выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Нечётная функция симметрична относительно начала координат (точки $(0,0)$), для неё выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Рассмотрим достроенный график функции А. Мы видим, что он симметричен относительно начала координат. Например, значению $x = T/4$ соответствует положительный максимум, а значению $x = -T/4$ соответствует отрицательный минимум, причём эти экстремумы равны по модулю. Свойство $f(-x) = -f(x)$ выполняется для всех точек графика. Следовательно, функция является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.

Б.

Аналогично предыдущему пункту, достраиваем график, повторяя заданный на отрезке $[0; T]$ фрагмент в виде треугольника на соседние интервалы $[-T; 0]$ и $[T; 2T]$.

Проверим чётность полученной функции. Достроенный график будет симметричен относительно оси ординат ($Oy$). Например, значение функции в точке $x = T/4$ равно значению в точке $x = 3T/4$ из-за симметрии треугольника на отрезке $[0; T]$ относительно прямой $x = T/2$. Чтобы найти значение в точке $x = -T/4$, воспользуемся периодичностью: $f(-T/4) = f(-T/4 + T) = f(3T/4)$. Таким образом, мы получаем, что $f(-T/4) = f(T/4)$. Это равенство $f(-x) = f(x)$ выполняется для всех точек графика. Следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция является чётной.