Номер 5, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. Решите уравнения:

А. $(\mathrm{arcctgx})^2 -6\mathrm{arcctgx}+8=0;$

Б. $2(\mathrm{arcctgx})^2 -5\mathrm{arcctgx}+2=0.$

А. $(\text{arcctg} x)^2 - 6 \text{arcctg} x + 8 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\text{arcctg} x$. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = \text{arcctg} x$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 - 6y + 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Отсюда находим корни:

$y_1 = 2$

$y_2 = 4$

Теперь необходимо выполнить обратную замену, то есть вернуться к переменной $x$:

1) $\text{arcctg} x = 2$

2) $\text{arcctg} x = 4$

При решении уравнений с обратными тригонометрическими функциями важно помнить об их области значений. Область значений функции арккотангенс: $E(\text{arcctg} x) = (0; \pi)$.

Проверим, удовлетворяют ли наши корни этому условию (примем $\pi \approx 3.14$):

Корень $y_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $0 < 2 < \pi$. Следовательно, уравнение $\text{arcctg} x = 2$ имеет решение.

Корень $y_2 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > \pi$. Следовательно, уравнение $\text{arcctg} x = 4$ не имеет решений.

Остается найти $x$ из уравнения $\text{arcctg} x = 2$. По определению арккотангенса:

$x = \text{ctg}(2)$

Ответ: $x = \text{ctg}(2)$.

Б. $2(\text{arcctg} x)^2 - 5 \text{arcctg} x + 2 = 0$

Это также квадратное уравнение относительно $\text{arcctg} x$. Произведем замену переменной: $y = \text{arcctg} x$.

$2y^2 - 5y + 2 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Выполним обратную замену:

1) $\text{arcctg} x = 2$

2) $\text{arcctg} x = \frac{1}{2}$

Проверим оба значения на принадлежность области значений арккотангенса $(0; \pi)$.

Корень $y_1 = 2$ подходит, так как $0 < 2 < \pi$.

Корень $y_2 = \frac{1}{2}$ также подходит, так как $0 < \frac{1}{2} < \pi$.

Следовательно, исходное уравнение имеет два решения. Найдем соответствующие значения $x$:

Из $\text{arcctg} x = 2$ получаем $x_1 = \text{ctg}(2)$.

Из $\text{arcctg} x = \frac{1}{2}$ получаем $x_2 = \text{ctg}(\frac{1}{2})$.

Ответ: $x_1 = \text{ctg}(2), x_2 = \text{ctg}(\frac{1}{2})$.